Вариант 9 · Октябрь 2026

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $36^{x} + 36 \cdot 36^{- x} - 13 \left(6^{x} + 6 \cdot 6^{- x}\right) + 42 = 0$.
Для упрощения введем новую переменную $t = 6^{x} + \frac{6}{6^{x}}$.
Возведем это выражение в квадрат: $t^{2} = \left(6^{x} + \frac{6}{6^{x}}\right)^2 = 36^{x} + 2 \cdot 6^x \cdot \frac{6}{6^x} + \frac{36}{36^{x}} = 36^{x} + 12 + \frac{36}{36^{x}}$.
Отсюда следует, что $36^{x} + \frac{36}{36^{x}} = t^{2} - 12$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$(t^{2} - 12) - 13t + 42 = 0$
$t^{2} - 13t + 30 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета для поиска корней:
$\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 13 \\ t_{1} \cdot t_{2} = 30 \end{cases}$
Получаем два значения: $t = 10$ или $t = 3$.
Вернемся к замене:
$\left[\begin{matrix} 6^{x} + \frac{6}{6^{x}} = 10 \\ 6^{x} + \frac{6}{6^{x}} = 3 \end{matrix}\right.$
Пусть $6^{x} = y$, где $y > 0$. Тогда имеем совокупность квадратных уравнений:
$\left[\begin{matrix} y^2 - 10y + 6 = 0 \quad (1) \\ y^2 - 3y + 6 = 0 \quad (2) \end{matrix}\right.$
Решим каждое из них:
(1) Находим дискриминант: $D = 100 - 4 \cdot 6 = 76 = (2\sqrt{19})^2$.
Корни: $y = \frac{10 \pm 2\sqrt{19}}{2} = 5 \pm \sqrt{19}$. Оба значения положительны.
(2) Здесь $D = 9 - 24 = -15 < 0$, следовательно, в этой ветке решений нет.
Переходим к обратной замене для $y = 5 \pm \sqrt{19}$:
$6^x = 5 + \sqrt{19} \Rightarrow x = \log_{6}(5 + \sqrt{19})$
$6^x = 5 - \sqrt{19} \Rightarrow x = \log_{6}(5 - \sqrt{19})$
б) Проверим принадлежность найденных корней отрезку $[-2; 3]$.
Для первого корня $x_1 = \log_{6}(5 + \sqrt{19})$:
Сравним: $-2 < \log_{6}(5 + \sqrt{19}) < 3$.
Это равносильно: $\log_{6} \frac{1}{36} < \log_{6}(5 + \sqrt{19}) < \log_{6} 216$.
Так как основание логарифма $6 > 1$, переходим к неравенству аргументов: $\frac{1}{36} < 5 + \sqrt{19} < 216$.
Вычтем 5: $\frac{1}{36} - 5 < \sqrt{19} < 211$.
Очевидно, что $-4\frac{35}{36} < \sqrt{19}$ (отрицательное число меньше положительного) и $\sqrt{19} < \sqrt{44521} = 211$. Условие выполняется.
Для второго корня $x_2 = \log_{6}(5 - \sqrt{19})$:
Проверим: $-2 < \log_{6}(5 - \sqrt{19}) < 3$.
Аналогично: $\frac{1}{36} < 5 - \sqrt{19} < 216$.
Вычтем 5: $\frac{1}{36} - 5 < -\sqrt{19} < 211$.
Умножим на $-1$, меняя знаки: $-211 < \sqrt{19} < 5 - \frac{1}{36}$.
$-211 < \sqrt{19} < 4\frac{35}{36}$.
Так как $\sqrt{19} < \sqrt{25} = 5$, а $4\frac{35}{36} \approx 4,97$, проверим точнее: $(\frac{179}{36})^2 = \frac{32041}{1296} \approx 24,7$. Поскольку $19 < 24,7$, неравенство верно.
Оба корня входят в указанный промежуток.

