Вариант 2 · Октябрь 2026

Решение:
а) Преобразуем исходное уравнение: $2 - 2 \cos ^{2} x + \sqrt{2} \sin x = \sqrt{2} - 2 \sin \left(x - \pi\right)$.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ и формулой приведения $\sin(x - \pi) = -\sin x$. Уравнение примет вид:
$2 \sin^{2} x + \sqrt{2} \sin x - \sqrt{2} - 2 \sin x = 0$.
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$2 \sin x (\sin x - 1) + \sqrt{2} (\sin x - 1) = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$(\sin x - 1)(2 \sin x + \sqrt{2}) = 0$.
Отсюда получаем два возможных случая:
1) $\sin x = 1$, что дает решение $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$;
2) $\sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда следуют две серии корней:
$\left[\begin{matrix} x = - \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ x = - \frac{3 \pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

б) Найдем корни, которые попадают в заданный промежуток $\left[- 2 \pi ; - \frac{\pi}{2}\right]$, используя единичную окружность.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_{1} = - \frac{3 \pi}{2}$ (соответствует точке $\frac{\pi}{2}$);
$x_{2} = - \pi + \frac{\pi}{4} = - \frac{3 \pi}{4}$ (соответствует точке $- \frac{3 \pi}{4}$).

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$; $- \frac{\pi}{4} + 2\pi k$; $- \frac{3 \pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $- \frac{3 \pi}{2}; - \frac{3 \pi}{4}$.

Источник: ФИПИ

Решение:

Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$, в которой сторона основания $AB = 8$, боковое ребро $SB = 7$. Точка $M$ лежит на ребре $AB$ так, что $AM = 2$, следовательно, $MB = 8 - 2 = 6$. Точка $K$ находится на ребре $SB$ на расстоянии $SK = 1$, значит, $BK = 7 - 1 = 6$. Плоскость сечения $\alpha$ проходит через $M$ и $K$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$.
а) 1) Пусть $SO$ — высота пирамиды. Опустим перпендикуляр $KH$ из точки $K$ на плоскость основания. Так как $KH \parallel SO$, то $KH \perp (ABC)$, и точка $H$ лежит на отрезке $OB$. Следовательно, прямая $MH$ является следом плоскости $\alpha$ на основании пирамиды.
2) Продлим прямую $MH$ до пересечения с ребром $DC$ (или его продолжением) в точке $C_{1}$.
3) Рассмотрим подобные треугольники $KHB$ и $SBO$ (у них общий угол при вершине $B$ и прямые углы при вершинах $H$ и $O$).
Из подобия следует: $\frac{HB}{OB} = \frac{KB}{SB} = \frac{6}{7}$.
Обозначим $HB = 6x$, тогда $OB = 7x$. Отсюда $OH = x$. Учитывая, что $O$ — центр квадрата, $DO = OB = 7x$, тогда $DH = DO + OH = 7x + x = 8x$.
4) Треугольники $MHB$ и $C_{1}HD$ подобны по двум углам (вертикальные углы при вершине $H$ и накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$).
Составим пропорцию: $\frac{MB}{DC_{1}} = \frac{HB}{DH} = \frac{6x}{8x} = \frac{6}{8}$.
Вычислим длину отрезка $DC_{1}$: $DC_{1} = \frac{8 \cdot MB}{6} = \frac{8 \cdot 6}{6} = 8$.
Так как длина ребра $DC = 8$, точка $C_{1}$ совпадает с вершиной $C$. Таким образом, плоскость сечения проходит через точку $C$, что и требовалось доказать.
б) 5) В прямоугольном треугольнике $MBC$ по теореме Пифагора находим гипотенузу $MC$: $MC = \sqrt{MB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$.
6) Вычислим высоту пирамиды $SO$. В квадрате $ABCD$ диагональ $BD = 8\sqrt{2}$, значит, $OB = 4\sqrt{2}$.
Из треугольника $SOB$: $SO = \sqrt{SB^{2} - OB^{2}} = \sqrt{7^{2} - (4\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{49 - 32} = \sqrt{17}$.
7) Используя коэффициент подобия из шага 3, найдем высоту сечения $KH$: $\frac{KH}{SO} = \frac{BK}{SB} = \frac{6}{7}$, откуда $KH = \frac{6}{7} \sqrt{17}$.
8) Сечением является треугольник $MKC$. Его площадь равна: $S_{MKC} = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot KH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{6}{7} \sqrt{17} = \frac{30}{7} \sqrt{17}$.

