Вариант 6 · Октябрь 2026

Решение:
Для начала упростим исходное уравнение. Заметим, что выражение $4^{x}$ всегда принимает положительные значения, поэтому дополнительные ограничения не требуются.

$$2^{2 x} - \sqrt{3} \cos х - \sin 2 x = 4^{x}$$

Так как $2^{2x} = 4^x$, эти слагаемые взаимно уничтожаются. Применив формулу синуса двойного угла, получаем:
$-2 \sin х \cos х - \sqrt{3} \cos х = 0$
Вынесем общий множитель за скобки и сменим знаки:
$\cos х \cdot (2 \sin х + \sqrt{3}) = 0$

Данное уравнение распадается на два случая:
$\cos х = 0$ или $\sin х = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решая эти простейшие уравнения, находим совокупность корней:
$$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{2} + \pi n \\ x = - \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \\ x = - \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n \end{matrix}\right. , n \in \mathbb{Z}$$

б) Выполним отбор найденных значений на заданном промежутке $\left[- \frac{\pi}{2} ; \frac{3 \pi}{2}\right].$
Поскольку длина данного интервала составляет ровно $2 \pi$, удобно воспользоваться методом тригонометрической окружности.

Согласно графическому представлению, в указанный отрезок попадают следующие числа:
Из первой серии: $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$ и $\frac{3\pi}{2}$.
Из второй серии: $-\frac{\pi}{3}$.
Из третьей серии: $\frac{4\pi}{3}$ (так как $- \frac{2 \pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$).

Ответ:
а) $\frac{\pi}{2} + \pi n; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$;
б) $- \frac{\pi}{2}; - \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2}; \frac{4 \pi}{3}; \frac{3 \pi}{2}$.

Источник: ФИПИ

Решение:

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду $ABCD$. Согласно условию, стороны основания $AB = BC = AC = 5$, а боковые ребра $AD = BD = CD = 9$. Точка $T$ делит ребро $AD$ в отношении $AT : TD = 1 : 2$.
а) 1) По условию плоскость сечения проходит через точку $T$ параллельно прямым $BD$ и $AC$. Следовательно, линии пересечения сечения с гранями будут параллельны этим прямым: $TN \parallel BD$ и $TM \parallel AC$.
Проведем через точку $M$ прямую $ME$, параллельную $BD$. Соединив точки $N$ и $E$, получим четырехугольник $TMEN$, являющийся искомым сечением.
2) В основании лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $5$, боковые ребра пирамиды равны $9$.
3) Воспользуемся теоремой о пропорциональных отрезках:
Из параллельности $TN \parallel BD$ следует, что $\frac{AN}{NB} = \frac{AT}{TD} = \frac{1}{2}$.
Из параллельности $TM \parallel AC$ следует, что $\frac{DM}{MC} = \frac{DT}{TA} = \frac{2}{1}$, то есть $\frac{CM}{MD} = \frac{1}{2}$.
Из параллельности $ME \parallel BD$ следует, что $\frac{CE}{EB} = \frac{CM}{MD} = \frac{1}{2}$.
Заметим, что $\frac{CE}{EB} = \frac{AN}{NB} = \frac{1}{2}$. Это означает, что прямая $NE$ параллельна стороне $AC$.
Таким образом, в четырехугольнике $TMEN$ противоположные стороны попарно параллельны ($TM \parallel NE \parallel AC$ и $TN \parallel ME \parallel BD$), значит, $TMEN$ — параллелограмм.
4) Проведем апофему $DH$ в грани $ADC$ и медиану $BH$ в основании $ABC$.

Так как $DH \perp AC$ и $BH \perp AC$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $DBH$. Следовательно, $AC \perp BD$.
5) Поскольку $TN \parallel BD$ и $NE \parallel AC$, а $BD \perp AC$, то и $TN \perp NE$.
6) Параллелограмм $TMEN$, имеющий прямой угол, является прямоугольником.
б) 7) Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $TN \parallel BD$, то $\triangle ANT \sim \triangle ABD$ по двум углам (угол $A$ общий).
Коэффициент подобия равен $\frac{AT}{AD} = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$.
Отсюда $NT = \frac{1}{3} BD = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$.
8) Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $TM \parallel AC$, то $\triangle TDM \sim \triangle ADC$ (угол $D$ общий).
Коэффициент подобия равен $\frac{DT}{DA} = \frac{2}{3}$.
Тогда $TM = \frac{2}{3} AC = \frac{2}{3} \cdot 5 = \frac{10}{3}$.
Площадь прямоугольника $TMEN$ вычисляется как произведение его сторон:
$S_{TMEN} = TN \cdot TM = 3 \cdot \frac{10}{3} = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ

Разбор решения:
Исходное неравенство: $16^{\frac{1}{x} - 1} - 4^{\frac{1}{x} - 1} - 2 \geq 0$.
Заметим, что $16 = 4^2$, тогда выражение можно переписать в виде: $\left(4^{\frac{1}{x} - 1}\right)^{2} - 4^{\frac{1}{x} - 1} - 2 \geq 0$.
Введем новую переменную $t = 4^{\frac{1}{x} - 1}$, где $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $t^{2} - t - 2 \geq 0$.
Для разложения левой части на множители найдем корни уравнения $t^{2} - t - 2 = 0$:
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 = 3^2$.
Корни: $t_{1} = \frac{1 + 3}{2} = 2$ и $t_{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$.
Следовательно, неравенство принимает вид: $(t - 2)(t + 1) \geq 0$.
Решим его относительно $t$ с помощью метода интервалов:

Учитывая условие $t > 0$, получаем решение: $t \geq 2$.
Выполним обратную подстановку:
$4^{\frac{1}{x} - 1} \geq 2$
Приведем обе части к основанию $2$:
$(2^2)^{\frac{1}{x} - 1} \geq 2^1$
$2^{\frac{2}{x} - 2} \geq 2^1$
Так как основание $2 > 1$, переходим к сравнению показателей:
$\frac{2}{x} - 2 \geq 1$
$\frac{2}{x} - 3 \geq 0$
Приведем к общему знаменателю: $\frac{2 - 3x}{x} \geq 0$.
Определим критические точки: числитель равен нулю при $x = \frac{2}{3}$, знаменатель не равен нулю при $x \neq 0$.

Согласно распределению знаков на числовой прямой, решением является промежуток: $x \in (0; \frac{2}{3}]$.

Критерии оценивания:
2 балла — решение полностью верно и обосновано.
1 балл — допущена одна вычислительная ошибка при верном алгоритме, либо неверно включены/исключены граничные точки.
0 баллов — решение не соответствует указанным выше требованиям.

Ответ: $(0; \frac{2}{3}]$

Источник: ФИПИ

Решение.

Мяч находится на высоте не менее $8$ метров в те моменты $t$, для которых $$2 + vt - 5t^{2} \geq 8 \quad \Longleftrightarrow \quad 5t^{2} - vt + 6 \leq 0 .$$

Квадратный трёхчлен $5t^{2} - vt + 6$ имеет положительный старший коэффициент, поэтому он принимает неположительные значения ровно на отрезке между своими корнями, и такой отрезок существует лишь при $D = v^{2} - 120 > 0$. Корни равны $$t_{1,2} = \frac{v \mp \sqrt{v^{2} - 120}}{10},$$ и оба они положительны при $v > 0$. Длительность полёта на высоте не менее $8$ метров равна длине этого отрезка: $$\Delta t = t_{2} - t_{1} = \frac{\sqrt{v^{2} - 120}}{5} .$$

Требование $\Delta t \geq 1{,}4$ даёт $$\frac{\sqrt{v^{2} - 120}}{5} \geq 1{,}4 \quad \Longleftrightarrow \quad \sqrt{v^{2} - 120} \geq 7 \quad \Longleftrightarrow \quad v^{2} - 120 \geq 49 \quad \Longleftrightarrow \quad v^{2} \geq 169 .$$ Так как $v > 0$, получаем $v \geq 13$.

Функция $\Delta t(v) = \dfrac{\sqrt{v^{2} - 120}}{5}$ возрастает при $v > \sqrt{120}$, поэтому при всех $v \geq 13$ условие выполнено, а при $v < 13$ не выполнено. Значит, наименьшая подходящая начальная скорость равна $13$ м/с; при ней $\Delta t = \dfrac{\sqrt{169 - 120}}{5} = \dfrac{7}{5} = 1{,}4$ с.

