Вариант 8 · Октябрь 2026

Разбор задания:
Для удобства сравнения приведём все указанные величины к единой системе измерения (в метры):
1) $170 \text{ см} = 1,7 \text{ м}$
2) $472 \text{ км} = 472\,000 \text{ м}$
3) $3,05 \text{ м}$
4) $20 \text{ мм} = 0,02 \text{ м}$

Сопоставим объекты с полученными значениями:
А) Протяжённость реки Оскол — это самый масштабный объект в списке, ему соответствует максимальное числовое значение под номером 2 ($472 \text{ км}$). Значит, А — 2.
Б) Ширина двуспальной кровати — стандартный бытовой параметр, который больше монеты, но меньше высоты спортивного снаряда. Подходит вариант 1 ($170 \text{ см}$). Значит, Б — 1.
В) Высота баскетбольного кольца — по правилам игры она составляет чуть более трёх метров, что соответствует варианту 3 ($3,05 \text{ м}$). Значит, В — 3.
Г) Диаметр монеты — самый маленький объект из представленных, соотносится с минимальной величиной под номером 4 ($20 \text{ мм}$). Значит, Г — 4.

Запишем последовательность цифр в таблицу.

Ответ: 2134

Источник: ФИПИ

Решение:
Максимальное количество посетителей было в 13 часов.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ

Решение:
Воспользуемся формулой для нахождения радиуса вписанной окружности: $r = \frac{a + b - c}{2}$.
Согласно условию задачи, нам известны следующие значения: $a = 20$, $b = 21$ и $r = 6$. Необходимо вычислить длину стороны $c$.
Подставим имеющиеся числа в исходное выражение:
$$6 = \frac{20 + 21 - c}{2}$$ Для удобства решения избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $2$:
$$12 = 41 - c$$ Теперь выразим искомую величину:
$$c = 41 - 12$$ $$c = 29$$

Ответ: 29

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Чтобы найти вероятность того, что спортсмен из Китая окажется на третьем месте в списке выступлений, воспользуемся классическим определением вероятности. Нужно разделить количество китайских прыгунов на общее число участников соревнований:
$$P = \frac{12}{50} = 0{,}24.$$

Ответ: 0,24

Источник: ФИПИ

Разбор задачи:
Нам необходимо рассмотреть различные варианты покупки трёх книг (русский язык, физика и экономика) и найти наиболее бюджетный набор магазинов.

1. Рассмотрим вариант с первым магазином. Если купить там комплект «Русский язык + Экономика», то недостающую книгу по физике придётся докупать в магазине №6. Итоговые затраты составят: $$500 + 200 = 700 \text{ рублей.}$$

2. Если выбрать предложение второго магазина («Экономика + Физика»), то учебник по русскому языку нужно будет приобрести в магазине №4. В этом случае сумма будет равна: $$450 + 300 = 750 \text{ рублей.}$$

3. При покупке набора «Русский язык + Физика» в третьем магазине, книгу по экономике придётся брать в магазине №5. Общая стоимость такого комплекта: $$600 + 250 = 850 \text{ рублей.}$$

4. Также возможен вариант покупки всех трёх книг по отдельности в магазинах №4, №5 и №6. Тогда сумма всех чеков составит: $$300 + 250 + 200 = 750 \text{ рублей.}$$

Сравнив полученные результаты, мы видим, что минимальная цена (700 рублей) достигается при выборе магазинов 1 и 6.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ

Решение:
Для решения данной задачи вспомним геометрический смысл производной: значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$. Если график функции в данной точке «растёт» (касательная направлена вверх под острым углом), то производная положительна. Если график «падает» (касательная направлена вниз под тупым углом), то производная отрицательна. При этом, чем круче наклон касательной, тем больше значение производной по модулю.

Разберем каждую точку по порядку:
А) В этой точке график функции стремительно возрастает, а касательная образует острый угол с осью абсцисс. Наклон здесь самый крутой среди всех положительных значений, следовательно, производная принимает наибольшее значение. Это соответствует варианту №2. Таким образом, А — 2.
В) Здесь мы видим убывание функции. Касательная наклонена под тупым углом, значит, производная отрицательна. Так как спуск в этой точке самый крутой, значение производной будет самым большим по модулю среди отрицательных чисел ($-4$). Это вариант №1. Значит, B — 1.
C) В данной точке функция также убывает (тупой угол наклона), но график идет вниз гораздо более плавно, чем в точке B. Следовательно, производная отрицательна и невелика по модулю ($-0,5$). Это соответствует варианту №4. Получаем С — 4.
D) В этой точке наблюдается рост функции, касательная образует острый угол. Однако подъем здесь более пологий, чем в точке A, поэтому значение производной будет положительным, но меньше максимального. Это соответствует числу под номером 3. Следовательно, D — 3.

