Вариант 3 · Октябрь 2026

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $2 \left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right)^{2} - \frac{5 x + 10}{2 x - 1} + 2 = 0$.
Заметим, что в числителе второй дроби можно вынести общий множитель: $2 \left(\frac{x + 2}{2 x - 1}\right)^{2} - 5 \cdot \frac{x + 2}{2 x - 1} + 2 = 0$.
Установим область допустимых значений: знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq \frac{1}{2}$.
Для упрощения решения введем новую переменную, пусть $t = \frac{x + 2}{2 x - 1}$. Тогда уравнение принимает вид квадратного:
$2 t^{2} - 5 t + 2 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Вычислим корни для переменной $t$:
$t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$, откуда получаем два значения: $t_{1} = 2$ и $t_{2} = \frac{1}{2}$.
Выполним обратную замену:
1) Если $t = 2$, то $\frac{x + 2}{2 x - 1} = 2$. Перемножая крест-накрест, имеем: $x + 2 = 4x - 2$, что дает $3x = 4$, то есть $x = \frac{4}{3}$.
2) Если $t = \frac{1}{2}$, то $\frac{x + 2}{2 x - 1} = \frac{1}{2}$. Отсюда $2(x + 2) = 2x - 1$, что приводит к противоречию: $2x + 4 = 2x - 1$, или $4 = -1$. В этом случае решений нет.
Таким образом, единственным корнем уравнения является $x = \frac{4}{3}$.
б) Проверим, принадлежит ли найденный корень отрезку $\left[- \sqrt{20} ; \sqrt{8}\right]$.
Сравним числа: $- \sqrt{20} < \frac{4}{3} < \sqrt{8}$.
Для удобства возведем части неравенства в квадрат (учитывая знаки):
$- 20 < \frac{16}{9} < 8$.
Так как $\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$, данное двойное неравенство очевидно выполняется. Значит, корень входит в указанный промежуток.

Ответ: а) $\frac{4}{3}$; б) $\frac{4}{3}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Пусть $BB_{1}$ — образующая цилиндра, а $O$ — центр его нижнего основания.

а) 1) Отрезки $AA_{1}$ и $CC_{1}$ также являются образующими, следовательно, прямые $AA_{1}$, $CC_{1}$ и $BB_{1}$ перпендикулярны плоскости основания $(ABC)$.
2) Поскольку хорда $AC$ проходит через центр $O$, она является диаметром окружности. Следовательно, вписанный угол $ABC$, опирающийся на диаметр, равен $90^{\circ}$.
3) Так как $AB \perp BC$ и $AB \perp BB_{1}$ (поскольку образующая перпендикулярна основанию), то прямая $AB$ перпендикулярна всей плоскости боковой грани $(CBB_{1})$. Отсюда следует, что $AB$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности $AB \perp BC_{1}$. Таким образом, $\angle ABC_{1} = 90^{\circ}$, что и требовалось доказать.
б) 4) Заметим, что $BC = B_{1} C_{1}$.
Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:
$$AC = \sqrt{AB^{2} + BC^{2}} = \sqrt{20^{2} + 21^{2}} = \sqrt{400 + 441} = 29.$$
Радиус основания цилиндра равен половине диаметра: $r = \frac{AC}{2} = \frac{29}{2}$.
Вычислим площадь боковой поверхности цилиндра по формуле $S_{б.п.} = 2\pi r \cdot h$, где высота $h = BB_{1} = 15$:
$$S_{б.п.} = 2\pi \cdot \frac{29}{2} \cdot 15 = 29 \cdot 15 \cdot \pi = 435\pi.$$

Ответ: б) $435 \pi$

Источник: ФИПИ

Решим логарифмическое неравенство, предварительно определив область допустимых значений переменной. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$$\begin{cases} x^2 > 0 \\ x^2 - 16x + 64 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ (x - 8)^2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 8 \end{cases}$$

Теперь преобразуем исходное выражение, используя свойства логарифма:

$$\log_{2}(x^2) + \log_{2}((x-8)^2) \leqslant 18$$

$$2\log_{2}|x| + 2\log_{2}|x-8| \leqslant 18$$

Разделим обе части неравенства на 2:

$$\log_{2}|x| + \log_{2}|x-8| \leqslant 9$$

$$\log_{2}(|x| \cdot |x-8|) \leqslant \log_{2} 2^9$$

Так как основание логарифма $2 > 1$, переходим к сравнению аргументов с сохранением знака неравенства:

$$|x^2 - 8x| \leqslant 512$$

Данное неравенство с модулем равносильно системе:

$$\begin{cases} x^2 - 8x \leqslant 512 \\ x^2 - 8x \geqslant -512 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 - 8x - 512 \leqslant 0 \\ x^2 - 8x + 512 \geqslant 0 \end{cases}$$

Рассмотрим второе неравенство системы: $x^2 - 8x + 512 \geqslant 0$. Дискриминант $D = 64 - 4 \cdot 512 < 0$, а коэффициент при $x^2$ положителен, значит, оно выполняется при любых $x$.

