Вариант 1 · Октябрь 2026

Решение.

Чтобы понять, какое из десятичных чисел находится между данными дробями, нам нужно представить обыкновенные дроби $\frac{4}{11}$ и $\frac{7}{17}$ в виде десятичных дробей с точностью до второго знака после запятой.

1) Разделим числитель на знаменатель для первой дроби $\frac{4}{11}$:
$4 : 11 \approx 0,363...$
Округлим до сотых: $\frac{4}{11} \approx 0,36$.

2) Разделим числитель на знаменатель для второй дроби $\frac{7}{17}$:
$7 : 17 \approx 0,411...$
Округлим до сотых: $\frac{7}{17} \approx 0,41$.

3) Теперь запишем условие задачи в виде неравенства. Нам нужно найти такое число $x$ из предложенных вариантов, которое удовлетворяет условию:
$0,36 < x < 0,41$

4) Проверим предложенные варианты:
1) $0,1$ — меньше $0,36$, не подходит.
2) $0,2$ — меньше $0,36$, не подходит.
3) $0,3$ — меньше $0,36$, не подходит.
4) $0,4$ — больше $0,36$ и меньше $0,41$. Это число попадает в нужный промежуток.

Таким образом, число $0,4$ заключено между числами $\frac{4}{11}$ и $\frac{7}{17}$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{2^{5}}{4}$, удобно привести все числа к одному основанию. Заметим, что число $4$ можно представить как степень двойки.

1) Запишем знаменатель в виде степени: $4 = 2^{2}$.
Теперь наше выражение принимает вид: $\frac{2^{5}}{2^{2}}$.

2) Воспользуемся свойством степеней с одинаковыми основаниями: при делении степеней основание остаётся прежним, а показатели вычитаются. Формула: $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$.
Применим это правило: $\frac{2^{5}}{2^{2}} = 2^{5-2} = 2^{3}$.

3) Вычислим полученное значение: $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения линейного уравнения необходимо перенести слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а числа — в другую.

1. Перенесём $-4x$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный. Получим:
$-9 = 6x + 4x$

2. Приведём подобные слагаемые в правой части уравнения:
$6x + 4x = 10x$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$-9 = 10x$

3. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент перед $x$, то есть на $10$:
$x = -9 : 10$

4. Выполним деление:
$x = -0,9$

Ответ: -0,9

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала найдём количество чашек с синими цветами. По условию всего чашек $15$, из них $6$ — с красными цветами. Значит, синих чашек:
$15 - 6 = 9$.

2) Общее число возможных исходов $n$ равно общему количеству чашек, так как бабушка выбирает одну любую чашку из всех имеющихся:
$n = 15$.

3) Число благоприятных исходов $m$ — это количество чашек с синими цветами, так как именно их вероятность нам нужно найти:
$m = 9$.

4) Вычислим вероятность $P$ по формуле $P = \frac{m}{n}$:
$P = \frac{9}{15}$.

5) Сократим дробь на $3$:
$\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$.

6) Переведём полученный результат в десятичную дробь (для этого можно умножить и числитель, и знаменатель на $2$):
$\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0,6$.

Ответ: 0,6

Источник: ФИПИ

Решение.

Все представленные графики являются прямыми линиями, которые задаются формулой линейной функции $y = kx + b$. Чтобы соотнести графики с формулами, проанализируем коэффициенты $k$ и $b$:

• Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой: если $k > 0$, прямая возрастает (идёт снизу вверх); если $k < 0$, прямая убывает (идёт сверху вниз).
• Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. То есть прямая пересекает вертикальную ось в точке $(0; b)$.

1) Анализ формул:
1. $y = -\frac{2}{3}x + 4$: здесь $k = -\frac{2}{3}$ (убывает), $b = 4$ (пересекает $Oy$ в точке $4$).
2. $y = \frac{2}{3}x - 4$: здесь $k = \frac{2}{3}$ (возрастает), $b = -4$ (пересекает $Oy$ в точке $-4$).
3. $y = \frac{2}{3}x + 4$: здесь $k = \frac{2}{3}$ (возрастает), $b = 4$ (пересекает $Oy$ в точке $4$).