Ответ: а) $\log _{6} \left(5 \pm \sqrt{19}\right)$; б) $\log _{6} \left(5 \pm \sqrt{19}\right)$

Источник: ФИПИ

Решение:

а) 1) Поскольку фигура KLMN является квадратом, сторона $KN$ параллельна стороне $LM$. Отсюда следует, что прямая $LM$ параллельна плоскости основания $(ABC)$.
2) Прямые LM и AB расположены в одной плоскости ADB и не пересекаются, значит, $LM \parallel AB$. Таким образом, мы получаем цепочку параллельности: $KN \parallel LM \parallel AB$.
3) Рассуждая аналогично для другой пары сторон, получаем, что прямые KL, MN и CD также параллельны друг другу. Так как в квадрате смежные стороны перпендикулярны ($KL \perp LM$), то и соответствующие им прямые AB и CD также будут перпендикулярны: $AB \perp CD$.

б) 1) Искомое расстояние от вершины B до плоскости сечения KLM совпадает с высотой пирамиды BKMN, опущенной из точки B на грань KMN. Площадь этого прямоугольного треугольника вычисляется как $S_{KMN} = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot NM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$. Тогда искомое расстояние можно найти через объем: $d(B, KMN) = \frac{3 V_{BKMN}}{S_{KMN}}$.
2) Обозначим за AH высоту исходного тетраэдра ABCD, а за $KH_1$ — высоту пирамиды KBNM, проведенную к плоскости BCD. Найдем объем пирамиды KBNM, используя отношение объемов: $V_{KBNM} = \frac{1}{3} \cdot KH_1 \cdot S_{BMN}$. Учитывая подобие, имеем $KH_1 = \frac{3}{5} AH$ и $S_{BMN} = \frac{4}{25} S_{BCD}$. Тогда $V_{KBNM} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{25} \cdot V_{ABCD}$. Подставив $V_{ABCD} = 25$, получаем $V_{KBNM} = \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{25} \cdot 25 = \frac{12}{5}$.
3) Вычисляем финальное значение расстояния: $d(B, KMN) = \frac{3 \cdot \frac{12}{5}}{2} = \frac{18}{5} = 3,6$.

Ответ: б) 3,6

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\frac{2}{3^{x} + 27} \geq \frac{1}{3^{x} - 27}$.
Для упрощения вычислений введем новую переменную, положив $3^x = t$, где $t > 0$.
Тогда неравенство примет вид:
$\frac{2}{t + 27} \geq \frac{1}{t - 27}$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю:
$\frac{2(t - 27) - (t + 27)}{(t + 27)(t - 27)} \geq 0$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{2t - 54 - t - 27}{(t + 27)(t - 27)} \geq 0$
$\frac{t - 81}{(t + 27)(t - 27)} \geq 0$
Решим полученное рациональное неравенство относительно $t$ методом интервалов:

Согласно распределению знаков на оси, получаем промежутки: $t \in (-27; 27) \cup [81; +\infty)$.
Выполним обратный переход к переменной $x$, учитывая область определения показательной функции:
$\left[\begin{matrix} -27 < 3^x < 27 \\ 3^x \geq 81 \end{matrix}\right.$
Так как $3^x$ всегда принимает только положительные значения, условие $3^x > -27$ выполняется при любых $x \in \mathbb{R}$.
Решим оставшиеся простейшие показательные неравенства:
$\left[\begin{matrix} 3^x < 3^3 \\ 3^x \geq 3^4 \end{matrix}\right.$
Отсюда получаем совокупность для $x$:
$\left[\begin{matrix} x < 3 \\ x \geq 4 \end{matrix}\right.$
Изобразим решение на числовой прямой:

Ответ: $(-\infty; 3) \cup [4; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Решение.

Сделаем замену $u = 2^{-\frac{t}{6}}$. Тогда $$2^{-\frac{t}{3}} = \left(2^{-\frac{t}{6}}\right)^{2} = u^{2},$$ и функция принимает вид $$A = 40\left(u - u^{2}\right).$$ При $t \ge 0$ показатель $-\dfrac{t}{6}$ пробегает все значения от $0$ до $-\infty$, поэтому $u$ принимает все значения из промежутка $(0;\,1]$.

Выделим полный квадрат: $$40\left(u - u^{2}\right) = 40\left(\frac{1}{4} - \left(u - \frac{1}{2}\right)^{2}\right) = 10 - 40\left(u - \frac{1}{2}\right)^{2} \le 10,$$ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $u = \dfrac{1}{2}$.