Решим первое неравенство: $x^2 - 8x - 512 \leqslant 0$. Найдём корни уравнения $x^2 - 8x - 512 = 0$:

$$D/4 = 16 + 512 = 528 = 16 \cdot 33$$

$$x_{1,2} = 4 \pm 4\sqrt{33}$$

Следовательно, $x \in [4 - 4\sqrt{33}; 4 + 4\sqrt{33}]$. Учитывая ограничения $x \neq 0$ и $x \neq 8$, получаем итоговое решение.

Ответ: $[4 - 4\sqrt{33}; 0) \cup (0; 8) \cup (8; 4 + 4\sqrt{33}]$

Критерии оценивания:
2 балла — представлено полностью верное решение и получен правильный ответ.
1 балл — допущена вычислительная ошибка, не изменившая логику решения, либо в ответе неверно включены/исключены граничные точки.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Источник: ФИПИ

Решение.

Пусть $CM = x$ км, где $0 \leq x \leq 10$. Тогда по берегу кабель идёт $AM = 10 - x$ км, а подводный участок $MB$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $MCB$ с катетами $x$ и $4$, то есть $MB = \sqrt{x^{2} + 16}$ км.

Стоимость прокладки (в млн рублей) равна $$f(x) = 3(10 - x) + 5\sqrt{x^{2} + 16}, \qquad x \in [0; 10] .$$

Найдём производную: $$f'(x) = -3 + \frac{5x}{\sqrt{x^{2} + 16}} .$$ Приравняем её к нулю: $$5x = 3\sqrt{x^{2} + 16} \ \Longrightarrow \ 25x^{2} = 9x^{2} + 144 \ \Longrightarrow \ 16x^{2} = 144 \ \Longrightarrow \ x = 3$$ (отрицательный корень не подходит, так как $x \geq 0$; при $x=3$ обе части равенства $5x=3\sqrt{x^2+16}$ равны $15$).

Обоснуем, что это минимум. Функция $\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+16}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + 16/x^{2}}}$ возрастает при $x > 0$, поэтому $f'$ возрастает и меняет знак с минуса на плюс в точке $x = 3$. Значит, $x = 3$ — точка минимума функции $f$ на отрезке $[0; 10]$.

Вычислим наименьшую стоимость: $$f(3) = 3 \cdot 7 + 5\sqrt{9 + 16} = 21 + 5 \cdot 5 = 21 + 25 = 46 \ \text{(млн руб.)}$$ Для сравнения: $f(0) = 30 + 20 = 50$, $f(10) = 5\sqrt{116} > 53$.

Ответ: 46

Решение:
а) Точка $O$, являясь центром вписанной в четырёхугольник окружности, находится в точке пересечения его биссектрис. Значит, отрезок $LO$ делит угол $KLM$ пополам, откуда получаем $\angle KLO = \angle OLM = 120^{\circ} : 2 = 60^{\circ}$.
Обозначим точку касания окружности со стороной $LM$ как $H$.

Радиус $OH$ перпендикулярен касательной $LM$, то есть $OH \bot LM$.
В прямоугольном треугольнике $LHO$ угол $\angle OLH = 60^{\circ}$, следовательно, $\angle LOH = 30^{\circ}$.
Пусть $A$ — точка касания окружности со стороной $NM$, тогда $OA \bot NM$. Рассмотрим четырёхугольник $AMHO$. Сумма его внутренних углов составляет $360^{\circ}$:
$$\angle AOH + \angle OHM + \angle HMA + \angle MAO = 360^{\circ}$$
Подставив прямые углы при вершинах $H$ и $A$, имеем:
$\angle AOH + 90^{\circ} + \angle AMH + 90^{\circ} = 360^{\circ}$, что дает нам соотношение $\angle AOH + \angle AMH = 180^{\circ}$.
Вычислим величину угла $NML$ в исходном четырёхугольнике $NKLM$:
$\angle NML = 360^{\circ} - (\angle KNM + \angle NKL + \angle KLM) = 360^{\circ} - (90^{\circ} + 120^{\circ} + 120^{\circ}) = 30^{\circ}$.
Тогда из полученного ранее соотношения: $\angle AOH = 180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$.
Заметим, что $\angle AOH + \angle LOH = 150^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$. Это означает, что углы являются смежными, и точки $A, O, L$ лежат на одной прямой. Утверждение доказано.

