Вариант 8 · Сентябрь 2026

Решение:
Для начала определим область допустимых значений. Заметим, что выражение под логарифмом $\cos x + \sin 2x + 25$ всегда положительно для любого действительного $x$, так как минимальное значение суммы тригонометрических функций не превосходит по модулю 2, что в сумме с 25 дает результат больше нуля.
Перейдем к решению уравнения, используя определение логарифма:
$$\log_{5} (\cos x + \sin 2x + 25) = 2$$ $$\cos x + \sin 2x + 25 = 5^2$$ $$\cos x + \sin 2x + 25 = 25$$ $$\cos x + \sin 2x = 0$$ Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$$\cos x + 2 \sin x \cos x = 0$$ Вынесем общий множитель за скобки:
$$\cos x (1 + 2 \sin x) = 0$$ Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\cos x = 0$, откуда получаем серию корней:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
2) $1 + 2 \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{2}$. Это дает нам две группы решений:
$$\left[\begin{matrix} x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$$
б) С помощью единичной окружности выберем корни, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.

На указанном интервале получаем следующие значения:
(1) Точка из первой серии: $2\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$
(2) Точка из первой серии (правая граница): $3\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{7\pi}{2}$
(3) Точка из второй серии: $2\pi + \frac{7\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{7\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}; \frac{19\pi}{6}$

Источник: ФИПИ

Решение:

По условию имеем: $AB = 6$, $SA = 7$, а точки $N$ и $K$ делят ребра в отношении $DN : NC = SK : KC = 1 : 2$.
а) 1) В плоскости основания через точку $N$ проведём прямую $NE \parallel BC$. Аналогично в боковой грани через точку $K$ проведём $PK \parallel BC$ (согласно теореме о пропорциональных отрезках).
2) Заметим, что из равенства отношений $\frac{DN}{NC} = \frac{SK}{KC}$ вытекает параллельность отрезков $SD$ и $KN$.
3) Поскольку $PK \parallel BC$, по теореме Фалеса получаем: $\frac{SK}{KC} = \frac{SP}{PB}$. Таким образом, $\frac{SP}{PB} = \frac{DN}{NC} = \frac{1}{2}$.
4) Так как $NE \parallel BC$, то в основании выполняется пропорция $\frac{DN}{NC} = \frac{AE}{EB} = \frac{1}{2}$.
5) Сопоставляя результаты пунктов 3 и 4, видим, что $\frac{AE}{EB} = \frac{AP}{PB}$ (так как $AP = AS - SP$, а отношения сохраняются). Это доказывает, что $AS \parallel PE$. Следовательно, плоскость сечения $\alpha$ параллельна ребру $AS$, что и требовалось доказать.
б) 6) Обозначим точку пересечения продолжений прямых $PE$ и $KN$ как $G$.
7) Рассмотрим треугольники $GPK$ и $GEN$. У них угол $G$ общий, а $\angle GPK = \angle GEN$ как соответственные при параллельных прямых. Значит, $\triangle GPK \sim \triangle GEN$, откуда следует отношение $\frac{PK}{EN} = \frac{PK}{BC}$.
8) Из подобия $\triangle SPK \sim \triangle SBC$ находим коэффициент подобия: $\frac{PK}{BC} = \frac{SK}{SC} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$.
9) Учитывая, что пирамида правильная и $AS = SD$, получаем $PE = KN$. Тогда $GE = GN$, и треугольник $GPK$ является равнобедренным.
10) Треугольник $SPK$ также равнобедренный. Проведём медианы и высоты $SH \bot PK$ и $GH \bot PK$ к общему основанию.
11) Рассмотрим $\triangle SPG$ и $\triangle BPE$. Они подобны по двум углам (вертикальные углы при вершине $P$ и накрест лежащие). Тогда $\frac{SG}{EB} = \frac{SP}{PB} = \frac{1}{2}$.
Так как $AB = 6$ и $AE:EB = 1:2$, то $EB = 4$ и $AE = 2$. Отсюда $SG = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
12) Проанализируем $\triangle SHG$:

