Вариант 10 · Октябрь 2026

Решение. Для того чтобы определить, какой точке соответствует число $0,03$, нам необходимо сравнить все данные десятичные дроби и расположить их в порядке возрастания. На координатной прямой точки располагаются слева направо: от меньшего значения к большему.

Выпишем данные числа:
1) $0,0137$
2) $0,103$
3) $0,03$
4) $0,021$

Чтобы сравнивать десятичные дроби было удобнее, уравняем в них количество знаков после запятой, добавив нули в конце (это не меняет значения дроби):
— $0,0137$
— $0,1030$
— $0,0300$
— $0,0210$

Теперь сравним их как целые числа (игнорируя запятую):
1) Самое маленькое число — $0,0137$. Оно соответствует крайней левой точке $A$.
2) Следующее по величине — $0,0210$. Оно соответствует точке $B$.
3) Далее идет число $0,0300$. Оно соответствует точке $C$.
4) Самое большое число — $0,1030$. Оно соответствует крайней правой точке $D$.

Таким образом, мы получили следующее соответствие:
$A \rightarrow 0,0137$
$B \rightarrow 0,021$
$C \rightarrow 0,03$
$D \rightarrow 0,103$

Число $0,03$ соответствует точке $C$. В списке вариантов ответов точка $C$ указана под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Чтобы разделить числа с разными основаниями, удобнее всего привести их к одному и тому же основанию.

1. Заметим, что число $16$ можно представить как степень двойки. Вспомним таблицу степеней: $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Значит, $16 = 2^{4}$.

2. Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{2^{9}}{16} = \frac{2^{9}}{2^{4}}$.

3. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается прежним. Используем формулу $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$:
$\frac{2^{9}}{2^{4}} = 2^{9-4} = 2^{5}$.

4. Теперь вычислим значение $2^{5}$. Для этого перемножим двойку саму на себя пять раз:
$2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: 32

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного линейного уравнения необходимо перенести слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а числа — в другую. При переносе через знак равенства знаки слагаемых меняются на противоположные.

1. Перенесём $10x$ из правой части в левую со знаком «минус», а число $-5$ из левой части в правую со знаком «плюс»:
$9x - 10x = 4 + 5$

2. Приведём подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
В левой части: $9x - 10x = -1x$ (или просто $-x$).
В правой части: $4 + 5 = 9$.
Получаем уравнение:
$-x = 9$

3. Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на $-1$ (или просто сменим знаки у обеих частей):
$x = -9$

Проверка:
Подставим найденное число в исходное уравнение:
$-5 + 9 \cdot (-9) = 10 \cdot (-9) + 4$
$-5 - 81 = -90 + 4$
$-86 = -86$
Равенство верно, значит, корень найден правильно.

Ответ: -9

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала найдём общее количество исходов. По условию задачи у бабушки всего $20$ чашек. Значит, общее число исходов $n = 20$.

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Нам нужно найти вероятность того, что будет выбрана чашка с синими цветами. Известно, что из $20$ чашек $12$ — с красными цветами, а остальные — с синими.
Вычислим количество синих чашек:
$20 - 12 = 8$.
Следовательно, количество благоприятных исходов $m = 8$.

3. Вычислим вероятность $P$ по формуле:
$P = \frac{m}{n}$
Подставим наши значения:
$P = \frac{8}{20}$.

4. Сократим дробь на $4$:
$\frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

5. Переведём полученный результат в десятичную дробь (для этого можно умножить числитель и знаменатель на $2$):
$\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = 0,4$.

Ответ: 0,4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи вспомним геометрический смысл коэффициентов линейной функции $y = kx + b$:

1) Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой. Если $k > 0$, функция возрастает (прямая идет «вверх» слева направо). Если $k < 0$, функция убывает (прямая идет «вниз» слева направо).
2) Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $Oy$. Если $b > 0$, прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат (над осью $Ox$). Если $b < 0$, прямая пересекает ось $Oy$ ниже начала координат (под осью $Ox$).

Проанализируем каждый график:

График №1: Прямая идет вниз (функция убывает), значит, $k < 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится ниже оси $Ox$, значит, $b < 0$. Это соответствует условию А.