Значение $u = \dfrac{1}{2}$ допустимо, так как $\dfrac{1}{2} \in (0;\,1]$. Найдём соответствующее время: $$2^{-\frac{t}{6}} = \frac{1}{2} = 2^{-1} \implies -\frac{t}{6} = -1 \implies t = 6.$$

Проверим: $A(6) = 40\left(2^{-1} - 2^{-2}\right) = 40\left(0{,}5 - 0{,}25\right) = 10$.

Ответ: наибольшая активность равна 10 МБк, она достигается через 6 часов.

Решение:

а) Выполним дополнительное построение: продлим отрезок $BN$ до его пересечения с прямой $AD$ в точке $S.$
Обозначим сторону $AD$ как $2x.$ Согласно условию, $CD = 3AD,$ следовательно, $CD = 6x.$
Тогда имеем: $AM = MD = x,$ а точка $N$ делит сторону $CD$ в отношении $1:2,$ то есть $DN = 2x$ и $CN = 4x.$
Проанализируем пару треугольников $\triangle DNS$ и $\triangle CNB:$
$\angle DSN = \angle NBC$ (как накрест лежащие при параллельных прямых)
$\angle SDN = \angle BCN = 90^{\circ}$
Следовательно, $\triangle DNS \sim \triangle CNB$ по двум углам.
Из подобия вытекает отношение сторон: $\frac{DN}{CN} = \frac{NS}{NB} = \frac{DS}{CB}.$
Подставим значения: $\frac{2x}{4x} = \frac{NS}{NB} = \frac{DS}{2x},$ откуда находим $DS = x.$
Пусть точка $K_{1}$ является точкой пересечения отрезков $BS$ и $MC.$
Рассмотрим треугольники $\triangle MK_{1}S$ и $\triangle K_{1}BC:$
Заметим, что $MS = MD + DS = x + x = 2x,$ значит $MS = BC = 2x.$
$\angle MSK_{1} = \angle K_{1}BC$ и $\angle SMK_{1} = \angle K_{1}CB$ как накрест лежащие углы.
Отсюда следует, что $\triangle MK_{1}S = \triangle K_{1}BC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Из равенства треугольников получаем $MK_{1} = K_{1}C,$ что означает, что $K_{1}$ — середина отрезка $MC.$
Поскольку по условию $K$ также является серединой $MC,$ точки $K$ и $K_{1}$ совпадают. Это доказывает, что точки $B, K$ и $N$ лежат на одной прямой $BS.$
б) При $AD = 4$ получаем $CD = 12,$ тогда $ND = 4$ и $CN = 8.$
Из ранее установленного подобия $\triangle DNS \sim \triangle CNB$ имеем:
$\frac{NS}{NB} = \frac{1}{2},$ то есть $NB = 2NS.$
Пусть $NS = 2y,$ тогда $NB = 4y,$ а вся длина $BS = 6y.$
Так как $\triangle MKS = \triangle KBC,$ точка $K$ делит $BS$ пополам: $SK = KB = 3y.$
Найдем длину искомого отрезка $NK:$ $NK = SK - SN = 3y - 2y = y.$
Таким образом, $NK = \frac{1}{6}BS.$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABS:$
Катет $AB = CD = 12.$
Катет $AS = AD + DS = 4 + 2 = 6.$
Применим теорему Пифагора:
$BS^{2} = AB^{2} + AS^{2} = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180.$
$BS = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$
Следовательно, $NK = \frac{1}{6} \cdot 6\sqrt{5} = \sqrt{5}.$

Ответ: б) $\sqrt{5}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим исходную систему уравнений:
$\begin{cases} 4x - y + a = 0 \\ 2|y| - x^2 + 4x = 0 \end{cases}$
Выразим переменную $y$ из первого уравнения и преобразуем второе:
$\begin{cases} y = 4x + a \\ |y| = \frac{1}{2}x^2 - 2x \end{cases}$
Второе уравнение задает геометрическое место точек, которое можно представить в виде совокупности двух функций в зависимости от знака $y$:
$\begin{cases} y = 4x + a \\ \left[ \begin{aligned} &\begin{cases} y \ge 0 \\ y = \frac{1}{2}x^2 - 2x \end{cases} \\ &\begin{cases} y < 0 \\ y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x \end{cases} \end{aligned} \right. \end{cases}$
Проанализируем графики полученных функций.
Для первой параболы $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x$ (при $y \ge 0$):
Абсцисса вершины: $x_0 = \frac{2}{2 \cdot 0,5} = 2$.
Ордината вершины: $y_0(2) = \frac{1}{2} \cdot 4 - 4 = -2$.
Для второй параболы $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x$ (при $y < 0$):
Абсцисса вершины: $x_0 = \frac{-2}{2 \cdot (-0,5)} = 2$.
Ордината вершины: $y_0(2) = -2 + 4 = 2$.

