Вариант 8 · Октябрь 2026

Решение:
Рассмотрим уравнение: $2 \log _{9}^{2} x - 3 \log _{9} x + 1 = 0$.
Для начала определим область допустимых значений переменной: $x > 0$.
Введем новую переменную, пусть $\log _{9} x = t$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного: $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
Вычислим корни для $t$:
$t = \frac{3 \pm 1}{4}$, откуда получаем $t_{1} = 1$ и $t_{2} = \frac{1}{2}$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
1) $\log _{9} x = 1 \Rightarrow x = 9^1 = 9$;
2) $\log _{9} x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

б) Выполним отбор найденных корней на промежутке $\left[\sqrt{10}; \sqrt{99}\right]$.

Проверим каждое значение:
Число $x_1 = 9$ можно представить как $\sqrt{81}$. Так как $10 < 81 < 99$, то корень $9$ входит в заданный отрезок.
Число $x_2 = 3$ можно представить как $\sqrt{9}$. Так как $9 < 10$, данный корень не принадлежит указанному интервалу.
Следовательно, условию удовлетворяет только $x = 9$.

Ответ: а) 3; 9; б) 9

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Рассмотрим треугольник $ANB$. Отрезки $AN$ и $BN$ являются высотами в равных правильных треугольниках, следовательно, $AN = BN = \frac{\sqrt{3}}{2} CD$. Так как $AN = BN$, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Его медиана $NM$, проведенная к основанию $AB$, одновременно является и высотой, то есть $NM \perp AB$. Проведя аналогичные рассуждения для треугольника $CMD$, получим, что прямая $MN$ также перпендикулярна ребру $CD$.
б) Пусть плоскость $\alpha$ перпендикулярна отрезку $MN$. Так как $MN$ перпендикулярна обеим прямым $AB$ и $CD$, то эти прямые будут параллельны плоскости $\alpha$.
Пусть точки $L, P$ и $Q$ — это точки, в которых плоскость $\alpha$ пересекает ребра $AC, AD$ и $BD$ соответственно. В сечении образуется четырехугольник $KLPQ$. Его стороны $KL$ и $PQ$ параллельны прямой $AB$, а стороны $KQ$ и $LP$ параллельны прямой $CD$. Поскольку скрещивающиеся ребра $AB$ и $CD$ перпендикулярны друг другу, то и смежные стороны сечения перпендикулярны. Значит, $KLPQ$ — прямоугольник.
Заметим, что треугольники $KCL$ и $KBQ$ подобны исходным граням и являются равносторонними. Отсюда находим длины сторон прямоугольника: $KL = KC = 3$ и $QK = BK = 1$. Тогда искомая площадь сечения вычисляется как произведение его измерений: $S = KL \cdot KQ = 3 \cdot 1 = 3$.

Критерии оценивания:
3 балла — полностью верное доказательство пункта а) и обоснованный правильный ответ в пункте б).
2 балла — верно решен пункт б), ЛИБО доказан пункт а) и при верном ходе решения пункта б) допущена вычислительная ошибка.
1 балл — доказан только пункт а), ЛИБО пункт б) решен с арифметической ошибкой, ЛИБО пункт б) решен верно с опорой на пункт а), который не был доказан.
0 баллов — решение не удовлетворяет ни одному из указанных требований.

Ответ: б) 3

Источник: ФИПИ

Разбор решения:
Исходное неравенство: $\frac{8^{x + 1} - 40}{2 \cdot 64^{x} - 32} \leq 1$.
Преобразуем степени к основанию 8: $\frac{8 \cdot 8^{x} - 40}{2 \cdot (8^{x})^{2} - 32} \leq 1$.
Для упрощения введем новую переменную, обозначив $8^{x}$ через $t$, где $t > 0$.
Получаем рациональное неравенство: $\frac{8t - 40}{2t^2 - 32} \leq 1$.
Сократим дробь в левой части на 2: $\frac{4t - 20}{t^2 - 16} \leq 1$.
Перенесем единицу влево и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4t - 20 - (t^2 - 16)}{t^2 - 16} \leq 0$;
$\frac{-t^2 + 4t - 4}{t^2 - 16} \leq 0$.
В числителе вынесем минус и заметим формулу квадрата разности, а знаменатель разложим по разности квадратов:
$\frac{-(t - 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \leq 0$.
Умножим на $-1$, меняя знак неравенства:
$\frac{(t - 2)^2}{(t - 4)(t + 4)} \geq 0$.
Решим полученное неравенство методом интервалов:

С учетом того, что $t = 8^x > 0$, получаем совокупность условий для $t$:
$\left[\begin{matrix} t < -4 \\ t = 2 \\ t > 4 \end{matrix}\right.$
Перейдем обратно к переменной $x$:
1) $8^x < -4$ — решений нет, так как показательная функция всегда положительна.
2) $8^x = 2 \Rightarrow 2^{3x} = 2^1 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$.
3) $8^x > 4 \Rightarrow 2^{3x} > 2^2 \Rightarrow 3x > 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3}$.
Объединяя результаты, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $\left\{\frac{1}{3}\right\} \cup \left(\frac{2}{3}; +\infty\right)$

Источник: ФИПИ

Решение.

