Реальный вариант ЕГЭ 2026 №1

Решение:
а) Рассмотрим исходное уравнение: $\cos ^{2} x + \sin ^{2} \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$.
Для начала преобразуем выражение в скобках, применив формулу синуса разности $\sin \left(\alpha - \beta\right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$:
$$\sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x - \cos x)$$ Подставим полученный результат обратно в уравнение:
$$\cos ^{2} x + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x - \cos x)\right)^{2} = \frac{1}{2}$$ Раскроем квадрат и упростим выражение:
$$\cos ^{2} x + \frac{1}{2} (\sin ^{2} x - 2 \sin x \cos x + \cos ^{2} x) = \frac{1}{2}$$ Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$$2 \cos ^{2} x + \sin ^{2} x - 2 \sin x \cos x + \cos ^{2} x = 1$$ Сгруппируем слагаемые и заменим единицу в правой части на основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x$:
$$3 \cos ^{2} x + \sin ^{2} x - 2 \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x$$ Перенесем всё в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$$2 \cos ^{2} x - 2 \sin x \cos x = 0$$ Разложим на множители, вынеся $2 \cos x$ за скобки:
$$2 \cos x (\cos x - \sin x) = 0$$ Отсюда получаем два случая:
1) $\cos x = 0$, что дает серию решений $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x - \sin x = 0$. Разделив на $\cos x \neq 0$, приходим к уравнению $\operatorname{tg} x = 1$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) Выполним отбор корней на заданном промежутке $[5\pi; 6\pi]$ с помощью единичной окружности.

На указанном отрезке лежат следующие значения:
$x_{1} = 5\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{21\pi}{4}$,
$x_{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2} = \frac{11\pi}{2}$.

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{21\pi}{4}, \frac{11\pi}{2}$.

Источник: ФИПИ

Решение:

а) Соединим вершины $A$ и $K$. В плоскости верхней грани через точку $K$ проведём прямую, параллельную ребру $AC$. Пусть эта прямая пересекает ребро $C_1B_1$ в точке $L$. Таким образом, искомым сечением является четырёхугольник $AKLC$.
Поскольку $K$ — середина $A_1B_1$ по условию, а отрезок $KL$ параллелен $A_1C_1$ (так как $KL \parallel AC$ и $AC \parallel A_1C_1$), то согласно теореме Фалеса точка $L$ является серединой ребра $C_1B_1$.
Данная призма $ABCA_1B_1C_1$ правильная, значит, её основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ — равносторонние треугольники.
Отсюда следует, что $A_1B_1 = C_1B_1$, а значит, их половины равны: $A_1K = C_1L$. Учитывая равенство боковых рёбер $A_1A = C_1C$, получаем, что прямоугольные треугольники $A_1KA$ и $C_1LC$ равны по двум катетам.
Из равенства треугольников следует $AK = CL$. Отрезок $KL$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$, поэтому $KL = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} AC$.
Так как боковые стороны $AK$ и $CL$ равны, а основания $KL$ и $AC$ параллельны и не равны, $AKLC$ — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.
б) В основании $ABC$ проведём высоту $BH$. В силу правильности треугольника $ABC$, $BH$ также будет медианой и биссектрисой.
Пусть $M$ — середина верхнего основания трапеции $KL$, а $H$ — середина нижнего основания $AC$.
В равнобедренной трапеции отрезок $MH$, соединяющий середины оснований, перпендикулярен им: $MH \perp AC$.
Плоскости $(ACK)$ и $(BHM)$ пересекаются по прямой $HM$. Следовательно, искомое расстояние от точки $B$ до плоскости сечения — это длина перпендикуляра $BN$, опущенного из $B$ на прямую $HM$.
Рассмотрим треугольник $ABC$: так как $H$ — середина $AC$, то $HA = HC = \frac{1}{2} AC = 2$, при этом $CB = AB = 4$.
По теореме Пифагора находим высоту основания: $HB = \sqrt{CB^2 - HC^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Из прямоугольного треугольника $C_1LC$ по теореме Пифагора вычислим $CL$: $CL = \sqrt{C_1L^2 + CC_1^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
Проанализируем трапецию $AKLC$:

Основания равны $KL = 2$ и $AC = 4$.
Опустим высоты $LL_1$ и $KK_1$ на основание $AC$. Четырёхугольник $KLL_1K_1$ является прямоугольником, поэтому $K_1L_1 = KL = 2$.
В треугольнике $AKK_1$: отрезок $AK_1 = \frac{AC - KL}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$.
По теореме Пифагора найдём высоту трапеции: $KK_1 = \sqrt{AK^2 - AK_1^2} = \sqrt{20 - 1} = \sqrt{19}$.
Таким образом, $MH = KK_1 = \sqrt{19}$.
Рассмотрим сечение $HMB_1B$:

В треугольнике $KB_1L$ точка $M$ — середина $KL$. Заметим, что $KB_1 = LB_1 = 2$ и $KL = 2$, то есть треугольник равносторонний.
Его высота $MB_1 = \sqrt{KB_1^2 - KM^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$.
Пусть $M_1$ — проекция точки $M$ на прямую $HB$. Тогда $MB_1BM_1$ — прямоугольник, откуда $M_1B = MB_1 = \sqrt{3}$ и $MM_1 = BB_1 = 4$.
Тогда $HM_1 = HB - M_1B = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Проверим значение $HM$ через треугольник $HMM_1$: $HM = \sqrt{MM_1^2 + HM_1^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}$. Это совпадает с ранее найденным значением.
Найдём синус угла $MHM_1$: $\sin(\angle MHM_1) = \frac{MM_1}{HM} = \frac{4}{\sqrt{19}}$.
Из прямоугольного треугольника $NHB$ имеем: $\sin(\angle NHB) = \frac{NB}{HB}$.
Так как углы $MHM_1$ и $NHB$ совпадают, получаем уравнение:
$\frac{NB}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{19}}$.
Отсюда $NB = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{19}} = \frac{8\sqrt{57}}{19}$.

Ответ: $\frac{8 \sqrt{57}}{19}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим исходное неравенство: $\frac{4}{\log _{2} x} - \log _{2} \left(\frac{4}{x}\right) \leq \frac{38}{\log _{2} x^{2}}$.
Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} x > 0 \\ \log_{2} x \neq 0 \\ \frac{4}{x} > 0 \\ x^{2} > 0 \\ \log_{2} x^{2} \neq 0 \end{cases}$
Решая данную систему, получаем условия на переменную:
$\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ x > 0 \\ x \neq 0 \\ x \neq \pm 1 \end{cases}$
Таким образом, $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.
Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:
$\frac{4}{\log _{2} x} - (\log _{2} 4 - \log _{2} x) \leq \frac{38}{2 \log _{2} x}$.
Введем новую переменную, пусть $\log _{2} x = t$. Тогда неравенство примет вид:
$\frac{4}{t} - (2 - t) \leq \frac{19}{t}$
Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4}{t} - 2 + t - \frac{19}{t} \leq 0$
$\frac{t^2 - 2t - 15}{t} \leq 0$
Разложим числитель на множители:
$\frac{(t + 3)(t - 5)}{t} \leq 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов:

Следовательно, переменная $t$ должна принадлежать промежуткам: $t \in (-\infty; -3] \cup (0; 5]$.
Вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену:
$\left[\begin{matrix} \log _{2} x \leq -3 \\ 0 < \log _{2} x \leq 5 \end{matrix}\right.$
Переходя к потенцированию, получаем:
$\left[\begin{matrix} x \leq 2^{-3} \\ 2^0 < x \leq 2^5 \end{matrix}\right.$
$\left[\begin{matrix} x \leq \frac{1}{8} \\ 1 < x \leq 32 \end{matrix}\right.$

Теперь сопоставим полученные результаты с ранее найденными ограничениями (ОДЗ):

Итоговое множество решений: $x \in (0; \frac{1}{8}] \cup (1; 32]$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{8}] \cup (1; 32]$

Источник: ФИПИ

Решение:
Так как $AB$ — гипотенуза, угол $C$ прямой. Обозначим $AC = b ,$ $BC = a .$

а) Точка $M$ — середина $AB ,$ точка $N$ — середина $BC ,$ поэтому $MN$ — средняя линия треугольника $ABC :$
$$MN \parallel AC, \qquad MN = \frac{1}{2} AC = \frac{b}{2}.$$Прямая $AC$ перпендикулярна $BC ,$ значит, и $MN \perp BC .$ Итак, $N$ — основание перпендикуляра, опущенного из $M$ на прямую $BC .$
Из прямоугольного треугольника $ACN$ (прямой угол при $C$) находим
$$AN^{2} = AC^{2} + CN^{2} = b^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2} = b^{2} + \frac{a^{2}}{4}.$$По условию $CK : KB = 1 : 3 ,$ поэтому $CK = \frac{a}{4} ,$ и точка $K$ лежит между $C$ и $N .$ Тогда
$$NK = CN - CK = \frac{a}{2} - \frac{a}{4} = \frac{a}{4}.$$Из прямоугольного треугольника $MNK$ (прямой угол при $N$) получаем
$$KM^{2} = MN^{2} + NK^{2} = \frac{b^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{16} = \frac{1}{4} \left( b^{2} + \frac{a^{2}}{4} \right) = \frac{1}{4} AN^{2}.$$Отсюда $AN = 2 KM ,$ что и требовалось доказать.