Ответ: б) $\frac{30}{7} \sqrt{17}$

Источник: ФИПИ

Разбор решения:
Дано неравенство: $\log _{4} ((x - 5)(x^{2} - 2x - 15)) + 1 \geq 0{,}5 \log _{2} (x - 5)^{2}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} (x - 5)(x^{2} - 2x - 15) > 0 \\ (x - 5)^{2} > 0 \end{cases}$
Разложим квадратный трёхчлен на множители: $x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$.
Тогда система примет вид:
$\begin{cases} (x - 5)^2 (x + 3) > 0 \\ (x - 5)^2 > 0 \end{cases}$
Решим систему методом интервалов:
Получаем ограничения для переменной: $x \in (-3; 5) \cup (5; +\infty)$.

Преобразуем исходное неравенство, приведя логарифмы к основанию $4$:
Заметим, что $0{,}5 \log_{2} (x - 5)^{2} = \log_{2^2} (x - 5)^{2} = \log_{4} (x - 5)^{2}$.
Представим единицу как $\log_{4} 4$:
$\log_{4} ((x - 5)^{2} (x + 3)) + \log_{4} 4 \geq \log_{4} (x - 5)^{2}$
Используя свойство суммы логарифмов, объединим их в левой части:
$\log_{4} (4(x - 5)^{2} (x + 3)) \geq \log_{4} (x - 5)^{2}$
Так как основание логарифма $4 > 1$, переходим к сравнению аргументов без изменения знака неравенства:
$4(x - 5)^{2} (x + 3) \geq (x - 5)^{2}$
Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель $(x - 5)^{2}$ за скобки:
$(x - 5)^{2} (4(x + 3) - 1) \geq 0$
$(x - 5)^{2} (4x + 12 - 1) \geq 0$
$(x - 5)^{2} (4x + 11) \geq 0$

Решением данного алгебраического неравенства является множество:
$x \in [ -2{,}75 ; +\infty )$

Для нахождения итогового ответа пересечём полученное решение с ОДЗ:

В итоге получаем: $x \in [ -2{,}75 ; 5 ) \cup ( 5 ; +\infty ) .$

Критерии оценивания:
2 балла — получен полностью верный и обоснованный ответ.
1 балл — ход решения верный, но допущена вычислительная ошибка, либо в ответе лишние/недостающие точки из-за нестрогих границ.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $x \in [ - \frac{11}{4} ; 5 ) \cup ( 5 ; + \infty )$

Источник: ФИПИ

Решение.

Суточная выручка равна $48x$ тыс. рублей, поэтому прибыль равна

$$P(x) = 48x - \left(x^{3} + 20\right) = 48x - x^{3} - 20, \qquad x \in [0;\,6].$$

Найдём производную:

$$P'(x) = 48 - 3x^{2} = 3\left(16 - x^{2}\right).$$

На отрезке $[0;\,6]$ производная обращается в нуль только при $x = 4$; при $0 \le x < 4$ она положительна, при $4 < x \le 6$ — отрицательна. Значит, функция возрастает на $[0;\,4]$ и убывает на $[4;\,6]$, поэтому $x = 4$ — точка максимума, и в ней достигается наибольшее значение на всём отрезке.

Вычислим:

$$P(4) = 48 \cdot 4 - 4^{3} - 20 = 192 - 64 - 20 = 108.$$

Для сравнения на концах отрезка: $P(0) = -20$, $P(6) = 288 - 216 - 20 = 52$; оба значения меньше 108.

Ответ: наибольшая суточная прибыль 108 тыс. рублей при выпуске 4 тонн в сутки.

Решение:

а) Обозначим центры данных окружностей как $O_{1}$ и $O_{2}$.
Построим общую касательную к окружностям в точке их касания $K$, которая пересекает отрезок $AB$ в точке $M$.
Согласно свойству отрезков касательных, выходящих из одной точки: $AM = MK$ и $MK = MB$.
В треугольнике $AKB$ отрезок $KM$ является медианой, при этом $KM = \frac{1}{2} AB$. Следовательно, $\triangle AKB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$.
Отсюда получаем: $\angle AKB = 90^{\circ}$. Смежные с ним углы также прямые: $\angle AKD = 90^{\circ}$ и $\angle BKC = 90^{\circ}$.

Так как треугольники $DAK$ и $KCB$ прямоугольные и опираются на хорды $AD$ и $BC$ соответственно, то эти хорды являются диаметрами окружностей.
Поскольку радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной, имеем $AD \perp AB$ и $BC \perp AB$. Из перпендикулярности двух прямых одной и той же прямой следует их параллельность: $AD \parallel BC$.

