Реальный вариант ЕГЭ 2025 №1

Решение:
Исходное уравнение: $2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \sin \left(2 \pi - x\right) + \sqrt{3} \sin 2 x = \sqrt{6} \cos x$.
а) Применим формулу приведения $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ и разложим синус двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Перенесем все слагаемые в левую часть:
$2 \sin ^{2} x - \sqrt{2} \sin x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \sqrt{6} \cos x = 0$.
Воспользуемся методом группировки:
$\sin x (2 \sin x - \sqrt{2}) + \sqrt{3} \cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0$.
Вынесем общий множитель за скобки:
$(2 \sin x - \sqrt{2})(\sin x + \sqrt{3} \cos x) = 0$.
Данное уравнение распадается на два случая:
$\left[\begin{matrix} 2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \\ \sin x + \sqrt{3} \cos x = 0 \end{matrix}\right.$
Решим каждое из них:
1) $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) Разделим обе части уравнения $\sin x = -\sqrt{3} \cos x$ на $\cos x$ (заметим, что если $\cos x = 0$, то и $\sin x = 0$, что невозможно по основному тригонометрическому тождеству):
$\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$, следовательно, $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя результаты, получаем совокупность решений:
$\left[\begin{matrix} x = \frac{\pi}{4} + 2 \pi k \\ x = \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k \\ x = - \frac{\pi}{3} + \pi k \end{matrix}\right. , k \in \mathbb{Z}$.
б) Выполним отбор корней на заданном промежутке $\left[- \pi ; \frac{\pi}{2}\right]$. Для этого воспользуемся единичной окружностью:

Указанному отрезку соответствуют значения: $x_{1} = \frac{\pi}{4}$ и $x_{2} = - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2 \pi k, \frac{3 \pi}{4} + 2 \pi k, - \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{4}$.

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Построим сечение, последовательно соединив вершины $A_{1}$ и $B$, а также точки $A_{1}$ с $M$ и $B$ с $M$.
Полученный треугольник $A_{1}MB$ и является искомым сечением.
Сравним прямоугольные треугольники $\triangle A_{1}C_{1}M$ и $\triangle BCM$:
1. Катеты $C_{1}M$ и $MC$ равны, так как $M$ — середина бокового ребра $CC_{1}$.
2. Катеты $A_{1}C_{1}$ и $BC$ равны как стороны оснований правильной призмы.
Следовательно, $\triangle A_{1}C_{1}M = \triangle BCM$ по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство их гипотенуз: $A_{1}M = BM$.
Это доказывает, что треугольник $A_{1}MB$ является равнобедренным.

б) Пусть половина бокового ребра $MC = C_{1}M = x$, тогда вся высота призмы $CC_{1} = 2x$.
Применим теорему Пифагора для $\triangle BCM$, учитывая, что сторона основания $BC = AB = 2$:
$$BM^{2} = BC^{2} + MC^{2} = 2^2 + x^2 = 4 + x^{2}.$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AA_{1}B$:
$$A_{1}B^{2} = AA_{1}^{2} + AB^{2} = (2x)^{2} + 2^2 = 4x^{2} + 4.$$
В равнобедренном треугольнике $A_{1}MB$ проведем медиану $MH$ к основанию $A_{1}B$. Она также будет являться высотой ($MH \perp A_{1}B$).
Точка $H$ делит отрезок $A_{1}B$ пополам, значит:
$HB = \frac{A_{1}B}{2} = \frac{\sqrt{4x^{2} + 4}}{2} = \frac{2\sqrt{x^{2} + 1}}{2} = \sqrt{x^{2} + 1}.$
Из прямоугольного треугольника $\triangle HMB$ найдем длину высоты $MH$:
$$HM^{2} = MB^{2} - HB^{2} = (4 + x^{2}) - (x^{2} + 1) = 3 \Rightarrow HM = \sqrt{3}.$$
Используя формулу площади треугольника $S_{A_{1}MB} = \frac{1}{2} \cdot A_{1}B \cdot MH$, и зная, что площадь равна $6$, имеем:
$$\frac{1}{2} \cdot A_{1}B \cdot \sqrt{3} = 6 \Rightarrow A_{1}B = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}.$$
Найдем высоту призмы $AA_{1}$, используя ранее выведенную связь с $A_{1}B$:
$AA_{1}^{2} = A_{1}B^{2} - AB^{2} = (4\sqrt{3})^{2} - 2^{2} = 48 - 4 = 44.$
Следовательно, $AA_{1} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}.$

Ответ: $2\sqrt{11}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Дано неравенство: $7 \log _{12} \left(x^{2} - 13 x + 42\right) \leq 8 + \log _{12} \frac{\left(x - 7\right)^{7}}{x - 6}$.
Найдём область допустимых значений переменной, исходя из условий положительности аргументов логарифмов:
$\begin{cases} x^{2} - 13 x + 42 > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{cases}$
Разложим квадратный трёхчлен на множители и проанализируем систему:
$\begin{cases} (x - 6)(x - 7) > 0 \\ \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6} > 0 \end{cases}$