Здесь $SH = HG$.
Из подобия в пункте 8: если $SH_1$ — высота грани $SBC$, то $SH = \frac{1}{3} SH_1$.
Найдем апофему $SH_1$ по теореме Пифагора для $\triangle SBC$: $SH_1 = \sqrt{SC^2 - H_1C^2} = \sqrt{7^2 - 3^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
Тогда $SH = \frac{2\sqrt{10}}{3}$.
Пусть $HY$ — высота равнобедренного $\triangle SHG$. Тогда $SY = YG = 1$.
Вычислим синус половины искомого угла: $\sin(\frac{\angle SHG}{2}) = \frac{SY}{SH} = \frac{1}{2\sqrt{10}/3} = \frac{3}{2\sqrt{10}}$.
Следовательно, искомый угол $\alpha = 2 \arcsin\left(\frac{3\sqrt{10}}{20}\right)$.

Ответ: б) $2 \arcsin \left(\frac{3 \sqrt{10}}{20}\right)$

Источник: ФИПИ

Решение:
Для начала определим область допустимых значений переменной. Выражения под знаками логарифмов должны быть положительными, а основание переменного логарифма — положительным и отличным от единицы: $2 - x > 0$, $x > 0$ и $x \neq 1$. Таким образом, $x \in (0; 1) \cup (1; 2)$.
Рассмотрим поведение функций на полученных интервалах:

1) Если $x \in (0; 1)$, то выполняются соотношения $\log_{15} x < \log_{25} x$ и $\log_{9} (2 - x) > \log_{15} (2 - x)$. В этом случае значение левой части неравенства будет отрицательным, что заведомо меньше положительного числа $\log_{25} 9$.
2) Если $x \in (1; 2)$, то имеем $\log_{15} x > \log_{25} x$, в то время как $\log_{9} (2 - x) < \log_{15} (2 - x)$. Следовательно, левая часть снова принимает отрицательные значения и удовлетворяет условию, так как она меньше $\log_{25} 9$.
Следовательно, всё множество допустимых значений $x$ является решением данной задачи.

Критерии оценивания:
— 2 балла: получен полностью верный и обоснованный ответ.
— 1 балл: ход решения правильный, но допущена одна арифметическая ошибка, повлиявшая на итоговый результат.
— 0 баллов: решение не удовлетворяет указанным выше требованиям.

Ответ: $(0; 1) \cup (1; 2)$

Источник: ФИПИ

Решение:

1) Подставим данные в формулу и получим функцию одной переменной $\alpha$:

$$L(\alpha) = \frac{20^{2} \sin 2\alpha}{10} = 40 \sin 2\alpha, \qquad 0^\circ < \alpha < 90^\circ.$$

2) Оценим значения функции. При $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ угол $2\alpha$ принимает значения из промежутка $(0^\circ; 180^\circ)$. Для любого угла верно неравенство $\sin 2\alpha \le 1$, поэтому

$$L(\alpha) = 40 \sin 2\alpha \le 40.$$

3) Обоснование. Равенство $\sin 2\alpha = 1$ достигается тогда и только тогда, когда $2\alpha = 90^\circ$, то есть $\alpha = 45^\circ$; это значение принадлежит рассматриваемому промежутку. Значит, оценка точная, и наибольшее значение равно 40.

4) Наибольшая дальность: $L(45^\circ) = 40 \cdot 1 = 40$ м.

Ответ: при угле $45^\circ$; наибольшая дальность равна 40 м.