2) Сопоставление с графиками:
График А: Прямая возрастает ($k > 0$) и пересекает ось $Oy$ в отрицательной области, в точке $-4$. Это соответствует формуле №2.
График Б: Прямая возрастает ($k > 0$) и пересекает ось $Oy$ в положительной области, в точке $4$. Это соответствует формуле №3.
График В: Прямая убывает ($k < 0$) и пересекает ось $Oy$ в положительной области, в точке $4$. Это соответствует формуле №1.

Запишем полученное соответствие в таблицу:
А — 2
Б — 3
В — 1

Ответ: 231

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения задачи воспользуемся предложенной формулой мощности постоянного тока и подставим в неё известные значения.

1. Выпишем формулу: $P = I^{2} R$.
По условию задачи нам известны следующие величины:
Мощность $P = 180$ Вт;
Сила тока $I = 6$ А.

2. Подставим данные значения в формулу:
$180 = 6^{2} \cdot R$.

3. Возведём силу тока в квадрат:
$6^{2} = 6 \cdot 6 = 36$.
Теперь уравнение выглядит так:
$180 = 36 \cdot R$.

4. Чтобы найти неизвестный множитель $R$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$R = 180 : 36$.

5. Выполним деление:
$180 : 36 = 5$.
Таким образом, сопротивление $R$ равно 5 Ом.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы решить неравенство $x^{2} > 36$, воспользуемся методом интервалов.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:
$x^{2} - 36 > 0$.

2. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 6)(x + 6) > 0$.

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(x - 6)(x + 6) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$;
$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$.

4. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как знак неравенства строгий ($>$), точки будут «выколотыми» (пустыми внутри). Эти точки разделяют прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 6)$ и $(6; +\infty)$.

5. Определим знаки выражения $(x - 6)(x + 6)$ на каждом интервале:
— На интервале $(6; +\infty)$ возьмём число $10$: $(10-6)(10+6) = 4 \cdot 16 = 64 > 0$. Ставим знак «плюс».
— На интервале $(-6; 6)$ возьмём число $0$: $(0-6)(0+6) = -6 \cdot 6 = -36 < 0$. Ставим знак «минус».
— На интервале $(-\infty; -6)$ возьмём число $-10$: $(-10-6)(-10+6) = -16 \cdot (-4) = 64 > 0$. Ставим знак «плюс».

6. Нам подходят интервалы, где выражение больше нуля (со знаком «плюс»). Это промежутки $x < -6$ и $x > 6$.

На рисунке 1 изображена числовая прямая, где заштрихованы именно эти области: левее $-6$ и правее $6$.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии, так как масса колонии увеличивается в одинаковое количество раз за равные промежутки времени.

1. Определим начальные данные:
Начальная масса колонии $b_1 = 8$ мг.
Знаменатель прогрессии $q = 3$, так как масса увеличивается в 3 раза за один период.

2. Вычислим количество периодов увеличения массы:
Общее время эксперимента составляет 80 минут, а один период увеличения длится 20 минут.
Количество таких периодов: $n = 80 : 20 = 4$.

3. Рассчитаем изменение массы по этапам:
Через 20 минут (1-й период): $8 \cdot 3 = 24$ мг.
Через 40 минут (2-й период): $24 \cdot 3 = 72$ мг.
Через 60 минут (3-й период): $72 \cdot 3 = 216$ мг.
Через 80 минут (4-й период): $216 \cdot 3 = 648$ мг.

4. Также можно воспользоваться формулой $n$-го члена геометрической прогрессии. Искомая масса $M$ через 4 периода будет равна:
$M = b_1 \cdot q^n$
$M = 8 \cdot 3^4$
$M = 8 \cdot 81 = 648$ мг.

Ответ: 648

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию задачи стороны $A B$ и $B C$ равны ($A B = B C$). Это означает, что треугольник $A B C$ является равнобедренным с основанием $A C$.

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle B A C = \angle B C A$.

