Вариант 6 · Октябрь 2026

Решение:
1) На участке 1-2 внутренняя энергия газа постоянна, следовательно ее изменение равно нулю. Используем формулу внутренней энергии:
$U = \frac{3}{2} pV .$
Из формулы видно, что при увеличении давления объем уменьшается в такое же количество раз, то есть процесс 1-2 - изотермический. Так как объем уменьшается, следовательно работа газа - отрицательна. Тогда по первому началу термодинамики:
$Q = \triangle U + A ' .$
Газ будет отдавать тепло, т. к. $\triangle U = 0 ,$ а $A ' < 0 .$

2) Участок 2-3 - это прямая, продолжение которой проходит через начало координат. Из формулы внутренней энергии $U = \frac{3}{2} pV$ видно, что объем газа неизменен, то есть это изохорный процесс, тогда работа газа равна нулю. Из графика также видно, что внутренняя энергия увеличивается, следовательно по первому началу термодинамики:
$Q = \triangle U + A ' .$
Газ будет получать тепло, т. к. $\triangle U > 0 ,$ а $A ' = 0 .$

Ответ: на участке 1-2 газ отдает тепло, а на участке 2-3 получает.

Источник: ФИПИ

Решение:

Обозначения. $m = 0{,}5\ \text{кг}$ — масса тележки, $k = 200\ \text{Н/м}$ — жёсткость пружины, $v_{\text{макс}} = 3\ \text{м/с}$ — максимальная скорость тележки, $A$ — искомая амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота, $x$ — смещение тележки от положения равновесия.

Модель. Тележка, прикреплённая к горизонтальной пружине, представляет собой горизонтальный пружинный маятник. Массой колёс пренебрегаем, трения нет, деформации пружины упругие (закон Гука $F_{\text{упр}} = -kx$), поэтому колебания свободные гармонические. Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры вертикальны и компенсируют друг друга, вдоль горизонтали на тележку действует только сила упругости пружины.

Первый способ (через циклическую частоту). Для пружинного маятника $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$. При гармоническом движении $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, $v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$, поэтому максимальный модуль скорости равен $v_{\text{макс}} = \omega A$. Отсюда

$A = \dfrac{v_{\text{макс}}}{\omega} = v_{\text{макс}}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.

Расчёт: $\omega = \sqrt{\dfrac{200\ \text{Н/м}}{0{,}5\ \text{кг}}} = 20\ \text{с}^{-1}$, $A = \dfrac{3\ \text{м/с}}{20\ \text{с}^{-1}} = 0{,}15\ \text{м}$.

Второй способ (закон сохранения энергии). Трения нет, поэтому полная механическая энергия сохраняется: в положении равновесия пружина не деформирована и скорость максимальна, в крайнем положении ($|x| = A$) скорость равна нулю:

$\dfrac{m v_{\text{макс}}^2}{2} = \dfrac{k A^2}{2}$, откуда $A = v_{\text{макс}}\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 3\ \text{м/с}\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}5\ \text{кг}}{200\ \text{Н/м}}} = 0{,}15\ \text{м}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $A = 0{,}15\ \text{м} = 15\ \text{см}$.

Решение:

Обозначения. $m_{\text{л}}=300\ \text{г}=0{,}3\ \text{кг}$ — масса льда, $t_{\text{л}}=0\ ^\circ\text{С}$ — его начальная температура; $m$ — искомая первоначальная масса воды; $t_1=55\ ^\circ\text{С}$ — начальная температура воды в калориметре; $t_2=5\ ^\circ\text{С}$ — конечная (равновесная) температура; $c=4200\ \text{Дж/(кг}\cdot\text{К)}$ — удельная теплоёмкость воды; $\lambda=3{,}3\cdot10^{5}\ \text{Дж/кг}$ — удельная теплота плавления льда.