Решение:

а) Исходя из свойств ромба $ABCD$, все его стороны равны ($AB = AD = BC = CD$), а диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Обозначим точку пересечения диагоналей как $O$.
Рассмотрим $\triangle ADC$. Точка $Q$ является точкой пересечения его медиан, следовательно, она делит медиану $DO$ в отношении $\frac{DQ}{QO} = \frac{2}{1}$. Аналогично для $\triangle ABC$ точка $P$ — точка пересечения медиан, и $\frac{BP}{PO} = \frac{2}{1}$.
Пусть $QO = x$. Учитывая, что $BO = OD$, а также пропорции $\frac{DQ}{QO} = 2$ и $\frac{BP}{PO} = 2$, получаем равенства: $BP = PQ = QD = 2x$, при этом $QO = OP = x$.
Диагональ ромба делит его на два равновеликих треугольника, то есть $S_{ABD} = S_{BDC} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.
Треугольники $ABP, APQ, AQD$ имеют общую вершину $A$ и их основания лежат на одной прямой $BD$. Значит, их высоты, опущенные из $A$, совпадают, а площади относятся как длины их оснований:
$S_{ABP} = \frac{BP}{BD} \cdot S_{ABD} = \frac{2x}{6x} \cdot \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{6} S_{ABCD}$
$S_{PAQ} = \frac{PQ}{BD} \cdot S_{ABD} = \frac{2x}{6x} \cdot \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{6} S_{ABCD}$
$S_{AQD} = \frac{QD}{BD} \cdot S_{ABD} = \frac{2x}{6x} \cdot \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{6} S_{ABCD}$
Так как $P$ — точка пересечения медиан $\triangle ABC$, то медиана $AK$ делится ею в отношении $\frac{AP}{PK} = \frac{2}{1}$, откуда $\frac{PK}{AK} = \frac{1}{3}$ и $\frac{PK}{AP} = \frac{1}{2}$. Аналогично для точки $Q$ в $\triangle ADC$ имеем $\frac{QL}{AQ} = \frac{1}{2}$.
Заметим, что $\triangle ABP$ и $\triangle BPK$ имеют общую высоту из вершины $B$, а $\triangle AQD$ и $\triangle QDL$ — общую высоту из вершины $D$. Тогда:
$S_{BKP} = \frac{PK}{AP} \cdot S_{ABP} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} S_{ABCD} = \frac{1}{12} S_{ABCD}$
$S_{DLQ} = \frac{LQ}{AQ} \cdot S_{AQD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} S_{ABCD} = \frac{1}{12} S_{ABCD}$
Суммируя площади, получаем: $S_{BKP} + S_{DLQ} = \frac{1}{12} S_{ABCD} + \frac{1}{12} S_{ABCD} = \frac{1}{6} S_{ABCD} = S_{APQ}$. Что и требовалось доказать.

б) По условию в пятиугольник $CKPQL$ вписана окружность. Поскольку прямые $BC$ и $DC$ содержат стороны пятиугольника, а точки $B$ и $D$ лежат на продолжениях сторон $PQ, KC, LC$, эта окружность также является вписанной в треугольник $BCD$.
Воспользуемся свойством отрезков касательных (или условием описанного четырехугольника $KCDP$): $PK + CD = PD + KC$.
Выразим $PK$: $PK = PD + KC - CD$. Заметим, что $PD = PQ + QD = 4x$. Тогда $PK = 4x + 6\sqrt{5} - 12\sqrt{5} = 4x - 6\sqrt{5}$.
В прямоугольном $\triangle DOC$ (так как диагонали ромба перпендикулярны) по теореме Пифагора:
$OC^{2} = DC^{2} - OD^{2} = (12\sqrt{5})^2 - (3x)^2 = 720 - 9x^2$.
Следовательно, $OC = \sqrt{720 - 9x^2} = OA$.
Для прямоугольного $\triangle APO$ запишем теорему Пифагора:
$AP^2 = AO^2 + PO^2 = (720 - 9x^2) + x^2 = 720 - 8x^2$, откуда $AP = \sqrt{720 - 8x^2}$.
В $\triangle ABC$ точка $P$ делит медиану $AK$ в отношении $2:1$, значит $PK = \frac{1}{2} AP$.
Составим уравнение:
$4x - 6\sqrt{5} = \frac{1}{2} \sqrt{720 - 8x^2}$
$8x - 12\sqrt{5} = \sqrt{720 - 8x^2}$
Возведем в квадрат: $64x^2 - 192\sqrt{5}x + 720 = 720 - 8x^2$
$72x^2 = 192\sqrt{5}x$
$x = \frac{192\sqrt{5}}{72} = \frac{8\sqrt{5}}{3}$.
Найдем площадь $\triangle BDC$: $S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot OD = OC \cdot OD = \sqrt{720 - 9 \cdot \frac{64 \cdot 5}{9}} \cdot (3 \cdot \frac{8\sqrt{5}}{3}) = \sqrt{400} \cdot 8\sqrt{5} = 160\sqrt{5}$.
Полупериметр $\triangle BDC$: $p = \frac{BC + CD + BD}{2} = \frac{12\sqrt{5} + 12\sqrt{5} + 16\sqrt{5}}{2} = 20\sqrt{5}$.
Радиус вписанной окружности $r = \frac{S}{p} = \frac{160\sqrt{5}}{20\sqrt{5}} = 8$.