б) По условию радиус первой окружности $O_{1} D = 4$, значит её диаметр $AD = 8$.
Радиус второй окружности $O_{2} B = 1$, следовательно её диаметр $BC = 2$.
Прямоугольные треугольники $ADK$ и $KBC$ подобны по острому углу. Коэффициент подобия равен отношению диаметров: $k = \frac{AD}{BC} = \frac{8}{2} = 4$.
Тогда отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_{DKA}}{S_{BKC}} = 4^2 = 16$.
Пусть $S_{BKC} = S$, тогда $S_{DKA} = 16S$.
Треугольники $ADK$ и $AKB$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$, поэтому их площади относятся как длины оснований: $\frac{S_{ADK}}{S_{AKB}} = \frac{DK}{KB} = k = 4$.
Отсюда $S_{AKB} = \frac{S_{ADK}}{4} = \frac{16S}{4} = 4S$.

Четырехугольник $ABCD$ — трапеция, в которой площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам ($\triangle AKB$ и $\triangle DKC$), равны. Значит, $S_{DKC} = S_{AKB} = 4S$.
Общая площадь трапеции: $S_{ABCD} = S_{DKA} + S_{BKC} + S_{AKB} + S_{DKC} = 16S + S + 4S + 4S = 25S$.

Найдем площадь трапеции иным способом. Опустим перпендикуляр $O_{2}H$ из центра меньшей окружности на радиус $O_{1}A$.
Расстояние между центрами $O_{1}O_{2} = 4 + 1 = 5$.
Длина отрезка $O_{1}H = O_{1}A - HA = O_{1}A - O_{2}B = 4 - 1 = 3$.
По теореме Пифагора в $\triangle O_{1}HO_{2}$: $O_{2}H = \sqrt{O_{1}O_{2}^2 - O_{1}H^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.
Высота трапеции $AB$ равна длине $O_{2}H$, то есть $AB = 4$.
$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot AB = \frac{8 + 2}{2} \cdot 4 = 20$.
Приравняем выражения для площади: $25S = 20$, откуда $S = \frac{20}{25} = 0,8$.
Искомая площадь треугольника $AKB = 4S = 4 \cdot 0,8 = 3,2$.

Ответ: 3,2

Источник: ФИПИ

Решение:
Разложим на множители уравнение $y^{2} - 7 y + xy - 4 x + 12 = 0$, рассматривая его как квадратное относительно переменной $y$:
$y^{2} + y(x - 7) - 4x + 12 = 0$
Вычислим дискриминант данного выражения:
$D = (x - 7)^{2} - 4(12 - 4x) = x^{2} - 14x + 49 - 48 + 16x = x^{2} + 2x + 1 = (x + 1)^{2}$
Находим корни уравнения:
$y = \frac{-(x - 7) \pm (x + 1)}{2}$
Откуда получаем две линейные зависимости: $y_1 = 4$ и $y_2 = 3 - x$.
С учетом всех условий, исходная система принимает вид:
$\left\{\begin{matrix} x \geq 4 \\ y > -7 \\ \left[\begin{matrix} x = 4 \\ y = 3 - x \\ y = 4 \end{matrix}\right. \\ y = a - x \end{matrix}\right.$
Последнее уравнение $y = a - x$ представляет собой семейство прямых, параллельных $y = -x$, где $a$ — параметр, отвечающий за сдвиг. Рассмотрим график функции $y = 3 - x$ по характерным точкам:

Анализируя графическое представление, определим значения параметра, при которых система имеет ровно одно решение. Это происходит в промежутках $(l_1; l_2) \cup (l_2; l_3]$.
1) Прямая $l_1$ соответствует случаю прохождения через граничную точку $(4; -7)$, тогда $a = x + y = 4 + (-7) = -3$.
2) Прямая $l_2$ проходит через точку стыка графиков $(4; -1)$, откуда $a = 4 + (-1) = 3$.
3) Прямая $l_3$ проходит через точку пересечения линий $y = 4$ и $x = 4$, то есть через $(4; 4)$, что дает $a = 4 + 4 = 8$.

Таким образом, искомые значения параметра лежат в интервалах от $-3$ до $3$ и от $3$ до $8$ включительно.

Ответ: $(-3; 3) \cup (3; 8]$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. В качестве примера возьмём трёхзначное число $270$ и четырёхзначное число $1935$. Проверим условия: оба числа делятся на $45$, так как $270 = 45 \cdot 6$ и $1935 = 45 \cdot 43$. Их сумма составит:
$$1935 + 270 = 2205.$$