б) Введём систему координат с началом в вершине прямого угла: $C ( 0 ; 0 ) ,$ $A ( 0 ; 6 ) ,$ $B ( 8 ; 0 ) .$ Тогда
$$M ( 4 ; 3 ), \qquad N ( 4 ; 0 ), \qquad K ( 2 ; 0 ),$$так как $CK = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2 .$
Прямая $AN$ проходит через $( 0 ; 6 )$ и $( 4 ; 0 ) :$ её уравнение $3 x + 2 y = 12 .$
Прямая $KM$ проходит через $( 2 ; 0 )$ и $( 4 ; 3 ) :$ её уравнение $3 x - 2 y = 6 .$
Складывая уравнения, получаем $6 x = 18 ,$ то есть $x = 3$ и $y = 1{,}5 .$ Значит, $P ( 3 ; 1{,}5 ) .$
Прямая $BP$ проходит через $B ( 8 ; 0 )$ и $P ( 3 ; 1{,}5 ) .$ Её угловой коэффициент равен
$$k = \frac{1{,}5 - 0}{3 - 8} = - 0{,}3,$$поэтому $y = - 0{,}3 ( x - 8 ) .$
Внутри треугольника прямая $BP$ идёт от вершины $B$ до точки пересечения со стороной $AC ,$ то есть с прямой $x = 0 .$ При $x = 0$ получаем $y = 2{,}4 ,$ и точка $Q ( 0 ; 2{,}4 )$ действительно лежит на отрезке $AC ,$ так как $0 < 2{,}4 < 6 .$
Искомая длина равна
$$BQ = \sqrt{( 8 - 0 )^{2} + ( 0 - 2{,}4 )^{2}} = \sqrt{64 + 5{,}76} = \sqrt{69{,}76} = \frac{\sqrt{6976}}{10} = \frac{8 \sqrt{109}}{10} = \frac{4 \sqrt{109}}{5} \approx 8{,}35.$$

Критерии оценивания:
3 балла — представлено полное верное доказательство пункта а) и найден верный ответ в пункте б).
2 балла — верно решён пункт б), либо пункт а) доказан, но в пункте б) допущена вычислительная ошибка.
1 балл — доказан только пункт а), либо пункт б) решён верно с опорой на пункт а) (без его доказательства), либо в пункте б) допущена арифметика при верном ходе решения.
0 баллов — решение не подходит под описание выше.

Ответ: б) $\frac{4 \sqrt{109}}{5}$

Источник: ФИПИ

Решение:
Рассмотрим данную систему уравнений:
$\left\{\begin{matrix} 2^{\left|x\right| + 3} + 7 \left|x\right| + 1 = 8 y + 7 x^{2} + a \\ x^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$
Обратим внимание на симметрию уравнений относительно переменной $x$. Если пара чисел $(x_0; y_0)$ удовлетворяет системе, то и пара $(-x_0; y_0)$ также будет являться её решением, так как $|x| = |-x|$ и $x^2 = (-x)^2$.
Для того чтобы решение было единственным, необходимо выполнение условия $x = 0$.
Подставим $x = 0$ в систему:
$\left\{\begin{matrix} 2^{0 + 3} + 7 \cdot 0 + 1 = 8 y + 7 \cdot 0 + a \\ 0^2 + y^{2} = 1 \end{matrix}\right.$
Из второго уравнения получаем: $y^2 = 1$, откуда $y = 1$ или $y = -1$.
Теперь найдем соответствующие значения параметра $a$ из первого уравнения, которое приняло вид $9 = 8y + a$:
1) При $y = 1$:
$9 = 8 \cdot 1 + a \Rightarrow a = 1$. Получаем потенциальное решение $(0; 1)$.
2) При $y = -1$:
$9 = 8 \cdot (-1) + a \Rightarrow a = 17$. Получаем потенциальное решение $(0; -1)$.

Необходимо проверить найденные значения $a$ на единственность решения.
Пусть $a = 1$. Тогда первое уравнение системы можно преобразовать:
$2^{\left|x\right| + 3} + 7 \left|x\right| + 1 = 8 y + 7 x^{2} + 1$
$8y = 8 \cdot 2^{\left|x\right|} + 7|x| - 7x^2$
$y = 2^{\left|x\right|} + \frac{7|x|(1 - |x|)}{8}$
Из второго уравнения системы $x^2 + y^2 = 1$ следует, что $|x| \leq 1$ и $|y| \leq 1$.
Если $|x| \leq 1$, то выражение $(1 - |x|) \geq 0$. Поскольку $2^{|x|} \geq 2^0 = 1$ и второе слагаемое в выражении для $y$ неотрицательно, получаем $y \geq 1$.
С учетом ограничения $y \leq 1$, единственно возможным значением является $y = 1$.
Подставив $y = 1$ во второе уравнение $x^2 + 1^2 = 1$, находим $x = 0$.
Значит, при $a = 1$ решение $(0; 1)$ действительно единственное.

Проверим случай $a = 17$. Уравнение для $y$ примет вид:
$y = 2^{\left|x\right|} + \frac{7|x|(1 - |x|)}{8} - 2$
Проверим наличие других решений, кроме $(0; -1)$. Возьмем, например, $x = 1$:
$y = 2^1 + \frac{7 \cdot 1 \cdot (1 - 1)}{8} - 2 = 2 + 0 - 2 = 0$.
Проверим точку $(1; 0)$ по второму уравнению: $1^2 + 0^2 = 1$, что верно.
Следовательно, при $a = 17$ система имеет более одного решения (как минимум $(0; -1)$, $(1; 0)$ и $(-1; 0)$). Это значение нам не подходит.
Единственное решение достигается только при $a = 1$.