Вариант 7 · Октябрь 2026

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\cos 2 x - \sqrt{2} \cos \left(\frac{3 \pi}{2} + x\right) - 1 = 0$.
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и формулу приведения $\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$:
$1 - 2 \sin ^{2} x - \sqrt{2} \sin x - 1 = 0$.
Упростим выражение и домножим на $-1$:
$2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \sin x = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$\sin x \left(2 \sin x + \sqrt{2}\right) = 0$.
Данное уравнение распадается на два случая:
1) $\sin x = 0$, откуда получаем серию корней $x = \pi n , n \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \sin x + \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \sin x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Решениями этого уравнения являются:
$\left[\begin{matrix} x = - \frac{\pi}{4} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} \\ x = - \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi n , n \in \mathbb{Z} . \end{matrix}\right.$

б) С помощью единичной окружности выберем корни, которые попадают в заданный промежуток $[ \frac{3 \pi}{2} ; 3 \pi )$.

Вычислим значение точки в четвертой четверти: $2 \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7 \pi}{4}$.
Также на указанном отрезке лежат целые значения $\pi$: это $2\pi$ и $3\pi$.
Таким образом, искомые корни: $2 \pi , \frac{7 \pi}{4} , 3 \pi$.

Ответ: а) $\pi n, -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $2 \pi; \frac{7 \pi}{4}; 3 \pi$

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $ANB$. В нём отрезки $AN$ и $BN$ являются высотами равных правильных треугольников, следовательно, $AN = BN = \frac{\sqrt{3}}{2} CD.$ Так как треугольник $ANB$ равнобедренный, его медиана $NM$, проведённая к основанию $AB,$ одновременно служит и высотой, то есть $NM \perp AB.$ Проведя аналогичные рассуждения для треугольника $CMD,$ получим, что $MN \perp CD.$
б) Согласно условию, плоскость $\alpha$ перпендикулярна отрезку $MN.$ Поскольку прямые $AB$ и $CD$ также перпендикулярны $MN,$ плоскость $\alpha$ будет им параллельна.
Пусть плоскость $\alpha$ пересекает рёбра $AC, AD$ и $BD$ в точках $L, P$ и $Q$ соответственно. Сечение $KLPQ$ представляет собой прямоугольник. Это объясняется тем, что пары сторон $KL \parallel PQ \parallel AB$ и $KQ \parallel LP \parallel CD,$ а так как скрещивающиеся рёбра $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны, то и смежные стороны четырёхугольника перпендикулярны.
Заметим, что треугольники $KCL$ и $KBQ$ подобны граням тетраэдра и являются равносторонними. Отсюда находим длины сторон прямоугольника: $KL = KC = 3$ и $QK = BK = 1.$ Таким образом, искомая площадь сечения $KLPQ$ вычисляется как произведение его сторон: $KL \cdot KQ = 3 \cdot 1 = 3.$

Ответ: б) 3

Источник: ФИПИ

Решение:
Для упрощения выражения введем новую переменную, положив $2^{x} = t$, где $t > 0$. Исходное неравенство примет вид:
$$\frac{31 - 5 t}{t^{2} - 24 t + 128} - \frac{1}{4} \geq 0$$
Приведем дроби к общему знаменателю, предварительно разложив квадратный трехчлен в знаменателе первой дроби на множители: $t^{2} - 24 t + 128 = (t - 16)(t - 8)$. Получим:
$$\frac{4(31 - 5t) - (t^2 - 24t + 128)}{4(t - 16)(t - 8)} \geq 0$$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$$\frac{124 - 20t - t^2 + 24t - 128}{4(t - 16)(t - 8)} \geq 0$$
$$\frac{-t^2 + 4t - 4}{4(t - 16)(t - 8)} \geq 0$$
Умножим обе части неравенства на $-4$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$$\frac{t^2 - 4t + 4}{(t - 16)(t - 8)} \leq 0$$
Заметим, что в числителе находится полный квадрат разности:
$$\frac{(t - 2)^2}{(t - 16)(t - 8)} \leq 0$$

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Из чертежа видно, что решением для переменной $t$ являются точка $t = 2$ и интервал $8 < t < 16$.
Перейдем обратно к переменной $x$:
$$\left[\begin{matrix} 2^{x} = 2 \\ 8 < 2^{x} < 16 \end{matrix}\right.$$
Решая совокупность, находим значения $x$:
$$\left[\begin{matrix} x = 1 \\ 3 < x < 4 \end{matrix}\right.$$

Ответ: $\{1\} \cup (3; 4)$

Источник: ФИПИ

Решение.