Анализ процесса. Конечная температура $t_2=5\ ^\circ\text{С}\gt0\ ^\circ\text{С}$, а лёд и вода могут сосуществовать только при $0\ ^\circ\text{С}$. Значит, льда в конце не осталось: он полностью расплавился, а образовавшаяся из него вода нагрелась от $0$ до $5\ ^\circ\text{С}$. Первоначальная вода при этом остыла от $55$ до $5\ ^\circ\text{С}$.

Уравнение теплового баланса. Теплоёмкость калориметра и теплообмен с окружающей средой не учитываем, поэтому вся теплота, отданная остывающей водой, идёт на плавление льда и на нагревание талой воды:

$$c\,m\,(t_1-t_2)=\lambda\,m_{\text{л}}+c\,m_{\text{л}}\,(t_2-t_{\text{л}}).$$

Отсюда

$$m=\frac{m_{\text{л}}\left(\lambda+c\,t_2\right)}{c\,(t_1-t_2)}.$$

Расчёт. Полученная льдом теплота: $0{,}3\cdot\left(3{,}3\cdot10^{5}+4200\cdot5\right)=0{,}3\cdot3{,}51\cdot10^{5}=1{,}053\cdot10^{5}\ \text{Дж}$. Знаменатель: $4200\cdot(55-5)=2{,}1\cdot10^{5}\ \text{Дж/кг}$. Тогда

$$m=\frac{1{,}053\cdot10^{5}}{2{,}1\cdot10^{5}}\approx0{,}50\ \text{кг}=500\ \text{г}.$$

Проверка. На плавление всего льда нужно $3{,}3\cdot10^{5}\cdot0{,}3=9{,}9\cdot10^{4}\ \text{Дж}$, а вода массой $0{,}5\ \text{кг}$, остывая на $50\ ^\circ\text{С}$, отдаёт $1{,}05\cdot10^{5}\ \text{Дж}$ — этого хватает, предположение о полном плавлении льда верно.

Ответ: $m\approx0{,}5\ \text{кг}=500\ \text{г}$.

Условие: l = 76 мм; $\varphi_{1} = 80 \% ;$ p₀ = 760 мм рт. ст.

Вопрос: $\varphi_{2} - ?$

Ход решения:
1) В начальном состоянии относительная влажность воздуха внутри трубки определяется как: $\varphi_{1} = \frac{p_{1}}{p_{н}}$
Здесь $p_{1}$ обозначает парциальное давление пара в трубке, а $p_{н}$ — давление насыщенного пара при данной температуре.

Для конечного состояния влажность воздуха в трубке вычисляется по формуле: $\varphi_{2} = \frac{p_{2}}{p_{н}}$
Где $p_{2} -$ — новое парциальное давление водяного пара.

2) В первом положении давление смеси газов в трубке уравновешено атмосферным давлением:
$p_{1 вл} = p_{0}$
Когда трубку переворачивают, давление становится равным:
$p_{2 вл} = p_{0} - \rho gl$
В данной формуле $\rho$ — это плотность ртути, а l — высота ртутного столба. Учтем, что $p_{0} = \rho gH ,$ при H = 760 мм.

3) Поскольку сечение трубки постоянно, изменение объема влажного воздуха пропорционально изменению высоты воздушного столба под ртутью. Рассматривая влажный воздух как идеальный газ, применим закон Бойля-Мариотта:
$\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{p_{0}}{p_{0} - \rho gl}$

4) На основании уравнения Менделеева-Клапейрона можно утверждать:
$p = \frac{vRT}{V} , p_{вл} = \frac{( v + v_{св} ) RT}{V}$

Здесь p — парциальное давление пара, p_вл — общее давление смеси, v — число моль пара, а v_св — число моль сухого воздуха в системе.
Из этого вытекает соотношение:
$\frac{p}{p_{вл}} = \frac{v}{v + v_{св}} = const$
Следовательно:
$\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{p_{1 вл}}{p_{2 вл}} ,$ и для процесса при постоянной температуре закон Бойля-Мариотта для парциального давления пара выглядит так: $\frac{p_{1}}{p_{2}} = \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{p_{0}}{p_{0} - \rho gl}$

