Вариант 2 · Октябрь 2026

Отвечено 0 из 20

1
Задание №1
Найдите значение выражения $\frac{1}{2} - \frac{9}{10}$ .
Правильный ответ
-0.4
Пояснение
Решение.

Для того чтобы вычесть одну дробь из другой, необходимо привести их к общему знаменателю. В данном случае знаменатели равны $2$ и $10$ . Общим знаменателем будет число $10$ , так как оно делится и на $2$ , и на $10$ .

1) Приведём дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю $10$ . Для этого умножим и числитель, и знаменатель на дополнительный множитель $5$ :
$\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$ .

2) Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$\frac{5}{10} - \frac{9}{10} = \frac{5 - 9}{10}$ .

3) Вычислим разность в числителе: $5 - 9 = -4$ . Получаем дробь:
$\frac{-4}{10}$ .

4) Переведём полученную обыкновенную дробь в десятичную. Разделить на $10$ — значит перенести запятую в числе на один знак влево:
$- \frac{4}{10} = -0,4$ .

Ответ: -0,4

Источник: ФИПИ
2
Задание №2
Между какими числами заключено число $\sqrt{67}$ ?

1) 8 и 9
2) 22 и 24
3) 4 и 5
4) 66 и 68
Правильный ответ
1
Пояснение
Решение.

Чтобы определить, между какими целыми числами находится корень из некоторого числа, нужно сравнить подкоренное выражение с ближайшими к нему квадратами целых чисел.

1) Вспомним таблицу квадратов для чисел, представленных в вариантах ответа. Нам нужно найти такие два последовательных целых числа, квадраты которых окружают число $67$ .

2) Проверим первый вариант (числа $8$ и $9$ ):
Возведём эти числа в квадрат:
$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$
$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$

3) Мы видим, что число $67$ находится в промежутке между $64$ и $81$ . Запишем это в виде двойного неравенства:
$64 < 67 < 81$

4) Теперь извлечём квадратный корень из каждой части неравенства:
$\sqrt{64} < \sqrt{67} < \sqrt{81}$
$8 < \sqrt{67} < 9$

5) Таким образом, число $\sqrt{67}$ действительно заключено между числами $8$ и $9$ . Это соответствует варианту под номером 1.

Для уверенности проверим остальные варианты:
- Вариант 2: $22^2$ — это гораздо больше $67$ .
- Вариант 3: $4^2 = 16$ , $5^2 = 25$ . Число $67$ не попадает в этот интервал.
- Вариант 4: $66^2$ и $68^2$ — это очень большие числа, значительно превышающие $67$ .

Ответ: 1

Источник: ФИПИ
3
Задание №3
Найдите значение выражения $\sqrt{\left(\right. - a \left.\right)^{4} \cdot a^{4}}$ при $a = 2$ .
Правильный ответ
16
Пояснение
Решение.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами степеней и корней. Разберем выражение по шагам.

1. Сначала упростим выражение под знаком корня. Рассмотрим первый множитель: $(-a)^{4}$ . Так как показатель степени — четное число (4), то минус при возведении в степень исчезает. Таким образом, $(-a)^{4} = a^{4}$ .

2. Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{(-a)^{4} \cdot a^{4}} = \sqrt{a^{4} \cdot a^{4}}$ .

3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:
$a^{4} \cdot a^{4} = a^{4+4} = a^{8}$ .

4. Теперь извлечем корень из полученного выражения. По свойству корня $\sqrt{a^{2n}} = |a^{n}|$ . В нашем случае:
$\sqrt{a^{8}} = a^{4}$ .

5. Подставим значение $a = 2$ в упрощенное выражение:
$a^{4} = 2^{4}$ .

6. Вычислим значение:
$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ .

Ответ: 16

Источник: ФИПИ
4
Задание №4
Решите уравнение $6 x^{2} = 36 x$ .
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший
из корней.
Правильный ответ
0
Пояснение
Решение.

Перед нами неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx = 0$ . Для его решения воспользуемся методом разложения на множители.

Шаг 1. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$6x^2 - 36x = 0$

Шаг 2. Найдём общий множитель. Мы видим, что оба коэффициента ( $6$ и $36$ ) делятся на $6$ , а также в обоих слагаемых присутствует переменная $x$ . Вынесем $6x$ за скобки:
$6x(x - 6) = 0$

Шаг 3. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $6x = 0$
2) $x - 6 = 0$

Шаг 4. Решим полученные простые уравнения:
1) Из $6x = 0$ получаем $x_1 = 0$ .
2) Из $x - 6 = 0$ получаем $x_2 = 6$ .