Функция $v(x) = 5\ln x - 5x + 40$ определена при $x > 0$, значит, на всём отрезке $[0{,}5;\,3]$.

Найдём производную: $$v'(x) = \frac{5}{x} - 5 = \frac{5(1 - x)}{x}.$$

Решим уравнение $v'(x) = 0$: $$1 - x = 0 \implies x = 1,$$ причём $1 \in [0{,}5;\,3]$.

Определим знаки производной. На отрезке $x > 0$, поэтому знак $v'(x)$ совпадает со знаком разности $1 - x$. При $0{,}5 \le x < 1$ имеем $v'(x) > 0$ — функция возрастает; при $1 < x \le 3$ имеем $v'(x) < 0$ — функция убывает. Значит, $x = 1$ — точка максимума, и в ней достигается наибольшее значение на отрезке.

Вычислим это значение: $$v(1) = 5\ln 1 - 5 \cdot 1 + 40 = 0 - 5 + 40 = 35.$$

Ответ: наибольшая скорость прироста равна 35 условных единиц в сутки, она достигается при концентрации 1 г/л.

Решение:

а) Рассмотрим треугольники $KLN$ и $LMN$. По условию они являются равнобедренными, следовательно, $KL = LN$ и $LN = LM$. Отсюда получаем равенство боковых сторон: $KL = LM$, что делает треугольник $KLM$ также равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике $KLM$ углы при основании равны: $\angle LKM = \angle LMK$. Учитывая параллельность оснований трапеции, накрест лежащие углы $\angle LMK$ и $\angle MKN$ равны. Таким образом, $\angle LKM = \angle MKN$, что доказывает, что отрезок $KM$ является биссектрисой угла $LKN$.

б) Пусть $KL = LN = LM = 10{,}5$.
Заметим, что точки $K$, $N$ и $M$ равноудалены от точки $L$ на расстояние $10{,}5$. Это означает, что они лежат на окружности с центром в точке $L$ и радиусом $R = 10{,}5$.

Достроим чертеж, продлив отрезок $LM$ за точку $L$ до пересечения с окружностью в точке $S$. Отрезок $SM$ в этом случае будет диаметром данной окружности.
Четырехугольник $SMNK$ вписан в окружность и является равнобедренной трапецией, откуда следует равенство хорд: $KS = MN$.

Треугольник $SKM$ является прямоугольным, так как его угол $SKM$ опирается на диаметр $SM$.
Длина диаметра $SM = 2 \cdot LM = 2 \cdot 10{,}5 = 21$.
По условию $KM = 20$.
Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения катета $KS$:
$$KS = \sqrt{SM^{2} - KM^{2}} = \sqrt{21^{2} - 20^{2}} = \sqrt{441 - 400} = \sqrt{41}.$$
Так как $MN = KS$, получаем $MN = \sqrt{41}$.

Критерии оценивания:
3 балла — приведено полностью верное доказательство пункта а) и получен правильный ответ в пункте б).
2 балла — верно решен пункт б), либо доказан пункт а), но в пункте б) допущена вычислительная ошибка.
1 балл — доказан только пункт а), либо пункт б) решен верно с опорой на пункт а) (без его доказательства), либо в пункте б) допущена арифметика при верном ходе решения.
0 баллов — решение не соответствует указанным требованиям.

Ответ: $\sqrt{41}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Раскроем модуль в уравнении $\left|x^{2} + a^{2} - 6 x - 4 a\right| = 2 x + 2 a$. Данное уравнение равносильно следующей системе условий:
$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x^{2} + a^{2} - 6 x - 4 a = 2 x + 2 a \\ x^{2} + a^{2} - 6 x - 4 a = - (2 x + 2 a) \end{matrix}\right. \\ 2 x + 2 a \geq 0 \end{matrix}\right.$$
Преобразуем уравнения, перенеся все слагаемые в левую часть и сгруппировав их:
$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} x^{2} - 8 x + a^{2} - 6 a = 0 \\ x^{2} - 4 x + a^{2} - 2 a = 0 \end{matrix}\right. \\ x \geq - a \end{matrix}\right.$$
Выделим полные квадраты для переменных $x$ и $a$, чтобы получить канонические уравнения окружностей:
$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} (x^{2} - 8 x + 16) + (a^{2} - 6 a + 9) = 25 \\ (x^{2} - 4 x + 4) + (a^{2} - 2 a + 1) = 5 \end{matrix}\right. \\ x + a \geq 0 \end{matrix}\right.$$
Таким образом, задача сводится к исследованию совокупности двух окружностей в полуплоскости, заданной неравенством $x \geq - a$:
$$\left\{\begin{matrix} \left[\begin{matrix} \left(x - 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 5^2 \\ \left(x - 2\right)^{2} + \left(a - 1\right)^{2} = (\sqrt{5})^2 \end{matrix}\right. \\ x \geq - a \end{matrix}\right.$$