б) Рассмотрим треугольник $ALM$. Поскольку $LA \bot NM$, он является прямоугольным. При $\angle AML = 30^{\circ}$ катет $LA$, лежащий против этого угла, вдвое меньше гипотенузы $LM$.
Таким образом, $LM = 2 \cdot LA = 2 \cdot 1 = 2$. По теореме Пифагора найдем отрезок $AM$:
$AM = \sqrt{LM^{2} - LA^{2}} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$.
В треугольнике $LOH$ выразим гипотенузу $LO$ через радиус $OH$:
$\sin 60^{\circ} = \frac{OH}{LO} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{OH}{LO} \Rightarrow LO = \frac{2}{\sqrt{3}} OH = \frac{2 \sqrt{3}}{3} OH$.
Так как точки $L, O, A$ лежат на одной прямой, отрезок $LA$ состоит из суммы $LO$ и радиуса $OA$:
$LA = LO + OA = \frac{2 \sqrt{3}}{3} OH + OH = 1$.
Вынесем $OH$ за скобки: $OH \left(\frac{2 \sqrt{3} + 3}{3}\right) = 1$, откуда $OH = \frac{3}{3 + 2 \sqrt{3}}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$OH = \frac{3(2\sqrt{3}-3)}{(2\sqrt{3}+3)(2\sqrt{3}-3)} = \frac{6\sqrt{3}-9}{12-9} = 2\sqrt{3}-3$.
Центр вписанной окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $N$, значит $\angle ONA = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}$.
В треугольнике $ONA$: $\operatorname{tg} 45^{\circ} = \frac{OA}{NA} = 1$, следовательно, $AN = OA = OH = 2 \sqrt{3} - 3$.
Искомая длина стороны $NM$ равна:
$NM = NA + AM = (2 \sqrt{3} - 3) + \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} - 3$.

Ответ: б) $3 \sqrt{3} - 3$

Источник: ФИПИ

Решение:
Нам необходимо найти значения параметра $a$, при которых уравнение $\sqrt{x^{4} - 16 x^{2} + 64 a^{2}} = x^{2} - 4 x + 8 a$ имеет ровно три различных решения. (Заметим, что исходное выражение в условии эквивалентно равенству $\sqrt{x^{4} - 16 x^{2} + 64 a^{2}} = x^{2} - 4 x + 8 a$).
Данное уравнение равносильно следующей смешанной системе:
$\left\{\begin{matrix} x^{4} - 16 x^{2} + 64 a^{2} = \left(x^{2} + 4 x - 8 a\right)^{2} \quad ( 1 ) \\ x^{2} + 4 x - 8 a \geq 0 \end{matrix}\right.$
Преобразуем уравнение $( 1 )$, используя формулу квадрата суммы трех слагаемых $\left(a + b + c\right)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc$:
$x^{4} - 16 x^{2} + 64 a^{2} = x^{4} + 16 x^2 + 64 a^{2} + 2 \cdot x^2 \cdot 4x + 2 \cdot x^{2} \cdot (- 8 a) + 2 \cdot 4 x \cdot (- 8 a)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^{4} - 16 x^{2} + 64 a^{2} = x^{4} + 16 x^2 + 64 a^{2} + 8 x^{3} - 16 ax^{2} - 64 ax$
Перенесем всё в одну сторону и упростим:
$8 x^{3} - 16 ax^{2} - 64 ax + 32 x^{2} = 0$
Вынесем общий множитель $8x$ за скобки:
$8 x (x^{2} - 2 ax - 8 a + 4 x) = 0$
Отсюда получаем первый корень $x_{1} = 0$ или квадратное уравнение:
$x^{2} + (4 - 2 a) x - 8 a = 0$
Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:
$D = (4 - 2 a)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8 a) = 16 - 16 a + 4 a^{2} + 32 a = 4 a^{2} + 16 a + 16 = (2 a + 4)^{2}$
Вычислим оставшиеся корни:
$x_{2} = \frac{-(4 - 2 a) - (2 a + 4)}{2} = \frac{-4 + 2a - 2a - 4}{2} = -4$
$x_{3} = \frac{-(4 - 2 a) + (2 a + 4)}{2} = \frac{-4 + 2a + 2a + 4}{2} = 2a$
Теперь проверим, при каких $a$ эти корни удовлетворяют условию $x^{2} + 4 x - 8 a \geq 0$:
Для $x_{1} = 0$: $0^2 + 4 \cdot 0 - 8 a \geq 0 \Rightarrow -8a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$.
Для $x_{2} = -4$: $(-4)^2 + 4 \cdot (-4) - 8 a \geq 0 \Rightarrow 16 - 16 - 8 a \geq 0 \Rightarrow a \leq 0$.
Для $x_{3} = 2a$: $(2a)^2 + 4 \cdot (2a) - 8 a \geq 0 \Rightarrow 4a^2 \geq 0$. Это верно для любого $a \in \mathbb{R}$.
Чтобы уравнение имело ровно 3 решения, необходимо, чтобы все три корня были различными и удовлетворяли условию $a \leq 0$.
Проверим условия совпадения корней:
1) $x_{1} = x_{2} \Rightarrow 0 = -4$ (невозможно).
2) $x_{2} = x_{3} \Rightarrow -4 = 2a \Rightarrow a = -2$.
3) $x_{1} = x_{3} \Rightarrow 0 = 2a \Rightarrow a = 0$.
Следовательно, при $a < 0$ у нас есть три потенциальных корня, но при $a = -2$ и $a = 0$ они склеиваются, и их становится меньше трех. При $a > 0$ корни $x_1$ и $x_2$ не подходят по условию системы.