Определим точки пересечения графиков с осью $Ox$:
$\frac{1}{2}x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0$.
Корни: $x = 0$ и $x = 4$.
Система будет иметь три решения в граничных случаях касания или прохождения прямой $y = 4x + a$ через характерные точки.
1) Случай касания прямой и «верхней» части графика (ветви параболы $y = -0,5x^2 + 2x$):
$-0,5x^2 + 2x = 4x + a \Rightarrow -x^2 + 4x = 8x + 2a \Rightarrow x^2 + 4x + 2a = 0$.
Условие касания — равенство дискриминанта нулю:
$D = 16 - 8a = 0 \Rightarrow a = 2$.
2) Прохождение прямой через начало координат $(0; 0)$:
$0 = 4 \cdot 0 + a \Rightarrow a = 0$.
3) Прохождение прямой через точку $(4; 0)$:
$0 = 4 \cdot 4 + a \Rightarrow a = -16$.
4) Случай касания прямой и «нижней» части графика (ветви параболы $y = 0,5x^2 - 2x$):
$0,5x^2 - 2x = 4x + a \Rightarrow x^2 - 4x = 8x + 2a \Rightarrow x^2 - 12x - 2a = 0$.
Приравняем дискриминант к нулю:
$D = 144 + 8a = 0 \Rightarrow 8a = -144 \Rightarrow a = -18$.
Анализируя взаимное расположение прямой и кривых, получаем искомые интервалы для параметра.

Ответ: $(-\infty; -18) \cup (-16; 0) \cup (2; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Решение:
а) Для подтверждения возможности получения числа 29 приведем конкретную последовательность действий:
$128 \xrightarrow{- 33} 95 \xrightarrow{- 42} 53 \xrightarrow{- 24} 29.$
Здесь на каждом шаге вычитается утроенная сумма цифр текущего числа.

б) Проанализируем свойство делимости. Любое число вида $3 \cdot S(n)$, где $S(n)$ — сумма цифр числа $n$, кратно 3. Если мы прибавляем к числу или вычитаем из него величину, кратную 3, то остаток исходного числа от деления на 3 сохраняется. Следовательно, все числа в цепочке будут иметь тот же остаток при делении на 3, что и начальное число 128.
Разделим 128 на 3: $128 = 3 \cdot 42 + 2$, остаток равен 2. Любое число, полученное из него, также должно давать в остатке 2. Однако число 31 при делении на 3 дает остаток 1 ($31 = 3 \cdot 10 + 1$). Из-за несовпадения остатков получить 31 из 128 невозможно.

в) Попробуем найти минимально возможное натуральное число. Самое маленькое натуральное число — это 1. Но 1 имеет остаток 1 при делении на 3, а наше исходное число 128 имеет остаток 2. Как было доказано в пункте б), остаток измениться не может, поэтому 1 получить нельзя. Следующее по величине число — 2, оно имеет нужный остаток 2. Покажем, что прийти к двойке возможно (достаточно одного примера):
$128 \xrightarrow{- 33} 95 \xrightarrow{- 42} 53 \xrightarrow{+ 24} 77 \xrightarrow{- 42} 35 \xrightarrow{+ 24} 59 \xrightarrow{- 42} 17 \xrightarrow{+ 24} 41 \xrightarrow{- 15} 26 \xrightarrow{- 24} 2.$
Или альтернативный вариант пути:
$128 \xrightarrow{- 33} 95 \xrightarrow{- 42} 53 \xrightarrow{- 24} 29 \xrightarrow{+ 33} 62 \xrightarrow{- 24} 38 \xrightarrow{- 33} 5 \xrightarrow{+ 15} 20 \xrightarrow{+ 6} 26 \xrightarrow{- 24} 2.$

Ответ: а) да; б) нет; в) 2

Источник: ФИПИ