Пусть $x$ — расстояние от первого тепловоза до датчика, причём $0 < x < 60$. Тогда расстояние до второго тепловоза равно $60 - x$, и суммарная интенсивность равна

$$I(x) = \frac{P_1}{4\pi x^{2}} + \frac{P_2}{4\pi (60-x)^{2}} = \frac{1}{4\pi}\left(\frac{0{,}5}{x^{2}} + \frac{4}{(60-x)^{2}}\right).$$

Найдём производную этой функции на промежутке $(0;\,60)$:

$$I'(x) = \frac{1}{4\pi}\left(-\frac{1}{x^{3}} + \frac{8}{(60-x)^{3}}\right).$$

Приравняем производную к нулю:

$$\frac{8}{(60-x)^{3}} = \frac{1}{x^{3}} \iff 8x^{3} = (60-x)^{3} \iff 2x = 60 - x \iff x = 20.$$

Обе части равенства положительны, поэтому переход к кубическому корню равносилен.

Обоснование минимума. Неравенство $8x^{3} < (60-x)^{3}$ равносильно неравенству $2x < 60 - x$, то есть $x < 20$. Значит, при $0 < x < 20$ выполнено $\dfrac{8}{(60-x)^{3}} < \dfrac{1}{x^{3}}$, то есть $I'(x) < 0$; при $20 < x < 60$ знак противоположный, то есть $I'(x) > 0$. Функция $I$ убывает на $(0;\,20]$ и возрастает на $[20;\,60)$, поэтому $x = 20$ — точка минимума.

Ответ: 20 м от первого тепловоза.

Решение:

а) Согласно условию, точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $CB$ соответственно. Отсюда следует, что отрезок $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$, и, значит, $MN \parallel AC$.
Обозначим $\angle CAL = \angle LAB = \alpha$. Так как $ML \parallel AC$, то накрест лежащие углы при секущей $AL$ равны: $\angle CAL = \angle MLA = \alpha$.
В треугольнике $AML$ углы при основании равны ($\angle MAL = \angle MLA$), следовательно, он равнобедренный: $AM = ML$. Учитывая, что $M$ — середина $AB$, получаем $AM = ML = MB$.
Так как медиана $ML$ в треугольнике $ABL$ равна половине стороны, к которой она проведена ($ML = \frac{1}{2} AB$), то этот треугольник прямоугольный: $\angle ALB = 90^{\circ}$.
Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AL$ и $CB$.
Сравним треугольники $AKC$ и $BKL$:
У них $\angle ACB = \angle BLA = 90^{\circ}$, а углы при вершине $K$ равны как вертикальные ($\angle AKC = \angle BKL$).
Следовательно, $\Delta AKC \sim \Delta BKL$, откуда получаем равенство углов $\angle CAK = \angle KBL = \alpha$.
Поскольку $MN \parallel AC$ и $AC \bot CB$, то $MN \bot CB$.
В треугольнике $CLB$ отрезок $NL$ выступает одновременно высотой и медианой, что делает треугольник равнобедренным. Тогда $\angle CBL = \angle BCL = \alpha$.
Таким образом, $\Delta AML \sim \Delta BLC$ по двум углам:
$\angle MAL = \angle MLA = \angle CBL = \angle BCL = \alpha$.
б) По условию задачи $\cos \angle BAC = \frac{1}{9}$, то есть $\cos 2\alpha = \frac{1}{9}$.
Воспользуемся тригонометрическим тождеством: $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$.
Подставим значение: $\frac{1}{9} = 1 - 2\sin^2 \alpha \Rightarrow 2\sin^2 \alpha = \frac{8}{9} \Rightarrow \sin^2 \alpha = \frac{4}{9}$. Отсюда $\sin \alpha = \frac{2}{3}$.
Из прямоугольного треугольника $ABL$ имеем $\sin \alpha = \frac{BL}{AB} = \frac{2}{3}$.
Используя подобие $\Delta AML \sim \Delta BLC$, установленное в пункте а), запишем отношение соответственных сторон: $\frac{AM}{BL} = \frac{ML}{LC} = \frac{AL}{BC}$.
Заметим, что $AB = 2AM$, тогда $\frac{BL}{2AM} = \frac{2}{3}$, откуда $\frac{BL}{AM} = \frac{4}{3}$.
Следовательно, коэффициент подобия этих треугольников $k = \frac{AM}{BL} = \frac{3}{4}$.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:
$\frac{S_{AML}}{S_{BLC}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$.