Ответ: 13

Решение:

а) Выполним дополнительное построение: продлим отрезок $BN$ до его пересечения с прямой $AD$ в точке $S.$
Обозначим сторону $AD$ как $2x.$ Согласно условию, $CD = 3AD,$ следовательно, $CD = 6x.$
Тогда имеем: $AM = MD = x,$ а точка $N$ делит сторону $CD$ в отношении $1:2,$ то есть $DN = 2x$ и $CN = 4x.$
Проанализируем пару треугольников $\triangle DNS$ и $\triangle CNB:$
$\angle DSN = \angle NBC$ (как накрест лежащие при параллельных прямых)
$\angle SDN = \angle BCN = 90^{\circ}$
Следовательно, $\triangle DNS \sim \triangle CNB$ по двум углам.
Из подобия вытекает отношение сторон: $\frac{DN}{CN} = \frac{NS}{NB} = \frac{DS}{CB}.$
Подставим значения: $\frac{2x}{4x} = \frac{NS}{NB} = \frac{DS}{2x},$ откуда находим $DS = x.$
Пусть точка $K_{1}$ является точкой пересечения отрезков $BS$ и $MC.$
Рассмотрим треугольники $\triangle MK_{1}S$ и $\triangle K_{1}BC:$
Заметим, что $MS = MD + DS = x + x = 2x,$ значит $MS = BC = 2x.$
$\angle MSK_{1} = \angle K_{1}BC$ и $\angle SMK_{1} = \angle K_{1}CB$ как накрест лежащие углы.
Отсюда следует, что $\triangle MK_{1}S = \triangle K_{1}BC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников получаем $MK_{1} = K_{1}C,$ что означает, что $K_{1}$ — середина отрезка $MC.$
Поскольку по условию $K$ также является серединой $MC,$ точки $K$ и $K_{1}$ совпадают. Это доказывает, что точки $B, K$ и $N$ лежат на одной прямой $BS.$
б) При $AD = 4$ получаем $CD = 12,$ тогда $ND = 4$ и $CN = 8.$
Из ранее установленного подобия $\triangle DNS \sim \triangle CNB$ имеем:
$\frac{NS}{NB} = \frac{1}{2},$ то есть $NB = 2NS.$
Пусть $NS = 2y,$ тогда $NB = 4y,$ а вся длина $BS = 6y.$
Так как $\triangle MKS = \triangle KBC,$ точка $K$ делит $BS$ пополам: $SK = KB = 3y.$
Найдем длину искомого отрезка $NK:$ $NK = SK - SN = 3y - 2y = y.$
Таким образом, $NK = \frac{1}{6}BS.$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABS:$
Катет $AB = CD = 12.$
Катет $AS = AD + DS = 4 + 2 = 6.$
Применим теорему Пифагора:
$BS^{2} = AB^{2} + AS^{2} = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180.$
$BS = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$
Следовательно, $NK = \frac{1}{6} \cdot 6\sqrt{5} = \sqrt{5}.$

Ответ: б) $\sqrt{5}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим систему уравнений: $$\begin{cases} |x| + |y| = a \\ y = \sqrt{x + 4} \end{cases}$$ Первое уравнение $|x| + |y| = a$ при $a > 0$ задает на координатной плоскости семейство квадратов с центром в начале координат, диагонали которых лежат на осях $Ox$ и $Oy$. Раскроем модули для построения границ этой фигуры:
1) Если $x \geq 0, y \geq 0$, то получаем прямую $y = -x + a$;
2) Если $x \geq 0, y < 0$, то получаем прямую $y = x - a$;
3) Если $x < 0, y \geq 0$, то получаем прямую $y = x + a$;
4) Если $x < 0, y < 0$, то получаем прямую $y = -x - a$.