5) Комбинируя полученные зависимости, выведем итоговую формулу для искомой влажности:
$\varphi_{2} = \varphi_{1} \cdot \frac{p_{0} - \rho gl}{p_{0}} = \varphi_{1} \cdot \frac{\rho gH - \rho gl}{\rho gH}$
$\varphi_{2} = \varphi_{1} \frac{H - l}{H} = 80 \cdot \frac{760 - 76}{760} = 72 \%$

Ответ: 72%

Источник: ФИПИ

Решение:

Обозначения. $C=0{,}1$ мкФ $=1\cdot10^{-7}$ Ф — ёмкость конденсатора; $R=500$ Ом — сопротивление резистора; $Q=7{,}2$ мкДж $=7{,}2\cdot10^{-6}$ Дж — количество теплоты, выделившееся на резисторе за всё время зарядки; $\varepsilon$ — искомая ЭДС источника; $q$ — заряд конденсатора в конце зарядки; $U_C$ — напряжение на конденсаторе в конце зарядки; $A$ — работа сторонних сил источника; $W_C$ — энергия электрического поля конденсатора.

Источник, ключ, конденсатор и резистор соединены последовательно в одну цепь. Сопротивление проводов и внутреннее сопротивление источника равны нулю.

Конечное состояние. После замыкания ключа конденсатор заряжается, ток в цепи убывает и в конце процесса становится равным нулю. Тогда падение напряжения на резисторе $IR=0$, и по второму правилу Кирхгофа для контура всё напряжение источника приходится на конденсатор: $$U_C=\varepsilon.$$

По определению электроёмкости итоговый заряд конденсатора $$q=CU_C=C\varepsilon.$$

Работа источника. Сторонние силы источника перемещают по цепи заряд $q$, совершая работу $$A=q\varepsilon=C\varepsilon^2.$$

Энергия заряженного конденсатора: $$W_C=\frac{CU_C^{\,2}}{2}=\frac{C\varepsilon^2}{2}.$$

Закон сохранения энергии. Вся работа источника идёт на увеличение энергии поля конденсатора и на выделение теплоты в резисторе (других потерь нет): $$A=W_C+Q,\qquad C\varepsilon^2=\frac{C\varepsilon^2}{2}+Q.$$

Отсюда $$Q=\frac{C\varepsilon^2}{2}\quad\Rightarrow\quad \varepsilon=\sqrt{\frac{2Q}{C}}.$$

Заметим, что при зарядке конденсатора через резистор от источника с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением на резисторе всегда выделяется теплота, равная конечной энергии конденсатора, и от величины $R$ она не зависит: сопротивление определяет лишь время зарядки. Поэтому значение $R=500$ Ом в ответ не входит.

Расчёт. $$\varepsilon=\sqrt{\frac{2\cdot7{,}2\cdot10^{-6}}{1\cdot10^{-7}}}=\sqrt{144}=12\ \text{В}.$$

Проверка. $q=C\varepsilon=1\cdot10^{-7}\cdot12=1{,}2\cdot10^{-6}$ Кл; $A=q\varepsilon=1{,}44\cdot10^{-5}$ Дж; $W_C=\dfrac{C\varepsilon^2}{2}=7{,}2\cdot10^{-6}$ Дж; $A-W_C=7{,}2\cdot10^{-6}$ Дж $=Q$ — совпадает с условием.

Ответ: $\varepsilon=\sqrt{\dfrac{2Q}{C}}=12$ В.