Шаг 5. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ нужно записать меньший из них. Сравним полученные корни:
$0 < 6$ , следовательно, меньшим корнем является $0$ .

Ответ: 0

Источник: ФИПИ
5
Задание №5
На экзамене 35 билетов, Стас не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
Правильный ответ
0.8
Пояснение
Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала найдём количество выученных билетов. По условию всего $35$ билетов, а Стас не выучил $7$ из них. Значит, количество выученных билетов равно:
$35 - 7 = 28$ .

2) Общее число возможных исходов — это общее количество билетов на экзамене, то есть $n = 35$ .

3) Благоприятным исходом является выбор выученного билета. Количество таких исходов $m = 28$ .

4) Вычислим вероятность $P$ , разделив число благоприятных исходов на общее число билетов:
$P = \frac{m}{n} = \frac{28}{35}$ .

5) Сократим полученную дробь на $7$ :
$\frac{28}{35} = \frac{4}{5}$ .

6) Переведём обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{4}{5} = 0,8$ .

Ответ: 0,8

Источник: ФИПИ
6
Задание №6
На рисунках изображены графики функций вида $y = k x + b$ . Установите соответствие между знаками коэффициентов $k$ и $b$ и графиками функций.
КОЭФФИЦИЕНТЫ
А) $k < 0$ , $b < 0$ Б) $k < 0$ , $b > 0$ В) $k > 0$ , $b < 0$
ГРАФИКИ
1) 2) 3)
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
А
Б
В
Впишите цифры от 1 до 3
Правильный ответ
213
Пояснение
Решение. Для решения данной задачи необходимо вспомнить геометрический смысл коэффициентов линейной функции $y = kx + b$ :

1) Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) отвечает за наклон прямой. Если $k > 0$ , то функция возрастает (прямая идет "снизу вверх"), если $k < 0$ , то функция убывает (прямая идет "сверху вниз").
2) Коэффициент $b$ (свободный член) равен ординате точки пересечения прямой с осью $Oy$ . Если $b > 0$ , прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат (выше нуля), если $b < 0$ — ниже начала координат.

Проанализируем каждый график:

График №1: Прямая направлена вниз (функция убывает), значит, $k < 0$ . Прямая пересекает ось $Oy$ выше начала координат, значит, $b > 0$ . Это соответствует условию Б.

График №2: Прямая направлена вниз (функция убывает), значит, $k < 0$ . Прямая пересекает ось $Oy$ ниже начала координат, значит, $b < 0$ . Это соответствует условию А.

График №3: Прямая направлена вверх (функция возрастает), значит, $k > 0$ . Прямая пересекает ось $Oy$ ниже начала координат, значит, $b < 0$ . Это соответствует условию В.

Сопоставим результаты:
А — 2
Б — 1
В — 3

Ответ: 213

Источник: ФИПИ
7
Задание №7
Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^{2} R$ ,
где $I$ $—$ сила тока (в амперах), $R$ $—$ сопротивление (в омах). Пользуясь
этой формулой, найдите сопротивление $R$ , если мощность составляет 96 Вт, а сила тока равна 4 А. Ответ дайте в омах.
Правильный ответ
6
Пояснение
Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой мощности постоянного тока: $P = I^{2} R$ .

1. Выпишем значения величин, которые даны в условии задачи:
Мощность $P = 96$ Вт;
Сила тока $I = 4$ А.

2. Нам необходимо найти сопротивление $R$ . Для этого выразим $R$ из исходной формулы. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:
$R = \frac{P}{I^{2}}$

3. Подставим известные значения в полученную формулу:
$R = \frac{96}{4^{2}}$

4. Сначала возведём силу тока в квадрат:
$4^{2} = 4 \cdot 4 = 16$

5. Теперь вычислим значение сопротивления, разделив мощность на полученный результат:
$R = \frac{96}{16}$
$R = 6$

Таким образом, сопротивление составляет 6 Ом.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ
8
Задание №8
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке.

1) $x^{2} - 5 x \leq 0$
2) $x^{2} - 25 \leq 0$
3) $x^{2} - 5 x \geq 0$
4) $x^{2} - 25 \geq 0$
Правильный ответ
1
Пояснение
Решение.

Рассмотрим рисунок. На координатной прямой изображён интервал между числами $0$ и $5$ . Точки закрашены, значит, границы включены в решение. Это соответствует промежутку $x \in [0; 5]$ .

