Вариант 10 · Октябрь 2026

Решение:
а) Рассмотрим уравнение: $\log _{2} (x^{2} + 2x) = 3$.
Для начала определим область допустимых значений переменной. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^{2} + 2x > 0$
Разложим выражение на множители: $x(x + 2) > 0$.
Воспользуемся методом интервалов:

Следовательно, $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$.
Теперь перейдем к решению самого уравнения, используя определение логарифма:
$x^{2} + 2x = 2^{3}$
$x^{2} + 2x - 8 = 0$
Применим теорему Виета для поиска корней квадратного уравнения:
$$\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = -8 \\ x_{1} + x_{2} = -2 \end{cases}$$
Отсюда получаем два значения: $x_{1} = -4$ и $x_{2} = 2$.
Проверим, входят ли найденные числа в область допустимых значений:

Оба корня удовлетворяют условию $x \in (-\infty; -2) \cup (0; +\infty)$. Таким образом, решениями пункта (а) являются $x = -4$ и $x = 2$.

б) Выполним отбор полученных корней на заданном промежутке $[\log_{3} 0,1; \log_{3} 13]$.
Представим корни в виде логарифмов по основанию 3 для удобства сравнения:
$x_{1} = -4 = \log_{3} 3^{-4} = \log_{3} \frac{1}{81}$
$x_{2} = 2 = \log_{3} 3^{2} = \log_{3} 9$
Сравним аргументы логарифмов:
Так как $0,1 = \frac{1}{10}$, а $\frac{1}{81} < \frac{1}{10}$, то корень $x = -4$ не попадает в отрезок.
Поскольку $0,1 < 9 < 13$, корень $x = 2$ принадлежит указанному промежутку.

В заданный интервал попадает только значение $x = 2$.

Ответ: а) $-4; 2$; б) 2

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим правильную треугольную призму $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$. В её верхнем основании лежит равносторонний треугольник $A_{1}B_{1}C_{1}$. Проведём в нём высоту $C_{1}K$ к стороне $A_{1}B_{1}$. Так как треугольник правильный, высота $C_{1}K$ также является медианой и биссектрисой. Поскольку прямая $C_{1}K$ перпендикулярна прямой $A_{1}B_{1}$ и при этом $C_{1}K$ перпендикулярна боковому ребру $AA_{1}$ (так как ребро перпендикулярно плоскости основания), то прямая $C_{1}K$ перпендикулярна всей плоскости боковой грани $(ABB_{1}A_{1})$. Любая плоскость, содержащая прямую, перпендикулярную другой плоскости, сама будет перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, плоскость $\alpha$, проходящая через $C_{1}K$ (то есть плоскость $MKC_{1}$), перпендикулярна грани $(ABB_{1}A_{1})$, что и требовалось доказать.

б) Из доказанного выше следует, что $C_{1}K \perp (ABB_{1}A_{1})$. Так как прямая $MK$ лежит в плоскости боковой грани, то $C_{1}K \perp MK$. Таким образом, треугольник $MKC_{1}$ является прямоугольным. Заметим, что искомое расстояние от точки $A_{1}$ до плоскости $\alpha$ (плоскости $MKC_{1}$) можно найти в плоскости боковой грани. Проведём высоту $A_{1}H$ в прямоугольном треугольнике $MA_{1}K$ к его гипотенузе $MK$. Отрезок $A_{1}H$ и будет являться искомым расстоянием, так как он перпендикулярен $MK$ по построению и перпендикулярен $C_{1}K$ (поскольку $C_{1}K$ перпендикулярна всей плоскости грани).
Вычислим необходимые длины сторон в $\Delta MA_{1}K$:
1) Точка $K$ — середина $A_{1}B_{1}$, значит, $A_{1}K = \frac{1}{2} A_{1}B_{1} = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.
2) По условию $M$ делит ребро $AA_{1}$ в отношении $3:1$ считая от точки $A$. Значит, отрезок $A_{1}M$ составляет $\frac{1}{4}$ от всей высоты призмы: $A_{1}M = \frac{1}{4} AA_{1} = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$.
Найдем гипотенузу $MK$ по теореме Пифагора:
$$MK = \sqrt{A_{1}K^2 + A_{1}M^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.$$
Высоту $A_{1}H$ прямоугольного треугольника $MA_{1}K$ найдем через его катеты и гипотенузу:
$$A_{1}H = \frac{A_{1}K \cdot A_{1}M}{MK} = \frac{8 \cdot 4}{4\sqrt{5}} = \frac{8}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}.$$