Ответ: б) 8

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} \log _{7} \left(36 - y^{2}\right) = \log _{7} \left(36 - a^{2} x^{2}\right) \\ x^{2} + y^{2} = 2 x + 6 y \end{matrix}\right.$
Нам необходимо найти значения параметра $a$, при которых система имеет ровно два различных решения.
Учитывая область определения логарифма, перейдем к равносильной системе:
$\left\{\begin{matrix} 36 - y^{2} = 36 - a^{2} x^{2} \\ x^{2} - 2 x + y^{2} - 6 y = 0 \\ 36 - y^{2} > 0 \end{matrix}\right.$
Преобразуем уравнения, выделив полные квадраты во втором уравнении:
$\left\{\begin{matrix} y^{2} = a^{2} x^{2} \\ (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 10 \\ -6 < y < 6 \end{matrix}\right.$
Первое уравнение распадается на две прямые, проходящие через начало координат: $y = ax$ и $y = -ax$. Второе уравнение задает окружность с центром в точке $(1; 3)$ и радиусом $\sqrt{10}$. Заметим, что точка $(0; 0)$ принадлежит этой окружности и удовлетворяет условию $-6 < y < 6$.

Проанализируем количество точек пересечения графиков в зависимости от $a$:
1) Если $a = 0$, то обе прямые сливаются в одну $y = 0$ (ось $Ox$). Прямая пересекает окружность в двух точках, обе из которых лежат в полосе $-6 < y < 6$. Это дает ровно 2 решения.
2) Найдем значение $a$, при котором прямая проходит через "выколотую" границу. При $y = 6$ из уравнения окружности получаем: $(x-1)^2 + (6-3)^2 = 10 \Rightarrow (x-1)^2 = 1 \Rightarrow x = 2$ или $x = 0$. Точка $(0; 6)$ не лежит на прямых вида $y = \pm ax$ при конечных $a$. Для точки $(2; 6)$:
$6 = |a| \cdot 2 \Rightarrow |a| = 3$.
3) Рассмотрим случай касания одной из прямых $y = kx$ и окружности. Воспользуемся формулой расстояния от центра $(1; 3)$ до прямой $kx - y = 0$, которое должно быть равно радиусу $\sqrt{10}$:
$$\frac{|k \cdot 1 - 3|}{\sqrt{k^2 + 1}} = \sqrt{10}$$
Возведем в квадрат: $(k - 3)^2 = 10(k^2 + 1) \Rightarrow k^2 - 6k + 9 = 10k^2 + 10 \Rightarrow 9k^2 + 6k + 1 = 0$.
Это квадратное уравнение имеет корень $k = -\frac{1}{3}$.
Следовательно, при $|a| = \frac{1}{3}$ одна из прямых касается окружности (1 точка пересечения), а вторая пересекает её в двух точках, одна из которых — начало координат. Итого 2 различных решения.