График №2: Прямая идет вниз (функция убывает), значит, $k < 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится выше оси $Ox$, значит, $b > 0$. Это соответствует условию Б.

График №3: Прямая идет вверх (функция возрастает), значит, $k > 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится ниже оси $Ox$, значит, $b < 0$. Это соответствует условию В.

Сопоставим результаты:
А — 1
Б — 2
В — 3

Ответ: 123

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой силы Архимеда, данной в условии: $F = \rho \cdot g \cdot V$.

Выпишем значения всех величин, которые нам известны:
1) Плотность воды $\rho = 1000$ $кг/м^{3}$;
2) Ускорение свободного падения $g = 9,8$ $м/с^{2}$;
3) Объём тела $V = 0,07$ $м^{3}$.

Подставим эти значения в формулу: $F = 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,07$.

Выполним вычисления по шагам для удобства:
1) Сначала умножим плотность на ускорение свободного падения: $1000 \cdot 9,8 = 9800$.
2) Теперь полученный результат умножим на объём тела: $9800 \cdot 0,07$.

Чтобы умножить $9800$ на $0,07$, можно представить это как $98 \cdot 100 \cdot 0,07$.
Так как $100 \cdot 0,07 = 7$, нам остаётся вычислить: $98 \cdot 7 = 686$.

Таким образом, сила Архимеда равна $686$ Ньютонам.

Ответ: 686

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти их общее решение (пересечение промежутков).

1) Решим первое неравенство системы:
$x - 4 \geq 0$
Перенесём число $-4$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x \geq 4$

2) Решим второе неравенство системы:
$x - 0,3 \geq 1$
Перенесём число $-0,3$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x \geq 1 + 0,3$
$x \geq 1,3$

3) Теперь запишем полученную систему:
$\begin{cases} x \geq 4 \\ x \geq 1,3 \end{cases}$

4) Найдём пересечение этих решений.
Первое условие говорит нам, что $x$ должен быть больше или равен $4$.
Второе условие говорит нам, что $x$ должен быть больше или равен $1,3$.
Так как число $4$ больше, чем $1,3$, то любое число, которое больше или равно $4$, автоматически будет больше или равно $1,3$. Следовательно, общим решением системы является промежуток $x \geq 4$.

5) Геометрически это решение изображается в виде числовой прямой, на которой отмечена закрашенная точка $4$ и штриховка уходит вправо (в сторону увеличения чисел). Данному описанию соответствует рисунок под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся знаниями об арифметической прогрессии, так как расстояние, которое проезжает автомобиль каждую секунду, уменьшается на одну и ту же величину.

1. Обозначим через $a_1$ расстояние, пройденное за первую секунду. По условию задачи $a_1 = 24$ м.
2. Величина, на которую уменьшается пройденный путь каждую секунду, называется разностью арифметической прогрессии. Обозначим её $d$. Так как расстояние уменьшается, то $d = -4$ м.
3. Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за первые $n = 5$ секунд. Это сумма первых пяти членов арифметической прогрессии $S_5$.

Вспомним формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

4. Подставим известные значения в формулу:
$a_1 = 24$
$d = -4$
$n = 5$

Выполним вычисления по шагам:
Сначала найдем значение в числителе дроби:
$2 \cdot 24 + (-4) \cdot (5 - 1) = 48 + (-4) \cdot 4 = 48 - 16 = 32$

Теперь подставим это значение в формулу суммы:
$S_5 = \frac{32}{2} \cdot 5$
$S_5 = 16 \cdot 5$
$S_5 = 80$

Таким образом, за первые 5 секунд торможения автомобиль проехал 80 метров.

Ответ: 80

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Пусть $a$ и $b$ — катеты треугольника, а $c$ — его гипотенуза. По условию задачи нам известны:
один из катетов $a = 16$;
гипотенуза $c = 34$.