Ответ: $\frac{9}{16}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Разберем первое уравнение системы: $y^{2} - xy + 3 x - y - 6 = 0$.
Представим его как квадратное относительно переменной $y$:
$y^{2} - (x + 1)y + 3x - 6 = 0$.
Найдем дискриминант данного выражения:
$D = (x + 1)^{2} - 4(3x - 6) = x^{2} + 2x + 1 - 12x + 24 = x^{2} - 10x + 25 = (x - 5)^{2}$.
Корни уравнения вычисляются по формуле: $y = \frac{(x + 1) \pm (x - 5)}{2}$.
Отсюда получаем две линейные зависимости: $y = x - 2$ и $y = 3$.
Таким образом, исходная задача сводится к анализу системы:
$\left\{\begin{matrix} -2 \leq x < 6 \\ \left[ \begin{matrix} y = x - 2 \\ y = 3 \\ x = -2 \end{matrix} \right. \\ y = a - x \end{matrix}\right.$
Здесь последнее уравнение $y = -x + a$ задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$.
Для построения прямой $y = x - 2$ воспользуемся характерными точками:

Анализируя графическое представление, определим значения параметра $a$, при которых прямая $y = a - x$ имеет ровно две общие точки с графиком совокупности на заданном промежутке. Это происходит в объединении интервалов $(l_{1}; l_{2}] \cup \{l_{3}\} \cup [l_{4}; l_{5})$.
Найдем значения $a$ для граничных положений прямой:
1) Прямая $l_{1}$ касается границы области в точке $(-2; -4)$: $a = x + y = -2 - 4 = -6$.
2) Прямая $l_{2}$ проходит через вершину угла в точке $(-2; 3)$: $a = -2 + 3 = 1$.
3) Прямая $l_{3}$ проходит через точку пересечения линий $y = x - 2$ и $y = 3$. Приравняв их, находим $x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$. Точка $(5; 3)$ дает значение $a = 5 + 3 = 8$.
4) Прямая $l_{4}$ проходит через выколотую точку на линии $y = 3$ с абсциссой $x = 6$, то есть через $(6; 3)$: $a = 6 + 3 = 9$.
5) Прямая $l_{5}$ проходит через выколотую точку на линии $y = x - 2$ с абсциссой $x = 6$, то есть через $(6; 4)$: $a = 6 + 4 = 10$.

Ответ: $(-6; 1] \cup \{8\} \cup [9; 10)$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Да, такая ситуация возможна. Представим, что изначально на доске было 10 шестёрок и 10 семёрок.
Тогда исходное среднее арифметическое составит:
$S_{1} = \frac{10 \cdot 6 + 10 \cdot 7}{20} = \frac{130}{20} = 6{,}5.$
Если мы уменьшим все шестёрки на 1, они превратятся в пятёрки и, согласно условию, будут удалены. Останутся только 10 семёрок. Новое среднее арифметическое будет равно:
$S_{2} = \frac{10 \cdot 7}{10} = 7.$
Очевидно, что $7 > 6{,}5$, то есть среднее значение увеличилось.
б) Предположим, что на доске было $n$ чисел, равных 6. Тогда их суммарное значение равно $6n$. Обозначим сумму остальных $(19 - n)$ чисел через $B$, а последнее, двадцатое число, как $a$.
Исходя из условия, среднее арифметическое всех чисел равно 32:
$\frac{6n + B + a}{20} = 32 \Rightarrow 6n + B + a = 640.$
После того как шестёрки уменьшили на 1 и стерли, на доске осталось $(20 - n)$ чисел, а их среднее стало равно 39:
$\frac{B + a}{20 - n} = 39 \Rightarrow B + a = 39(20 - n).$
Подставим выражение для $(B + a)$ в первое уравнение:
$6n + 39(20 - n) = 640$
$6n + 780 - 39n = 640$
$33n = 140$
$n = \frac{140}{33} = 4\frac{8}{33}.$
Так как количество чисел $n$ должно быть целым, мы пришли к противоречию. Значит, такая ситуация невозможна.
в) Для максимизации итогового среднего арифметического нужно, чтобы количество удаляемых шестёрок $n$ было как можно меньше, а оставшиеся числа — как можно больше (максимальное значение 45).
Запишем уравнение для среднего арифметического исходного набора, где $n$ — количество шестёрок, $a$ — некоторое число из набора, а остальные $(19 - n)$ чисел равны 45:
$\frac{6n + (19 - n) \cdot 45 + a}{20} = 32$
$6n + 855 - 45n + a = 640$
$39n = 215 + a.$
Чтобы $n$ было минимальным целым числом, подберем подходящее $a$ (учитывая, что $a \le 45$ и $a > 5$). При $a = 19$ получаем:
$39n = 215 + 19 = 234 \Rightarrow n = 6.$
Таким образом, в наборе было 6 шестёрок, 13 чисел по 45 и одно число 19. Проверим среднее:
$S_{1} = \frac{6 \cdot 6 + 13 \cdot 45 + 19}{20} = \frac{36 + 585 + 19}{20} = \frac{640}{20} = 32.$
После удаления шестёрок на доске останется $20 - 6 = 14$ чисел. Новое среднее арифметическое составит:
$S_{2} = \frac{13 \cdot 45 + 19}{14} = \frac{585 + 19}{14} = \frac{604}{14} = \frac{302}{7} = 43 \frac{1}{7}.$

Ответ: а) да; б) нет; в) $43 \frac{1}{7}$

Источник: ФИПИ