Определим точки, в которых первая окружность $\left(x - 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 25$ пересекается с граничной прямой $x = - a$. Подставим $-a$ вместо $x$:
$\left(- a - 4\right)^{2} + \left(a - 3\right)^{2} = 25$
$a^{2} + 8 a + 16 + a^{2} - 6 a + 9 = 25$
$2 a^{2} + 2 a = 0 \Rightarrow a(a + 1) = 0$.
Получаем два значения параметра: $a = 0$ (тогда $x = 0$) и $a = - 1$ (тогда $x = 1$).
Аналогично найдем точки пересечения для второй окружности $\left(x - 2\right)^{2} + \left(a - 1\right)^{2} = 5$ с прямой $x = - a$:
$(-a - 2)^{2} + (a - 1)^{2} = 5$
$a^{2} + 4 a + 4 + a^{2} - 2 a + 1 = 5$
$2 a^{2} + 2 a = 0$.
Корни те же:
$\left[\begin{matrix} \left\{\begin{matrix} a = 0 \\ x = 0 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} a = - 1 \\ x = 1 \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.$
Рассматривая экстремальные значения параметра для данных окружностей (точки касания горизонтальных прямых), находим границы интервалов. В нижней точке для меньшей окружности имеем $a = 1 - \sqrt{5}$, а в верхней точке для большей окружности $a = 3 + 5$ (не подходит по условию области) или для меньшей окружности $a = 1 + \sqrt{5}$. Анализируя график и количество решений, получаем искомые промежутки.

Ответ: $\left(1 - \sqrt{5}; - 1\right) \cup \left(0; 1 + \sqrt{5}\right)$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Для подтверждения возможности получения числа 29 приведем конкретную последовательность действий:
$128 \xrightarrow{- 33} 95 \xrightarrow{- 42} 53 \xrightarrow{- 24} 29.$
Здесь на каждом шаге вычитается утроенная сумма цифр текущего числа.

б) Проанализируем свойство делимости. Любое число вида $3 \cdot S(n)$, где $S(n)$ — сумма цифр числа $n$, кратно 3. Если мы прибавляем к числу или вычитаем из него величину, кратную 3, то остаток исходного числа от деления на 3 сохраняется. Следовательно, все числа в цепочке будут иметь тот же остаток при делении на 3, что и начальное число 128.
Разделим 128 на 3: $128 = 3 \cdot 42 + 2$, остаток равен 2. Любое число, полученное из него, также должно давать в остатке 2. Однако число 31 при делении на 3 дает остаток 1 ($31 = 3 \cdot 10 + 1$). Из-за несовпадения остатков получить 31 из 128 невозможно.

в) Попробуем найти минимально возможное натуральное число. Самое маленькое натуральное число — это 1. Но 1 имеет остаток 1 при делении на 3, а наше исходное число 128 имеет остаток 2. Как было доказано в пункте б), остаток измениться не может, поэтому 1 получить нельзя. Следующее по величине число — 2, оно имеет нужный остаток 2. Покажем, что прийти к двойке возможно (достаточно одного примера):
$128 \xrightarrow{- 33} 95 \xrightarrow{- 42} 53 \xrightarrow{+ 24} 77 \xrightarrow{- 42} 35 \xrightarrow{+ 24} 59 \xrightarrow{- 42} 17 \xrightarrow{+ 24} 41 \xrightarrow{- 15} 26 \xrightarrow{- 24} 2.$
Или альтернативный вариант пути:
$128 \xrightarrow{- 33} 95 \xrightarrow{- 42} 53 \xrightarrow{- 24} 29 \xrightarrow{+ 33} 62 \xrightarrow{- 24} 38 \xrightarrow{- 33} 5 \xrightarrow{+ 15} 20 \xrightarrow{+ 6} 26 \xrightarrow{- 24} 2.$

Ответ: а) да; б) нет; в) 2

Источник: ФИПИ