Ответ: $\left(- \infty ; - 2\right) \cup \left(- 2 ; 0\right)$

Источник: ФИПИ

Решение:
Вспомним определение: среднее арифметическое набора из $n$ чисел равно их сумме $S$, делённой на количество $n$. Отсюда сумма $S = n \cdot M$, где $M$ — среднее арифметическое.
Пусть в наборе есть произвольные числа. Выберем любые три числа $a, b, c$ и добавим к ним четвёртое число $x_1$. По условию, их среднее арифметическое — целое число $M_1$. Тогда:
$a + b + c + x_1 = 4 \cdot M_1$
Если же вместо $x_1$ мы возьмём другое число из набора $x_2$, то получим:
$a + b + c + x_2 = 4 \cdot M_2$, где $M_2$ — также целое число.
Вычитая одно равенство из другого, находим: $x_1 - x_2 = 4(M_1 - M_2)$.
Это означает, что разность любых двух элементов набора обязана быть кратна 4. Проведя аналогичные рассуждения для групп из 7 чисел, получим, что разность любых двух чисел набора должна делиться и на 7. Следовательно, разность любых двух чисел в наборе делится на $НОК(4; 7) = 28$.

а) Проверим, могут ли в наборе присутствовать числа 1414 и 567. Найдём их разность: $1414 - 567 = 847$. Число 847 не является кратным 4 (так как 844 делится на 4, а 847 — нет). Значит, такая ситуация невозможна.

б) Рассмотрим число 567. При делении на 4 оно даёт остаток 3 ($567 = 141 \cdot 4 + 3$). Поскольку разность любых чисел набора кратна 4, все числа в наборе должны иметь вид $4k + 3$. Однако известно, что квадраты целых чисел при делении на 4 могут давать только остатки 0 или 1. Таким образом, число в наборе не может быть квадратом целого числа. Ответ: нет.

в) Пусть в наборе $n$ различных натуральных чисел. Так как разность любых двух из них делится на 28, их можно представить как $a_1, a_1 + 28k_1, a_1 + 28k_2, \dots$. Минимальная разность между самым большим и самым маленьким числом при наличии $n$ элементов составит $28(n-1)$.
По условию, среднее арифметическое всех $n$ чисел должно быть целым, то есть их сумма $S$ должна делиться на $n$.
Заметим, что разность любых двух чисел делится на 28. Это значит, что все числа имеют одинаковый остаток при делении на 28. Пусть это числа $r, r+28d_1, r+28d_2, \dots, r+28d_{n-1}$. Их сумма $S = nr + 28 \sum d_i$. Чтобы $S$ делилось на $n$, необходимо, чтобы $28 \sum d_i$ делилось на $n$.
В простейшем случае, если мы возьмём числа $r, r+28, r+56, \dots, r+28(n-1)$, их сумма будет $S = nr + 28 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = nr + 14n(n-1)$. Такая сумма всегда делится на $n$.
Однако условие должно выполняться для любых 4 и 7 чисел. Это накладывает условие на $n$: чтобы можно было выбрать такие группы, $n$ должно быть не меньше 7.
Если $n=7$, то сумма любых 4 чисел должна делиться на 4. Пусть числа $x_i = 28k_i + r$. Сумма четырёх: $4r + 28(k_1+k_2+k_3+k_4)$. Она всегда делится на 4.
Сумма семи: $7r + 28(k_1+\dots+k_7)$. Она всегда делится на 7.
Чтобы все числа были различными, минимальное $n$ должно позволять выполнять условия задачи. Проверим $n=8$. Для $n=8$ условие кратности разности 28 сохраняется.
Пример для $n=8$: возьмём числа с шагом 28, например: $1, 29, 57, 85, 113, 141, 169, 197$. Любые 4 числа дадут сумму, кратную 4, и любые 7 — кратную 7.
Минимальное $n$, удовлетворяющее условию возможности выбора групп по 4 и по 7, — это 8 (так как в условии сказано "любых 4" и "любых 7", что подразумевает наличие хотя бы 7+1 элементов для нетривиальности, хотя формально достаточно $n \ge 7$. Но при $n=7$ "любые 7" — это только весь набор). Перебор показывает, что наименьшее подходящее $n=8$.

Ответ: а) нет б) нет в) 8