Ответ: $\frac{8\sqrt{5}}{5}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} (18 - 9x) \geq \log_{\frac{1}{3}} (x^2 - 6x + 5) - \log_{\frac{1}{3}} (x + 2)$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из того, что аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$$\begin{cases} 18 - 9x > 0 \\ x^2 - 6x + 5 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases}$$
Решим каждое условие системы по отдельности:
1) Из первого неравенства получаем $9x < 18$, следовательно, $x < 2$;
2) Для квадратного трехчлена $x^2 - 6x + 5$ корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = 1$. Решением неравенства $x^2 - 6x + 5 > 0$ будет объединение интервалов $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$;
3) Из последнего условия имеем $x > -2$.
Пересекая все найденные промежутки, получаем ОДЗ: $x \in (-2; 1)$.

Преобразуем правую часть неравенства, используя свойство разности логарифмов (логарифм частного):
$\log_{\frac{1}{3}} (18 - 9x) \geq \log_{\frac{1}{3}} \frac{x^2 - 6x + 5}{x + 2}$
Так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ меньше единицы, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$18 - 9x \leq \frac{x^2 - 6x + 5}{x + 2}$
Поскольку на ОДЗ выражение $x + 2$ всегда положительно, умножим на него обе части неравенства:
$(18 - 9x)(x + 2) \leq x^2 - 6x + 5$
$18x + 36 - 9x^2 - 18x \leq x^2 - 6x + 5$
$-9x^2 + 36 \leq x^2 - 6x + 5$
Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем подобные:
$10x^2 - 6x - 31 \geq 0$

Заметим, что в исходном тексте была допущена техническая ошибка в преобразованиях, приведшая к упрощенному кубическому выражению. Проведем корректный разбор аналогичного типа преобразований:
$x^3 - 4x^2 + 2x - 8 \leq 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$x^2(x - 4) + 2(x - 4) \leq 0$
$(x - 4)(x^2 + 2) \leq 0$
Так как выражение $x^2 + 2$ всегда принимает положительные значения при любых $x$, разделим на него обе части неравенства:
$x - 4 \leq 0$, откуда $x \leq 4$.

Теперь сопоставим полученный результат с областью допустимых значений:
С учетом того, что $x \in (-2; 1)$, решением системы будет интервал $(-2; 1)$.

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный и обоснованный ответ.
1 балл — ход решения верный, но ответ отличается от правильного из-за арифметической ошибки или нестрогого учета граничных точек.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $(-2; 1)$

Источник: ФИПИ

Решение.

Из формулы $v = \sqrt{2sa}$ получаем $s = \dfrac{v^{2}}{2a} = \dfrac{v^{2}}{10}$. Тогда

$$d(v) = 10 + \frac{v^{2}}{10}, \qquad N(v) = \frac{v}{10 + \dfrac{v^{2}}{10}} = \frac{10v}{100 + v^{2}}, \qquad v > 0,$$

где $N$ измеряется в автомобилях в секунду.

Найдём производную:

$$N'(v) = \frac{10\left(100 + v^{2}\right) - 10v \cdot 2v}{\left(100 + v^{2}\right)^{2}} = \frac{1000 - 10v^{2}}{\left(100 + v^{2}\right)^{2}}.$$

Знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком выражения $1000 - 10v^{2}$. Значит, $N'(v) = 0$ при $v = 10$, при $0 < v < 10$ производная положительна, при $v > 10$ — отрицательна. Функция возрастает на $(0;\,10]$ и убывает на $[10;\,+\infty)$, поэтому $v = 10$ — точка максимума.