Ответ: 2143

Источник: ФИПИ

Разбор задания:
Проанализируем каждое из предложенных утверждений на основе условий задачи:
1) Утверждение о том, что ни один тверской школьник не пользуется сетями «ВКонтакте» или «Одноклассники», является ложным.
2) Тезис, согласно которому среди учащихся школ Твери полностью отсутствуют пользователи сети «ВКонтакте», — неверно.
3) Вывод о том, что в Твери найдутся школьники, имеющие аккаунт в сети «ВКонтакте», — верно.
4) Суждение о том, что как минимум один человек из Твери, учащийся в школе, зарегистрирован в «Одноклассниках», — верно.

Таким образом, верными являются пункты 3 и 4.

Ответ: 34 / 43

Источник: ФИПИ

Решение:
$S_{прямоуг .} = 4 \cdot 6 = 24$ м².

Ответ: 24

Источник: ФИПИ

Решение:
$360^{\circ} : 12 \cdot 2 = 60^{\circ} .$

Ответ: 60

Источник: ФИПИ

Решение:
Пусть начальный объём жидкости в первом сосуде вычисляется по формуле: $V = \pi R^2 \cdot h_1$, где $h_1 = 20$ см — исходный уровень воды.
Согласно условию, радиус второго сосуда в $1{,}5$ раза меньше радиуса первого. Выразим его как $R_2 = \frac{R}{1{,}5} = \frac{R}{3/2} = \frac{2}{3}R$.
При переливании жидкости в другой сосуд её объём $V$ остаётся неизменным. Запишем формулу объёма для второго цилиндра с новым уровнем $h_2$:
$$V = \pi \cdot (R_2)^2 \cdot h_2 = \pi \cdot \left(\frac{2}{3}R\right)^2 \cdot h_2 = \frac{4}{9} \pi R^2 \cdot h_2$$
Так как объёмы равны, приравняем полученные выражения:
$$\frac{4}{9} \pi R^2 \cdot h_2 = \pi R^2 \cdot h_1$$
Сократив обе части уравнения на $\pi R^2$, выразим искомую высоту:
$$h_2 = h_1 \cdot \frac{9}{4} = 20 \cdot \frac{9}{4} = 5 \cdot 9 = 45.$$
Таким образом, уровень жидкости в узком сосуде достигнет 45 см.

Ответ: 45

Источник: ФИПИ

Решение:
Для решения вспомним свойство вписанного угла: его величина составляет половину градусной меры дуги, на которую он опирается.
1) Угол $ABD$ является вписанным и опирается на дугу $AD.$ Следовательно, градусная мера дуги $AD$ в два раза больше самого угла: $136^{\circ}.$
2) Аналогично, вписанный угол $CAD$ опирается на дугу $DC.$ Значит, величина дуги $DC$ равна $44^{\circ} \cdot 2 = 88^{\circ}.$
3) Искомый угол $ABC$ опирается на дугу $AC,$ которая складывается из двух найденных выше дуг: $AD$ и $DC.$
Найдем общую дугу: $136^{\circ} + 88^{\circ} = 224^{\circ}.$
4) Вычислим величину угла $ABC,$ разделив значение дуги пополам: $224^{\circ} : 2 = 112^{\circ}.$

Ответ: 112

Источник: ФИПИ

Решение:
Рёбра взаимно перепендикулярны, значит за основания удобно взять прямоугольный треугольник ABC с катетами AB и AC, AD же будет являться высотой.
Найдем площадь основания: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 14 = 56 .$ Тогда объем пирамиды: $V_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot AD$$= \frac{1}{3} \cdot 56 \cdot 24 = 56 \cdot 8 = 448 .$

Ответ: 448

Источник: ФИПИ

Решение:
Для начала вычислим значение выражения, стоящего в знаменателе:
$$1 + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$$
Теперь представим десятичную дробь $0{,}8$, находящуюся в числителе, в виде обыкновенной и сократим её:
$$0{,}8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$
Далее выполним деление числителя на полученный знаменатель:
$$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$$
Переведём результат обратно в десятичный вид:
$$\frac{16}{25} = \frac{16 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{64}{100} = 0{,}64$$

Ответ: 0,64

Источник: ФИПИ

Решение:
Для начала определим, на сколько рублей подешевела рубашка. Для этого из исходной цены вычтем новую:
$1200 - 780 = 420$ рублей.
Теперь вычислим, какую часть от первоначальной стоимости составляет эта скидка, и выразим её в процентах:
$$\frac{420}{1200} \times 100\% = 0,35 \times 100\% = 35\%.$$ Таким образом, цена была снижена на 35%.

Ответ: 35

Источник: ФИПИ

Решение:
$\sqrt[5]{5} \cdot \sqrt[5]{625}$$= \sqrt[5]{5 \cdot 625}$$= \sqrt[5]{5 \cdot 5^{4}}$$= = \sqrt[5]{5^{5}}$$= 5 .$

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение:
$\lg \left(24 x + 40\right) = 2$
$24 x + 40 = 10^{2}$
$24 x + 40 = 100$
$24 x = 100 - 40$
$24 x = 60$
$x = \frac{60}{24}$
$x = \frac{10}{4}$
$\text{x}=\text{2},\text{5}.$

Ответ: 2,5

Источник: ФИПИ

Решение:
А) $\log _{6} x < \log _{6} 6$
$0 < x < 6$
$\left(0 ; 6\right) \rightarrow 2 ;$
Б) $\log _{6} x > - \log _{6} 6$
$\log _{6} x > \log _{6} 6^{- 1}$
$x > 6^{- 1}$
$x > \frac{1}{6}$
$\left(\frac{1}{6} ; + \infty\right) \rightarrow 3 ;$
В) $\log _{6} x < - \log _{6} 6$
$\log _{6} x < \log _{6} 6$
$0 < x < 6^{- 1}$
$0 < x < \frac{1}{6}$
$\left(0 ; \frac{1}{6}\right) \rightarrow 4 ;$
Г) $\log _{6} x > \log _{6} 6$
$x > 6$
$\left(6 ; + \infty\right) \rightarrow 1 .$

Ответ: 2341

Источник: ФИПИ

Решение:
Для того чтобы число было кратно 75, оно должно одновременно удовлетворять двум условиям: делиться на 3 и на 25.
1) Согласно признаку делимости на 25, две последние цифры числа должны образовывать число, кратное 25 (это могут быть 00, 25, 50 или 75). Поскольку по условию все цифры искомого числа должны быть нечётными, нам подходит только окончание 75.
2) Согласно признаку делимости на 3, сумма всех цифр числа должна делиться на 3 без остатка.
Рассмотрим возможные комбинации из нечётных цифр. Если две последние цифры — это 7 и 5 (их сумма равна 12), то сумма двух первых цифр также должна быть кратна 3. Например, если взять цифры 3 и 9, то общая сумма цифр составит $3 + 9 + 7 + 5 = 24$. Число 24 делится на 3, значит, числа 3975 и 9375 удовлетворяют всем условиям задачи. Также возможен вариант с цифрами 1 и 3, если рассматривать другие комбинации, например, для числа 1350 (если условие допускает чётные цифры в других разрядах или иные наборы).

Ответ: 3975 / 9375 / 1350

Источник: ФИПИ

Решение:
Обозначим через $S$ путь между пунктами А и Б, а через $V_{b}$ — собственную скорость теплохода в стоячей воде (км/ч).
Известно, что скорость течения реки $V_{t}$ составляет 3 км/ч.
Рассмотрим движение судна в обоих направлениях:

1) При движении по течению скорость теплохода суммируется со скоростью реки:
$V_{по} = V_{b} + 3$ (км/ч).
Поскольку на этот путь ушло 3 часа, расстояние можно выразить формулой:
$S = 3 \cdot (V_{b} + 3).$

2) При движении в обратном направлении (против течения) скорость уменьшается:
$V_{пр} = V_{b} - 3$ (км/ч).
На обратный путь потребовалось 4,5 часа, следовательно:
$S = 4{,}5 \cdot (V_{b} - 3).$

Так как расстояние $S$ в обоих случаях одинаковое, составим и решим уравнение:
$3(V_{b} + 3) = 4{,}5(V_{b} - 3)$
Раскроем скобки:
$3V_{b} + 9 = 4{,}5V_{b} - 13{,}5$
Перенесем слагаемые с неизвестным в одну сторону, а числа — в другую:
$13{,}5 + 9 = 4{,}5V_{b} - 3V_{b}$
$22{,}5 = 1{,}5V_{b}$
$V_{b} = \frac{22{,}5}{1{,}5} = 15$ км/ч.

Зная собственную скорость, вычислим расстояние между пристанями:
$S = (15 + 3) \cdot 3 = 18 \cdot 3 = 54$ км.

В задаче требуется найти время, которое затратит теплоход на этот же путь в неподвижной воде:
$t = \frac{S}{V_{b}} = \frac{54}{15} = 3{,}6$ часа.

Ответ: 3,6

Источник: ФИПИ

Решение:
Из условия задачи следует, что Медведь справился со своей половиной варенья в 3 раза быстрее Маши. Это означает, что на поедание печенья у него осталось в 3 раза больше свободного времени, чем у неё.
Учитывая, что скорость поедания печенья у Медведя также в 3 раза выше, за имеющееся время он успеет съесть в $3 \cdot 3 = 9$ раз больше печений, чем Маша. Таким образом, на каждое печенье, съеденное Машей, приходится 9 печений, съеденных Медведем.
Пусть $x$ — количество печений, которое досталось Маше. Тогда количество печений Медведя составит $9x$. Составим и решим уравнение:
$x + 9x = 160 \\ 10x = 160 \\ x = 16.$
Следовательно, Маша съела 16 штук, а Медведь съел $16 \cdot 9 = 144$ печенья.

Ответ: 144

Источник: ФИПИ