Суммируем результаты графического анализа:
— При $|a| = 0$ прямые совпадают, имеем 2 решения.
— При $|a| = \frac{1}{3}$ одна прямая дает 1 точку (касание), другая — 2 точки, но точка $(0;0)$ у них общая. Итого 2 решения.
— При $|a| \geq 3$ одна или обе прямые выходят за пределы допустимой области $y < 6$, оставляя в совокупности ровно 2 рабочих точки пересечения (включая начало координат).

Таким образом, условию задачи удовлетворяют:
$|a| \in \{0; \frac{1}{3}\} \cup [3; +\infty)$, что соответствует объединению промежутков:
$a \in (-\infty; -3] \cup \{-\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{3}\} \cup [3; +\infty)$

Ответ: $a \in (-\infty; -3] \cup \{-\frac{1}{3}; 0; \frac{1}{3}\} \cup [3; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. В качестве примера возьмём число $2034$. Сумма его цифр составляет $2 + 0 + 3 + 4 = 9$. Если прибавить это значение к самому числу, получим: $2034 + 9 = 2043$.
б) Предположим, что число $599$ можно разложить на два слагаемых $A$ и $B$ с одинаковой суммой цифр. Рассмотрим процесс их сложения столбиком:
В разряде единиц сумма цифр должна оканчиваться на 9. Поскольку максимальная сумма двух цифр равна 18, она может быть только 9, следовательно, переноса в следующий разряд нет. Аналогично в разряде десятков: сумма цифр без учёта переноса оканчивается на 9, значит, она равна 9, и переноса в сотни также не возникает. В разряде сотен сумма цифр равна 5.
Пусть число $A$ записывается как $\overline{abc}$, где $a, b, c$ — цифры сотен, десятков и единиц соответственно. Тогда, исходя из отсутствия переносов, число $B$ будет иметь вид $\overline{(5-a)(9-b)(9-c)}$.
Сумма цифр числа $A$ равна $S = a + b + c$.
Сумма цифр числа $B$ равна $(5 - a) + (9 - b) + (9 - c) = 23 - (a + b + c) = 23 - S$.
Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы $S = 23 - S$, откуда $2S = 23$, то есть $S = 11{,}5$. Однако сумма цифр натурального числа обязана быть целым числом. Полученное противоречие доказывает, что представить число 599 таким образом нельзя.
в) Обозначим искомые семь различных натуральных чисел в порядке возрастания: $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6} < x_{7}$.
Так как суммы цифр у всех этих чисел одинаковы, то при делении на 9 они дают один и тот же остаток. Это означает, что разность между любыми двумя такими числами кратна 9. Минимальный шаг между соседними числами в такой последовательности равен 9. Тогда:
$x_{2} \geq x_{1} + 9$, $x_{3} \geq x_{1} + 18$, ..., $x_{7} \geq x_{1} + 54$.
Общая сумма $S_{7}$ будет удовлетворять неравенству:
$S_{7} \geq x_{1} + (x_{1} + 9) + (x_{1} + 18) + (x_{1} + 27) + (x_{1} + 36) + (x_{1} + 45) + (x_{1} + 54) = 7x_{1} + 189$.
Проверим возможные значения суммы цифр $k$:
При $k = 1$: числа 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000. Сумма слишком велика.
При $k = 2$: минимальные числа 2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001. Сумма $1445$.
При $k = 3$: числа 3, 12, 21, 30, 102, 111, 201. Сумма $480$.
При $k = 4$: числа 4, 13, 22, 31, 40, 103, 112. Сумма $325$.
При $k = 5$: числа 5, 14, 23, 32, 41, 50, 104. Сумма $269$.
При $k = 6$: числа 6, 15, 24, 33, 42, 51, 60. Сумма $231$.
При $k = 7$: числа 7, 16, 25, 34, 43, 52, 61. Сумма $238$.
Для $k \geq 7$ и $x_{1} \geq 7$ минимально возможная сумма по формуле $7x_{1} + 189$ составит $7 \cdot 7 + 189 = 238$, что уже больше 231. Дальнейшее увеличение $k$ или $x_1$ будет только увеличивать итоговую сумму. Таким образом, наименьшее значение — 231.