Решением данной системы является множество: $x \in (-\infty; 6) \cup (7; +\infty)$.
Преобразуем исходное выражение, применяя правила логарифмирования произведения и частного:
$\log_{a} (b \cdot c) = \log_{a} b + \log_{a} c$
$\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b - \log_{a} c$
Представим аргумент в левой части как произведение:
$7 \log _{12} ((x - 6)(x - 7)) \leq 8 + \log _{12} \frac{(x - 7)^{7}}{x - 6}$
Раскроем логарифмы (учитывая область определения, где $x-6$ и $x-7$ одного знака):
$7 \log _{12} |x - 6| + 7 \log _{12} |x - 7| \leq 8 + 7 \log _{12} |x - 7| - \log _{12} |x - 6|$
Приведём подобные слагаемые:
$8 \log _{12} |x - 6| \leq 8$
Разделим на 8 и перейдём к потенцированию:
$\log _{12} (x - 6)^2 \leq 2$
$(x - 6)^2 \leq 12^2$
$x^2 - 12x + 36 \leq 144$
Перенесём всё в левую часть и разложим на множители:
$x^2 - 12x - 108 \leq 0$
$(x + 6)(x - 18) \leq 0$

Теперь сопоставим полученный результат с ранее найденными ограничениями:

Таким образом, решением неравенства будут интервалы: $x \in [-6; 6) \cup (7; 18]$.

Ответ: $[-6; 6) \cup (7; 18]$

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ проведём прямую $CC_{1}$, параллельную диагонали $BD$.
Поскольку $ABCD$ является трапецией, основания $BC$ и $AD$ параллельны. Следовательно, $BC \parallel DC_{1}$, где точка $C_{1}$ лежит на продолжении основания $AD$.
Из параллельности противоположных сторон ($BC \parallel DC_{1}$ и $BD \parallel CC_{1}$) следует, что четырёхугольник $BCC_{1}D$ — параллелограмм.
Отсюда получаем равенства: $BC = DC_{1}$ и $BD = CC_{1} = 5$.

Теперь изучим свойства треугольника $ACC_{1}$:
Длина стороны $AC_{1}$ складывается из отрезков $AD$ и $DC_{1}$, то есть $AC_{1} = AD + BC = 13$.
Нам известны длины всех сторон этого треугольника: $AC = 12$, $CC_{1} = 5$ и $AC_{1} = 13$.
Проверим выполнение равенства Пифагора: $AC^{2} + CC_{1}^{2} = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
Так как $13^2 = 169$, то $AC^{2} + CC_{1}^{2} = AC_{1}^{2}$.
Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, $\triangle ACC_{1}$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ ($\angle ACC_{1} = 90^{\circ}$).
Так как $CC_{1} \parallel BD$, угол между диагоналями трапеции также прямой, то есть $\angle COD = 90^{\circ}$. Что и требовалось доказать.

б) Для нахождения высоты трапеции $h$ сопоставим два способа вычисления площади:
1) Через основания: $S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$
2) Через диагонали (так как они перпендикулярны): $S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD$
Приравняв эти выражения, выразим высоту:
$h = \frac{AC \cdot BD}{BC + AD}$.
Подставим числовые значения: $h = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13}$.

Ответ: б) $\frac{60}{13}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим уравнение: $x^{4} + (a - 3)^{2} = |x - a + 3| + |x + a - 3|$.
Легко заметить, что данное уравнение обладает свойством четности относительно переменной $x$. Если некоторое число $x_0$ является корнем, то и $-x_0$ также будет корнем уравнения.
Действительно, при замене $x$ на $-x$:
Левая часть: $(-x)^{4} + (a - 3)^{2} = x^{4} + (a - 3)^{2}$.
Правая часть: $|-x - (a - 3)| + |-x + (a - 3)| = |-(x + a - 3)| + |-(x - a + 3)| = |x + a - 3| + |x - a + 3|$.
Для того чтобы корень был единственным, необходимо выполнение условия $x = 0$.
Найдем значения параметра, при которых $x = 0$ удовлетворяет уравнению:
$0^{4} + (a - 3)^{2} = |0 - a + 3| + |0 + a - 3|$
$(a - 3)^{2} = |3 - a| + |a - 3|$
Так как $|3 - a| = |a - 3|$, получаем:
$(a - 3)^{2} = 2|a - 3|$
Пусть $|a - 3| = t$, где $t \geq 0$. Тогда уравнение принимает вид:
$t^{2} - 2t = 0 \Rightarrow t(t - 2) = 0$
Отсюда $t = 0$ или $t = 2$.
Вернемся к параметру $a$:
1) $|a - 3| = 0 \Rightarrow a = 3$
2) $|a - 3| = 2 \Rightarrow a = 1$ или $a = 5$.
Проанализируем полученные значения:
1) При $a = 3$ уравнение примет вид $x^{4} = |x| + |x|$, то есть $x^{4} = 2|x|$.
Корнями являются $x = 0$ и $|x|^{3} = 2$, что дает $x = \pm \sqrt[3]{2}$. Итого 3 решения, что не подходит.
2) При $a = 1$ уравнение выглядит так: $x^{4} + 4 = |x + 2| + |x - 2|$.
Воспользуемся графическим методом для анализа количества решений:

Рассмотрим функции $f(x) = x^{4} + 4$ и $g(x) = |x + 2| + |x - 2|$.
Раскроем модули для $g(x)$:
$g(x) = \begin{cases} -2x, & \text{если } x < -2 \\ 4, & \text{если } -2 \leq x \leq 2 \\ 2x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$
Из графиков видно, что единственная точка пересечения — это $x = 0$. Следовательно, при $a = 1$ решение единственно.
3) При $a = 5$ уравнение принимает вид $x^{4} + 4 = |x - 2| + |x + 2|$.
Эта ситуация полностью симметрична случаю $a = 1$, и здесь также будет только один корень $x = 0$.
Учитывая структуру исходного уравнения и область значений функций, условие единственности выполняется при $a \leq 1$ и $a \geq 5$.

Ответ: $(-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$

Источник: ФИПИ

Решение:
Обозначим через $x$ количество юношей, отправивших по 5 писем, а через $y$ — количество юношей, отправивших по 16 писем. Согласно условию, общее число юношей совпадает с числом девушек, следовательно, в группе $x + y$ девушек. Суммарное количество писем, отправленных юношами, выражается формулой $5x + 16y$.
а) Проверим, достижима ли ситуация, когда каждая девушка получила ровно по 7 писем. Составим уравнение:
$5x + 16y = 7(x + y)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$5x + 16y = 7x + 7y$
$9y = 2x$
Данное уравнение имеет решение в натуральных числах, например: $x = 9$ и $y = 2$.
В этом случае 9 юношей отправили по 5 писем, а 2 юноши — по 16 писем. Всего было отправлено $9 \cdot 5 + 2 \cdot 16 = 45 + 32 = 77$ писем. Так как девушек в группе $9 + 2 = 11$, и каждая получила по 7 писем, общее число полученных писем также равно $11 \cdot 7 = 77$.
Значит, такая ситуация возможна.
б) Пусть каждая девушка получила по $n$ писем. Тогда общее количество писем должно удовлетворять равенству $5x + 16y = n(x + y)$.
Преобразуем выражение:
$16y - ny = nx - 5x$
$y(16 - n) = x(n - 5)$
Отсюда следует, что отношение $x/y = (16 - n)/(n - 5)$. Чтобы найти минимально возможное общее количество человек, возьмем наименьшие целые значения для $x$ и $y$, соответствующие этому отношению: $x = 16 - n$ и $y = n - 5$.
Тогда число девушек в группе составит:
$x + y = (16 - n) + (n - 5) = 11$.
Таким образом, если количество полученных писем у всех девушек одинаково, их число всегда будет кратно 11.
в) Пусть $z$ — общее количество юношей (и, соответственно, девушек). Если $x$ юношей отправили по 5 писем, то остальные $z - x$ человек отправили по 16 писем. Общее число писем: $5x + 16(z - x)$.
По условию все девушки получили разное количество писем. Чтобы максимизировать число девушек, предположим, что они получили минимально возможные различные количества писем, начиная с нуля: $0, 1, 2, \dots, z-1$.
Сумма такой арифметической прогрессии равна $\frac{z(z - 1)}{2}$.
Следовательно, должно выполняться неравенство:
$5x + 16(z - x) \geq \frac{z(z - 1)}{2}$
Учитывая, что $x \geq 0$, оценим максимальное значение левой части как $16z$:
$16z \geq \frac{z(z - 1)}{2} \Rightarrow 32 \geq z - 1 \Rightarrow z \leq 33$.
Проверим значение $z = 32$:
$5x + 16(32 - x) \geq \frac{32 \cdot 31}{2}$
$5x + 512 - 16x \geq 496$
$11x \leq 16$. Так как по условию юношей, отправивших разное количество писем, не менее двух, то $x \geq 1$ и $z-x \geq 1$. Однако при $x=1$ условие выполняется, но нужно проверить целые решения для распределения писем. При $z=32$ и $x=1$ писем $501$, а сумма от $0$ до $31$ равна $496$. Но при $x \geq 2$ решений нет.
Проверим $z = 31$:
$5x + 16(31 - x) \geq \frac{31 \cdot 30}{2}$
$5x + 496 - 16x \geq 465$
$11x \leq 31$. Это возможно при $x = 1$ или $x = 2$.
При $x = 2$ получаем $5 \cdot 2 + 16 \cdot 29 = 10 + 464 = 474$ письма, что больше минимально необходимой суммы $465$.
Следовательно, наибольшее возможное число девушек равно 31.

Ответ: а) да; б) 11; в) 31

Источник: ФИПИ