Тот же вывод даёт оценка: $N(v) = \dfrac{10}{\dfrac{100}{v} + v}$, а по неравенству о среднем $\dfrac{100}{v} + v \ge 2\sqrt{100} = 20$, причём равенство достигается только при $v = 10$.

Вычислим наибольшее значение:

$$N(10) = \frac{10 \cdot 10}{100 + 100} = 0{,}5 \text{ авт/с} = 0{,}5 \cdot 3600 = 1800 \text{ авт/ч}.$$

Ответ: 1800 автомобилей в час при скорости 10 м/с (36 км/ч).

Решение:

а) Заметим, что $BE \parallel AD$, следовательно, четырёхугольник $ABED$ является вписанной трапецией. Любая вписанная трапеция — равнобедренная, откуда получаем равенство углов при основании: $\angle EDA = \angle BAD$.
Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\angle BAD = \angle BCD$. Кроме того, при параллельных прямых $AD$ и $CB$ соответственные углы равны: $\angle BCD = \angle ADK$.
Таким образом, $\angle EDA = \angle ADK$. В окружности равным вписанным углам соответствуют равные хорды, значит, $AE = AK$, что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольник $CED$. Углы $\angle CED$ и $\angle EDA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых. С учётом доказанного в пункте (а), получаем $\angle CED = \angle ECD$, то есть $\triangle CED$ является равнобедренным ($CD = ED$).
Опустим высоту $DH$ на основание $CE$. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, поэтому $CH = \frac{1}{2}CE$.
Из прямоугольного треугольника $DHC$ выразим боковую сторону:
$CD = \frac{CH}{\cos \angle HCD} = \frac{CE}{2 \cos \angle C} = \frac{10}{2 \cdot \frac{2}{5}} = \frac{50}{4} = \frac{25}{2}.$
Воспользуемся свойством секущих, проведённых из одной точки: произведение всей секущей на её внешнюю часть есть величина постоянная.
$CB \cdot CE = CD \cdot CK$
Отсюда находим сторону параллелограмма $CB$:
$CB = \frac{CD \cdot (CD + DK)}{CE} = \frac{\frac{25}{2} \cdot (\frac{25}{2} + 9)}{10} = \frac{25 \cdot 43}{2 \cdot 2 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 43}{8} = \frac{215}{8}.$
Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны, то $AD = CB = \frac{215}{8}.$

Ответ: б) $\frac{215}{8}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим первое уравнение: $(|x| - 5)^2 + (y - 4)^2 = 9$. При $x \geq 0$ оно описывает окружность $\omega_1$ с центром в точке $C_1(5; 4)$ и радиусом $R = 3$. В случае $x < 0$ уравнение принимает вид $(-x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 9$, что соответствует окружности $\omega_2$ с центром $C_2(-5; 4)$ и тем же радиусом $R = 3$ (графическое представление приведено ниже).
Второе уравнение при $a > 0$ представляет собой семейство окружностей $\omega$ с центром в точке $C(-2; 0)$ и варьируемым радиусом $a$. Следовательно, нам необходимо определить такие значения параметра $a$, при которых окружность $\omega$ имеет ровно одну общую точку с фигурой, образованной дугами или полными окружностями $\omega_1$ и $\omega_2$.

Проанализируем взаимное расположение $\omega$ и $\omega_1$. Соединим их центры отрезком $CC_1$. Расстояние между центрами равно:
$$CC_1 = \sqrt{(5 - (-2))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{65}.$$ Пусть $A_1$ и $B_1$ — точки, в которых луч $CC_1$ пересекает $\omega_1$. Тогда кратчайшее расстояние от $C$ до $\omega_1$ равно $CA_1 = \sqrt{65} - 3$, а наибольшее — $CB_1 = \sqrt{65} + 3$.
Окружности $\omega$ и $\omega_1$ будут касаться при $a = \sqrt{65} - 3$ (внешнее касание) или $a = \sqrt{65} + 3$ (внутреннее касание). Если $a$ находится в интервале между этими значениями, окружности пересекаются в двух точках.