Запишем формулу теоремы Пифагора:
$a^2 + b^2 = c^2$

Подставим известные значения в формулу:
$16^2 + b^2 = 34^2$

Вычислим квадраты чисел:
$16^2 = 16 \cdot 16 = 256$
$34^2 = 34 \cdot 34 = 1156$

Теперь наше уравнение выглядит так:
$256 + b^2 = 1156$

Выразим квадрат неизвестного катета $b^2$:
$b^2 = 1156 - 256$
$b^2 = 900$

Чтобы найти катет $b$, извлечём корень из полученного числа:
$b = \sqrt{900}$
$b = 30$

Таким образом, второй катет треугольника равен 30.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам описанной около этого треугольника окружности.

1. Запишем формулу теоремы синусов для стороны $A B$ и угла $C$:
$\frac{A B}{\sin C} = 2 R$,
где $R$ — радиус описанной окружности.

2. Нам известны значения из условия задачи:
$A B = 26$,
$\angle C = 150^\circ$.

3. Найдём значение синуса угла $150^\circ$. Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получим:
$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ (или $0,5$).

4. Подставим известные величины в формулу теоремы синусов:
$\frac{26}{\sin 150^\circ} = 2 R$
$\frac{26}{0,5} = 2 R$

5. Вычислим левую часть уравнения:
$52 = 2 R$

6. Найдём радиус $R$, разделив обе части уравнения на $2$:
$R = \frac{52}{2}$
$R = 26$

Таким образом, радиус описанной окружности равен $26$.

Ответ: 26

Источник: ФИПИ

Решение.

1) Пусть $CH$ — высота равнобедренной трапеции $ABCD$, проведённая из вершины $C$ к большему основанию $AD$. По условию задачи высота делит основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что точка $H$ лежит ближе к вершине $D$, следовательно, меньший отрезок $HD = 1$, а больший отрезок $AH = 11$.

2) Проведём вторую высоту $BK$ из вершины $B$ к основанию $AD$. В равнобедренной трапеции высоты, опущенные из вершин малого основания на большое, отсекают равные прямоугольные треугольники ($\triangle ABK = \triangle DCH$ по гипотенузе и острому углу). Отсюда следует, что отрезки при вершинах большего основания равны: $AK = HD = 1$.

3) Рассмотрим отрезок $AH$. Он состоит из суммы двух отрезков: $AK$ и $KH$. Мы знаем, что $AH = 11$ и $AK = 1$. Найдём длину отрезка $KH$:
$KH = AH - AK = 11 - 1 = 10$.

4) Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel AD$ и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$). У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, искомое основание $BC$ равно отрезку $KH$:
$BC = KH = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся изображением на клетчатой бумаге. Нам необходимо найти длину горизонтального отрезка $AB$.

1. Сначала определим масштаб чертежа. Из условия (рисунок 2) следует, что размер одной клетки составляет $1 \times 1$. Это означает, что длина стороны одной клетки равна 1 единице.

2. Рассмотрим положение точек $A$ и $B$ на сетке. Точка $A$ расположена на одном из узлов сетки (пересечении линий), и точка $B$ также расположена на узле сетки на той же горизонтальной линии.

3. Чтобы найти длину отрезка $AB$, достаточно посчитать количество клеток между этими точками по горизонтали.

4. Считаем клетки по рисунку: от точки $A$ до точки $B$ ровно 2 клетки.

5. Так как длина одной клетки равна 1, то длина отрезка $AB$ вычисляется как:
$AB = 2 \times 1 = 2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) «Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым».
Вспомним свойство смежных углов: их сумма всегда равна $180^\circ$. Если один угол острый (то есть меньше $90^\circ$), то второй угол будет равен $180^\circ - (\text{острый угол})$. Результат обязательно будет больше $90^\circ$, то есть тупым.
Утверждение неверно.

2) «Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом».
Это один из признаков ромба. Параллелограмм, у которого диагонали пересекаются под прямым углом, обладает всеми свойствами ромба (в частности, у него равны все стороны).
Утверждение верно.

3) «Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания».
Согласно теореме о касательной, касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Угол между ними составляет $90^\circ$, поэтому они не могут быть параллельны.
Утверждение неверно.

Таким образом, истинным является только второе утверждение.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