Второе уравнение $y = \sqrt{x + 4}$ представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(-4; 0)$ и направленную вправо. Чтобы система имела ровно два решения, график параболы должен пересекать границу квадрата ровно в двух точках.
Анализируя взаимное расположение графиков, заметим:
— При $a = 2$ квадрат проходит через точку $(-2; 0)$, и парабола пересекает его в одной точке. При увеличении $a$ от $2$ до $4$ (не включая границы) будет ровно две точки пересечения.
— При $a = 4$ правая вершина квадрата совпадает с точкой $(4; 0)$, а левая — с $(-4; 0)$. В этом случае количество точек пересечения меняется.
— Также возможно касание ветви параболы и стороны квадрата в верхней полуплоскости. Найдем значение параметра для случая касания с прямой $y = x + a$:
$$\sqrt{x + 4} = x + a$$ Возведем обе части в квадрат (учитывая область определения):
$$x + 4 = (x + a)^2$$ $$x + 4 = x^2 + 2ax + a^2$$ $$x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 4 = 0$$ Условием касания является равенство дискриминанта нулю:
$$D = (2a - 1)^2 - 4(a^2 - 4) = 0$$ $$4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 16 = 0$$ $$-4a + 17 = 0 \Rightarrow a = \frac{17}{4} = 4,25$$ При данном значении параметра $a$ графики имеют общую точку касания, что дает нам еще одно изолированное решение задачи.

Ответ: $(2; 4) \cup \{4,25\}$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Да, такая ситуация возможна.
Предположим, в первую группу попали 4 камня весом по 5 кг и 6 камней весом по 14 кг. Суммарный вес этой группы составит $4 \cdot 5 + 6 \cdot 14 = 20 + 84 = 104$ кг. Во вторую группу тогда войдут оставшиеся 7 камней по 14 кг, их общая масса составит $7 \cdot 14 = 98$ кг. Разница между массами кучек будет равна $104 - 98 = 6$ кг.

б) Обозначим количество камней по 5 кг в первой кучке через $a$, тогда во второй их будет $4 - a$.
Пусть количество камней по 14 кг в первой кучке равно $b$, тогда во второй их останется $13 - b$.
Для равенства масс должно соблюдаться уравнение:
$5a + 14b = 5(4 - a) + 14(13 - b)$
Раскроем скобки и перенесем слагаемые с переменными в одну сторону:
$5a + 14b = 20 - 5a + 182 - 14b$
$10a + 28b = 202$
Разделим обе части на 2:
$5a + 14b = 101$.
Проанализируем уравнение методом остатков. Число $101$ при делении на 5 дает остаток 1. Значит, выражение $14b$ тоже должно давать остаток 1 при делении на 5. Это возможно, если $b$ оканчивается на 4 или 9 (т.е. $b = 4, 9, 14, \dots$).
1) Если $b = 4$, то $5a = 101 - 14 \cdot 4 = 101 - 56 = 45$, откуда $a = 9$. Однако по условию всего 4 камня по 5 кг, значит $a \leq 4$. Противоречие.
2) Если $b = 9$, то $5a = 101 - 14 \cdot 9 = 101 - 126 = -25$, что невозможно, так как количество камней $a$ не может быть отрицательным.
3) При $b \geq 14$ значение $a$ также будет отрицательным.
Следовательно, массы кучек не могут быть равными. Ответ: нет.

в) Нам необходимо минимизировать модуль разности масс: $|M_1 - M_2| = |(5a + 14b) - (5(4-a) + 14(13-b))| = |10a + 28b - 202| = 2|5a + 14b - 101|$.
Здесь $0 \leq a \leq 4$ и $0 \leq b \leq 13$. Рассмотрим возможные значения $a$:
— Если $a = 0$, то ищем $b$, при котором $14b$ ближе всего к $101$. При $b = 7$ получаем $|14 \cdot 7 - 101| = |98 - 101| = 3$. Разность масс: $2 \cdot 3 = 6$.
— Если $a = 1$, ищем $b$, при котором $5 + 14b$ близко к $101$, то есть $14b$ близко к $96$. При $b = 7$ получаем $|5 + 98 - 101| = 2$. Разность масс: $2 \cdot 2 = 4$.
— Если $a = 2$, ищем $b$, при котором $10 + 14b$ близко к $101$, то есть $14b$ близко к $91$. При $b = 6$ получаем $|10 + 84 - 101| = 7$, разность $14$. При $b = 7$ получаем $|10 + 98 - 101| = 7$, разность $14$.
Случаи $a = 3$ и $a = 4$ дадут результаты, аналогичные $a = 1$ и $a = 0$ в силу симметрии распределения камней между кучками.
Минимальное значение разности равно 4 кг. Оно достигается, например, когда в первой кучке 1 камень весом 5 кг и 7 камней весом 14 кг (масса 103 кг), а во второй — 3 камня по 5 кг и 6 камней по 14 кг (масса 99 кг).
$103 - 99 = 4$.