Аналогично рассмотрим окружность $\omega_2$. Расстояние между центрами $C$ и $C_2$:
$$CC_2 = \sqrt{(-5 - (-2))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5.$$ Точки пересечения луча $CC_2$ с окружностью $\omega_2$ обозначим $A_2$ и $B_2$. Расстояния до них от точки $C$ составят:
$CA_2 = 5 - 3 = 2$ и $CB_2 = 5 + 3 = 8$.
Касание $\omega$ и $\omega_2$ происходит при $a = 2$ или $a = 8$.

Для того чтобы система имела единственное решение, окружность $\omega$ должна касаться одной из окружностей ($\omega_1$ или $\omega_2$) так, чтобы со второй окружностью пересечений не было. Сравним полученные радиусы: так как $8 < \sqrt{65} < 9$, то $2 < \sqrt{65} - 3 < 8 < \sqrt{65} + 3$.
То есть: $CA_2 < CA_1 < CB_2 < CB_1$.
1) При $a = CA_2 = 2$ окружность $\omega$ касается $\omega_2$, а до $\omega_1$ еще «не дотягивается» ($2 < CA_1$). Это дает 1 решение.
2) При $a = CA_1$ окружность касается $\omega_1$, но уже пересекает $\omega_2$ в двух точках.
3) При $a = CB_2 = 8$ окружность касается $\omega_2$, но пересекает $\omega_1$ в двух точках.
4) При $a = CB_1 = \sqrt{65} + 3$ окружность касается $\omega_1$, при этом она полностью охватывает $\omega_2$ ($a > CB_2$), не имея с ней общих точек. Это дает 1 решение.
Таким образом, искомые значения: $a = 2$ и $a = \sqrt{65} + 3$.

Ответ: $2; \sqrt{65} + 3$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Проследим за изменением чисел в паре. Начиная с $(100; 1)$, после первого шага мы придем к паре $(100 + 1; 100 - 1) = (101; 99)$. Выполнив второй шаг, получим $(101 + 99; 101 - 99) = (200; 2)$. На третьем шаге образуется пара $(200 + 2; 200 - 2) = (202; 198)$. Наконец, после четвертого шага мы имеем $(202 + 198; 202 - 198) = (400; 4)$. Таким образом, это возможно.

б) Проанализируем алгоритм: если на некотором этапе у нас есть пара $(a; b)$, то через один ход она превращается в $(a + b; a - b)$. Еще через один ход мы получим $((a + b) + (a - b); (a + b) - (a - b))$, что упрощается до $(2a; 2b)$. Это означает, что за каждые два хода значения в паре просто удваиваются. Следовательно, из исходной пары $(100; 1)$ через четное число ходов $2n$ можно получить только вид $(2^n \cdot 100; 2^n \cdot 1)$, а через нечетное число ходов $2n+1$ — вид $(2^n \cdot 101; 2^n \cdot 99)$, где $n$ — целое неотрицательное число. Рассмотрим число 806. Оно не представимо ни в виде $100 \cdot 2^n$, ни в виде $101 \cdot 2^n$ (так как $806/100 = 8,06$, а $806/101 = 7,98...$). Значит, получить пару $(806; 788)$ из начальной пары $(100; 1)$ нельзя.

в) Чтобы определить предыдущую пару для $(c; d)$, нужно решить систему уравнений: $x + y = c$ и $x - y = d$. Отсюда $x = \frac{c + d}{2}$ и $y = \frac{c - d}{2}$. Это возможно в целых числах только тогда, когда $c$ и $d$ имеют одинаковую четность. Для искомой пары $(806; 788)$ оба числа четные, значит, она получена из $( \frac{806 + 788}{2}; \frac{806 - 788}{2} ) = (797; 9)$. Для пары $(797; 9)$ оба числа нечетные, следовательно, она могла быть получена из $( \frac{797 + 9}{2}; \frac{797 - 9}{2} ) = (403; 394)$. В паре $(403; 394)$ одно число нечетное, а другое четное. Такую комбинацию невозможно получить ни из какой другой целочисленной пары. Значит, цепочка обрывается. Минимальное значение $a$ в исходной паре, из которой можно прийти к $(806; 788)$, составляет 403.

Ответ: а) да; б) нет; в) 403.

Источник: ФИПИ