Найдём корни соответствующих уравнений для каждого из предложенных неравенств, чтобы определить, какие из них имеют корни $0$ и $5$ .

1) Для неравенств 1 и 3 рассмотрим уравнение $x^{2} - 5x = 0$ .
Вынесем общий множитель за скобки: $x(x - 5) = 0$ .
Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$ .
Эти корни совпадают с числами на рисунке.

2) Для неравенств 2 и 4 рассмотрим уравнение $x^{2} - 25 = 0$ .
$x^{2} = 25$ , следовательно, $x_1 = -5$ и $x_2 = 5$ .
Эти корни не подходят к нашему рисунку.

Теперь определим знак неравенства для функции $f(x) = x^{2} - 5x$ . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^{2}$ положителен).
Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $0$ и $5$ . Значения функции меньше или равны нулю ( $f(x) \leq 0$ ) находятся между корнями, то есть на отрезке $[0; 5]$ .
Значения функции больше или равны нулю ( $f(x) \geq 0$ ) находятся по краям: $x \leq 0$ или $x \geq 5$ .

На рисунке заштрихована область между корнями, что соответствует условию $x^{2} - 5x \leq 0$ .

Ответ: 1

Источник: ФИПИ
9
Задание №9
В амфитеатре 14 рядов. В первом ряду 16 мест, а в каждом следующем
на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Правильный ответ
406
Пояснение
Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся знаниями об арифметической прогрессии, так как количество мест в каждом следующем ряду увеличивается на одно и то же число.

1. Выпишем известные данные:
Количество рядов (количество членов прогрессии): $n = 14$ .
Количество мест в первом ряду (первый член прогрессии): $a_1 = 16$ .
Разность прогрессии (на сколько мест больше в каждом следующем ряду): $d = 2$ .

2. Нам нужно найти общее количество мест во всех 14 рядах. Это сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии. Формула суммы выглядит так:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

3. Подставим наши значения в формулу:
$S_{14} = \frac{2 \cdot 16 + 2 \cdot (14 - 1)}{2} \cdot 14$

4. Выполним вычисления по шагам:
Сначала найдем значение в скобках: $14 - 1 = 13$ .
Затем выполним умножение: $2 \cdot 16 = 32$ и $2 \cdot 13 = 26$ .
Сложим полученные числа в числителе: $32 + 26 = 58$ .
Теперь формула принимает вид: $S_{14} = \frac{58}{2} \cdot 14$ .

5. Завершим расчет:
Разделим 58 на 2: $58 : 2 = 29$ .
Умножим результат на количество рядов: $29 \cdot 14 = 406$ .

Таким образом, всего в амфитеатре 406 мест.

Ответ: 406

Источник: ФИПИ
10
Задание №10
В остроугольном треугольнике $A B C$ проведена высота $B H$ , $\angle B A C = 19 °$ . Найдите угол $A B H$ . Ответ дайте в градусах.
Правильный ответ
71
Пояснение
Решение.

1. Рассмотрим треугольник $A B H$ . По условию задачи $B H$ является высотой треугольника $A B C$ , проведённой к стороне $A C$ . Это означает, что отрезок $B H$ перпендикулярен прямой $A C$ , следовательно, угол $A H B$ равен $90^\circ$ .

2. Таким образом, треугольник $A B H$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$ .

3. Нам известно, что в треугольнике $A B C$ угол $\angle B A C = 19^\circ$ . В треугольнике $A B H$ этот же угол можно обозначить как $\angle B A H$ , и он также равен $19^\circ$ .

4. Вспомним важное свойство прямоугольного треугольника: сумма его острых углов всегда равна $90^\circ$ . Для треугольника $A B H$ это записывается так:
$\angle B A H + \angle A B H = 90^\circ$ .

5. Чтобы найти искомый угол $A B H$ , нужно из $90^\circ$ вычесть известный угол $B A H$ :
$\angle A B H = 90^\circ - \angle B A H$
$\angle A B H = 90^\circ - 19^\circ$
$\angle A B H = 71^\circ$ .

Ответ: 71

Источник: ФИПИ
11
Задание №11
Отрезки $A C$ и $B D$ $—$ диаметры окружности с центром в точке $O$ . Угол $A C B$ равен $74 °$ . Найдите угол $A O D$ . Ответ дайте в градусах.

Правильный ответ
32
Пояснение
Решение.

1) