Вариант 1 · Сентябрь 2026

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $16^{\sin x} + 16^{\sin \left(x + \pi\right)} = \frac{17}{4}$.
Используя формулу приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$, перепишем выражение:
$16^{\sin x} + 16^{- \sin x} = \frac{17}{4}$
$16^{\sin x} + \frac{1}{16^{\sin x}} = \frac{17}{4}$.
Введем новую переменную $t = 16^{\sin x}$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$.
Приведем дроби к общему знаменателю и перенесем всё в левую часть:
$\frac{4t^2 - 17t + 4}{4t} = 0$.
Так как $t \neq 0$, приравняем числитель к нулю:
$4t^2 - 17t + 4 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни квадратного уравнения:
$t_1 = \frac{17 + 15}{8} = 4$;
$t_2 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Выполним обратную подстановку:
1) $16^{\sin x} = 4 \Rightarrow (4^2)^{\sin x} = 4^1 \Rightarrow 2\sin x = 1 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.
Отсюда получаем две серии решений:
$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $16^{\sin x} = \frac{1}{4} \Rightarrow (4^2)^{\sin x} = 4^{-1} \Rightarrow 2\sin x = -1 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$.
Отсюда получаем еще две серии решений:
$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие заданному отрезку $\left[\frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi\right]$.


Промежутку соответствуют следующие значения:
$x_1 = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$;
$x_2 = 2\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}$;
$x_3 = 2\pi + \frac{5\pi}{6} = \frac{17\pi}{6}$.

Ответ: а) $\pm \frac{\pi}{6} + 2 \pi k, \pm \frac{5 \pi}{6} + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{11 \pi}{6}, \frac{13 \pi}{6}, \frac{17 \pi}{6}$.

Источник: ФИПИ

Решение:
Пусть $BB_{1}$ — образующая цилиндра, а $O$ — центр его нижнего основания.

а) 1) Отрезки $AA_{1}$ и $CC_{1}$ также являются образующими, следовательно, прямые $AA_{1}$, $CC_{1}$ и $BB_{1}$ перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$.
2) Поскольку хорда $AC$ проходит через центр $O$, она является диаметром окружности. Следовательно, вписанный угол $ABC$, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ}$.
3) Так как $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_{1}$ (поскольку образующая перпендикулярна основанию), то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости боковой грани $(CBB_{1})$. Отсюда следует, что $AB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности $AB \perp BC_{1}$. Таким образом, $\angle ABC_{1} = 90^{\circ}$, что и требовалось доказать.
б) 4) Заметим, что $BC = B_{1} C_{1}$.
Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:
$$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{20^{2} + 21^{2}} = \sqrt{400 + 441} = 29.$$
Радиус основания цилиндра равен половине диаметра: $r = \frac{AC}{2} = \frac{29}{2}$.
Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра по формуле $S_{б.п.} = 2\pi r \cdot h$, где высота $h = BB_{1} = 15$:
$$S_{б.п.} = 2\pi \cdot \frac{29}{2} \cdot 15 = 29 \cdot 15 \cdot \pi = 435\pi.$$

Ответ: б) $435 \pi$

Источник: ФИПИ

Ход решения:
Для начала преобразуем исходное неравенство: $$\frac{2 \log _{3} ( 9 x ) - 13}{\log _{3}^{2} x - \log _{3} x^{4}} \leq 1$$ Воспользуемся свойствами логарифма в числителе и знаменателе: $$\frac{\log _{3} ( 9 x )^{2} - 13}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1$$ Разложим логарифм произведения в числителе: $$\frac{\log _{3} 81 + \log _{3} x^{2} - 13}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1$$ Так как $\log_{3} 81 = 4$, получаем: $$\frac{4 + 2\log _{3} x - 13}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1$$ Упростим выражение: $$\frac{2 \log _{3} x - 9}{\log _{3}^{2} x - 4 \log _{3} x} \leq 1$$ Введем новую переменную, пусть $\log _{3} x = t$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{2 t - 9}{t^{2} - 4 t} \leq 1$$ Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$\frac{2 t - 9}{t^{2} - 4 t} - 1 \leq 0 \implies \frac{2 t - 9 - (t^{2} - 4 t)}{t (t - 4)} \leq 0$$ $$\frac{-t^{2} + 6t - 9}{t (t - 4)} \leq 0$$ Заметим в числителе полный квадрат: $$\frac{-(t - 3)^{2}}{t (t - 4)} \leq 0$$ Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Решением для $t$ будут промежутки: $t \in (-\infty; 0) \cup \{3\} \cup (4; +\infty)$.
Выполним обратный переход к переменной $x$: $$\left[\begin{aligned} & \log_{3} x < 0 \\ & \log_{3} x = 3 \\ & \log_{3} x > 4 \end{aligned}\right. \implies \left[\begin{aligned} & x < 1 \\ & x = 27 \\ & x > 81 \end{aligned}\right.$$

Учитывая область допустимых значений логарифма ($x > 0$), найдем пересечение полученных решений с ОДЗ:

Ответ: $(0; 1) \cup \{27\} \cup (81; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Решение:

1) Построим модель. Выручка за месяц (в тысячах рублей) равна $x(300 - 2x)$, затраты равны $20x + 400$. Прибыль равна разности:

$$P(x) = x(300 - 2x) - (20x + 400) = -2x^{2} + 280x - 400, \qquad x \in [0; 100].$$

2) Найдём производную и критическую точку:

$$P'(x) = -4x + 280, \qquad P'(x) = 0 \;\Longleftrightarrow\; x = 70.$$

3) Обоснование. При $0 \le x < 70$ производная положительна, при $70 < x \le 100$ — отрицательна. Значит, функция возрастает на $[0; 70]$ и убывает на $[70; 100]$, поэтому $x = 70$ — точка максимума, и в ней прибыль наибольшая на отрезке.

4) Вычислим прибыль:

$$P(70) = -2 \cdot 4900 + 280 \cdot 70 - 400 = -9800 + 19600 - 400 = 9400.$$

Ответ: при выпуске 70 тонн в месяц; наибольшая прибыль равна 9400 тысяч рублей (9,4 млн рублей).

Решение:

а) Рассмотрим четырёхугольник $AC_{1}HB_{1}$. Поскольку углы $\angle AC_{1}H$ и $\angle AB_{1}H$ являются прямыми, сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$, что позволяет описать вокруг него окружность с диаметром $AH$. Вписанные в эту окружность углы $AHB_{1}$ и $AC_{1}B_{1}$ опираются на одну и ту же дугу $AB_{1}$, поэтому $\angle AHB_{1} = \angle AC_{1}B_{1}$.
Далее заметим, что точки $B, C, B_{1}, C_{1}$ лежат на одной окружности, так как отрезки $BB_{1}$ и $CC_{1}$ являются высотами, и из точек $B_{1}, C_{1}$ сторона $BC$ видна под прямым углом (диаметр этой окружности — $BC$). В таком вписанном четырёхугольнике внешний угол при вершине $C_{1}$ равен внутреннему углу при противоположной вершине $C$, то есть $\angle AC_{1}B_{1} = \angle ACB$.
Объединяя эти равенства, получаем искомое соотношение: $\angle ACB = \angle AHB_{1}$.
б) Для треугольника $AB_{1}C_{1}$ отрезок $AH$ является диаметром описанной окружности. По следствию из теоремы синусов имеем:
$$B_{1}C_{1} = AH \cdot \sin \angle A = 4 \cdot \sin 60^{\circ} = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $ABB_{1}$ и $ACC_{1}$. Из них находим прилежащие к углу $A$ катеты:
$AB_{1} = AB \cdot \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} AB$;
$AC_{1} = AC \cdot \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} AC$.
Таким образом, стороны треугольников $ABC$ и $AB_{1}C_{1}$, образующие общий угол $A$, пропорциональны: $\frac{AB}{AB_{1}} = \frac{AC}{AC_{1}} = 2$. Это означает, что $\triangle ABC \sim \triangle AB_{1}C_{1}$ по второму признаку подобия.
Коэффициент подобия равен $2$, следовательно:
$BC = 2 \cdot B_{1}C_{1} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Ответ: $4 \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a - y^{2}} = \sqrt{a - x^{2}} \\ x^{2} + y^{2} = 2 x + 4 y \end{matrix}\right.$
Данная система равносильна следующей совокупности условий с учетом области определения корня:
$\left\{\begin{matrix} a - y^{2} = a - x^{2} \\ x^{2} - 2 x + y^{2} - 4 y = 0 \\ a - x^{2} \geq 0 \end{matrix}\right.$
Преобразуем уравнения, выделив полные квадраты для окружности и упростив первое равенство:
$\left\{\begin{matrix} x^{2} = y^{2} \\ (x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} - 4 y + 4) = 5 \\ x^{2} \leq a \end{matrix}\right.$
Отсюда получаем условия для графического анализа:
$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} y = x \\ y = - x \end{matrix}\right. \\ \left(x - 1\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2} = 5 \\ |x| \leq \sqrt{a} \end{matrix}\right.$
Первое уравнение задает пару пересекающихся прямых, второе — окружность с центром в точке $(1; 2)$ и радиусом $\sqrt{5}$, а третье — вертикальную полосу ограничений по переменной $x$.

Проанализируем точки пересечения графиков. При $x = 0$ из уравнения окружности имеем:
$1 + (y - 2)^{2} = 5 \Rightarrow (y - 2)^{2} = 4$
$y - 2 = \pm 2$
То есть $y = 0$ или $y = 4$.
Если $y = 0$, то подставив в уравнение окружности, получим:
$(x - 1)^{2} + 4 = 5 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 1$
Откуда $x = 0$ либо $x = 2$.
Определим координаты общих точек прямой $y = -x$ и данной окружности:
$\left\{\begin{matrix} y = - x \\ \left(x - 1\right)^{2} + \left(- x - 2\right)^{2} = 5 \end{matrix}\right.$
$x^{2} - 2 x + 1 + x^{2} + 4 x + 4 = 5$
$2 x^{2} + 2 x = 0$
Корни уравнения: $x = 0$ и $x = -1$.
Теперь найдем точки, где окружность пересекается с прямой $y = x$:
$\left\{\begin{matrix} y = x \\ \left(x - 1\right)^{2} + \left(x - 2\right)^{2} = 5 \end{matrix}\right.$
$x^{2} - 2 x + 1 + x^{2} - 4 x + 4 = 5$
$2 x^{2} - 6 x = 0$
$2 x (x - 3) = 0$
Получаем значения $x = 0$ и $x = 3$.
Таким образом, ключевыми точками пересечения (кроме начала координат) являются точки с абсциссами $x = -1$ и $x = 3$.
Для выполнения условий задачи необходимо, чтобы граница полосы $\sqrt{a}$ находилась в диапазоне, отсекающем нужные участки графиков:
$\left\{\begin{matrix} \sqrt{a} \geq |-1| \\ \sqrt{a} < 3 \end{matrix}\right.$
Следовательно:
$\left\{\begin{matrix} a \geq 1 \\ a < 9 \end{matrix}\right.$

Ответ: $[ 1 ; 9 )$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Такое возможно. В качестве примера рассмотрим ряд натуральных чисел от 69 до 138 включительно. В этом наборе ровно 70 чисел. Среди них кратными 20 являются три числа: $80, 100, 120$. Чисел, которые делятся на 23, здесь четыре: $69, 92, 115, 138$. Условие выполняется: $4 > 3$.
б) Предположим, что в некоторой последовательности ровно 10 чисел кратны 20. Согласно условию, количество чисел, делящихся на 23, должно быть как минимум 11. Чтобы в наборе оказалось 11 чисел, кратных 23, его длина должна составлять не менее $23 \cdot 10 + 1 = 231$ числа (так как между первым и одиннадцатым такими числами укладывается 10 полных интервалов по 23). Оценим количество чисел, кратных 20, в ряду из 231 числа. Если мы разобьем ряд на блоки по 20 чисел, то в каждом полном блоке будет ровно одно кратное 20. В остатке может быть не более 19 чисел. Количество чисел, делящихся на 20, в такой последовательности будет не меньше, чем $\frac{231 - 19}{20} = 10{,}6$. То есть их будет как минимум 11, что противоречит нашему предположению о 10 числах. Следовательно, ответ — нет.
в) Обозначим через $x$ количество чисел в наборе, которые делятся на 20. Тогда количество чисел, кратных 23, должно быть не меньше $x + 1$. Для того чтобы в последовательности было $x + 1$ число, кратное 23, её длина $k$ должна удовлетворять условию $k \geq 23 \cdot x + 1$. С другой стороны, количество чисел, кратных 20, в последовательности длиной $k$ оценивается снизу как $\frac{k - 19}{20}$. Подставим минимально возможную длину $k$: $$x \geq \frac{23x + 1 - 19}{20} \Rightarrow x \geq \frac{23x - 18}{20}$$ Решим полученное неравенство: $$20x \geq 23x - 18$$ $$3x \leq 18 \Rightarrow x \leq 6$$ Таким образом, максимальное количество чисел, кратных 20, равно 6. Максимальная длина последовательности $k$, при которой в ней может быть ровно $x$ чисел, кратных 20, ограничена сверху: $k \leq 20x + 19$. При $x = 6$ получаем: $k \leq 20 \cdot 6 + 19 = 139$. Примером такой последовательности может служить отрезок от 161 до 299. Здесь 7 чисел делятся на 23 ($161, 184, 207, 230, 253, 276, 299$) и 6 чисел делятся на 20 ($180, 200, 220, 240, 260, 280$).

Ответ: а) да; б) нет; в) 139

Источник: ФИПИ