3) Мы знаем, что сумма всех углов в любом треугольнике всегда равна $180^{\circ}$. Запишем это для нашего треугольника:
$\angle B A C + \angle A B C + \angle B C A = 180^{\circ}$.

4) Подставим в это уравнение известные данные. Нам дано, что $\angle A B C = 108^{\circ}$. Так как углы при основании равны, обозначим $\angle B C A$ за $x$. Тогда и $\angle B A C = x$.
Получаем уравнение:
$x + 108^{\circ} + x = 180^{\circ}$.

5) Решим полученное уравнение:
$2x + 108^{\circ} = 180^{\circ}$
$2x = 180^{\circ} - 108^{\circ}$
$2x = 72^{\circ}$
$x = 72^{\circ} : 2$
$x = 36^{\circ}$.

Таким образом, искомый угол $\angle B C A = 36^{\circ}$.

Ответ: 36

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника и вписанной в него окружности.

1. Пусть $a$ — длина стороны равностороннего треугольника, а $r$ — радиус вписанной в него окружности. По условию задачи $r = 4\sqrt{3}$.

2. Вспомним формулу, связывающую радиус вписанной окружности со стороной правильного треугольника:
$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

3. Подставим известное значение радиуса в эту формулу, чтобы найти сторону $a$:
$4\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

4. Для удобства решения разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$4 = \frac{a}{6}$.

5. Теперь выразим сторону $a$, умножив обе части уравнения на $6$:
$a = 4 \cdot 6$
$a = 24$.

Таким образом, длина стороны треугольника равна $24$.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ

Решение. Рассмотрим трапецию с основаниями $a = 8$ и $b = 17$. Пусть средняя линия трапеции пересекается диагональю, разделяя её на два отрезка.

1) Средняя линия трапеции по определению проходит через середины боковых сторон и параллельна основаниям. Когда мы проводим диагональ, она делит трапецию на два треугольника. Средняя линия трапеции при этом разбивается на два отрезка, каждый из которых является средней линией одного из этих треугольников.

2) Первый отрезок средней линии является средней линией треугольника, основанием которого служит меньшее основание трапеции $a = 8$. По свойству средней линии треугольника, её длина равна половине основания:
$m_1 = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

3) Второй отрезок средней линии является средней линией треугольника, основанием которого служит большее основание трапеции $b = 17$. Его длина также равна половине соответствующего основания:
$m_2 = \frac{b}{2} = \frac{17}{2} = 8,5$.

4) Нам необходимо найти больший из этих отрезков. Сравнивая полученные значения $4$ и $8,5$, видим, что большим является отрезок длиной $8,5$.

Ответ: 8,5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для нахождения площади ромба, изображённого на клетчатой бумаге, удобнее всего воспользоваться формулой через его диагонали. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

$S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей ромба.

1) Сначала найдём длину горизонтальной диагонали. Посчитаем количество клеток между левой и правой вершинами ромба. Горизонтальная диагональ занимает $4$ клетки. Так как размер клетки $1 \times 1$, то её длина $d_1 = 4$.

2) Теперь найдём длину вертикальной диагонали. Посчитаем количество клеток между верхней и нижней вершинами ромба. Вертикальная диагональ занимает $6$ клеток. Значит, её длина $d_2 = 6$.

3) Подставим полученные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6$

$S = \frac{24}{2} = 12$

Таким образом, площадь ромба равна $12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) «Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую».
Это утверждение неверно. Согласно аксиомам геометрии, через одну точку можно провести бесконечно много различных прямых. Только через две различные точки можно провести единственную прямую.

2) «Любой прямоугольник можно вписать в окружность».
Это утверждение верно. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. У прямоугольника все углы прямые, то есть равны $90^\circ$. Следовательно, сумма противоположных углов всегда равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Центром такой окружности будет точка пересечения диагоналей прямоугольника.

3) «Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой».
Это утверждение неверно. В равнобедренном треугольнике только та биссектриса, которая проведена к основанию, является медианой и высотой. Биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, в общем случае высотами не являются (это свойство выполняется для всех трёх биссектрис только в равностороннем треугольнике).

Таким образом, истинным является только второе утверждение.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