Решение:

Обоснование применимости законов. Все рассуждения проводим в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй. Разрыв снаряда происходит за очень малый промежуток времени $\tau$. Внешние силы, действующие на систему (сила тяжести и сила сопротивления воздуха), конечны, поэтому их суммарный импульс $\vec{F}_{\text{внеш}}\tau$ за время разрыва пренебрежимо мал по сравнению с импульсами, которыми обмениваются части снаряда под действием огромных внутренних сил давления пороховых газов. Следовательно, в момент разрыва систему «снаряд — осколки» можно считать замкнутой и применить закон сохранения импульса. Снаряд и осколки малы по сравнению с длиной их траектории, поэтому их считаем материальными точками; скорости осколков много меньше скорости света, значит кинетическую энергию вычисляем по классической формуле $E=\dfrac{mv^{2}}{2}$. По условию оба осколка движутся вдоль той же прямой, по которой летел снаряд, поэтому векторное уравнение закона сохранения импульса сводится к одному скалярному уравнению — уравнению проекций на ось $OX$. Механическая энергия системы при взрыве не сохраняется: часть энергии взрывчатого вещества переходит в кинетическую энергию осколков, и именно эту добавку $\Delta E$ требуется найти из энергетического баланса.

Обозначения. $M = 2\ \text{кг}$ — масса снаряда; $m_{1}=m_{2}=\dfrac{M}{2}=1\ \text{кг}$ — массы одинаковых осколков; $v$ — модуль скорости снаряда непосредственно перед разрывом; $v_{1}=900\ \text{м/с}$ — модуль скорости осколка, летящего по направлению движения снаряда; $v_{2}=100\ \text{м/с}$ — модуль скорости второго осколка; $E_{0}$ и $E$ — кинетическая энергия системы непосредственно до и сразу после разрыва; $\Delta E$ — прирост кинетической энергии за счёт энергии взрыва. Ось $OX$ направим по направлению движения снаряда.

Закон сохранения импульса. В проекции на ось $OX$ (первый осколок летит по оси, второй — против неё):

$$M v = m_{1} v_{1} - m_{2} v_{2}.$$

Так как $m_{1}=m_{2}=\dfrac{M}{2}$, получаем

$$M v = \frac{M}{2}\,(v_{1}-v_{2}) \quad \Rightarrow \quad v = \frac{v_{1}-v_{2}}{2} = \frac{900 - 100}{2} = 400\ \text{м/с}.$$

Энергетический баланс. Прирост кинетической энергии равен разности кинетических энергий системы после и до разрыва:

$$\Delta E = E - E_{0} = \left(\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}\right) - \frac{M v^{2}}{2} = \frac{M}{4}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right) - \frac{M v^{2}}{2}.$$

Подставляя $v=\dfrac{v_{1}-v_{2}}{2}$, получаем компактную формулу

$$\Delta E = \frac{M}{4}\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right) - \frac{M}{2}\cdot\frac{(v_{1}-v_{2})^{2}}{4} = \frac{M\,(v_{1}+v_{2})^{2}}{8}.$$

Расчёт. Проверим оба пути. Кинетическая энергия до разрыва:

$$E_{0} = \frac{M v^{2}}{2} = \frac{2\cdot 400^{2}}{2} = 1{,}6\cdot 10^{5}\ \text{Дж} = 160\ \text{кДж}.$$

Кинетическая энергия сразу после разрыва:

$$E = \frac{1\cdot 900^{2}}{2} + \frac{1\cdot 100^{2}}{2} = 4{,}05\cdot 10^{5} + 0{,}05\cdot 10^{5} = 4{,}1\cdot 10^{5}\ \text{Дж} = 410\ \text{кДж}.$$

$$\Delta E = E - E_{0} = 410 - 160 = 250\ \text{кДж}.$$

По компактной формуле: $\Delta E = \dfrac{2\cdot(900+100)^{2}}{8} = \dfrac{2\cdot 10^{6}}{8} = 2{,}5\cdot 10^{5}\ \text{Дж}$ — результаты совпадают.

Ответ: $\Delta E = 2{,}5\cdot 10^{5}\ \text{Дж} = 250\ \text{кДж}$.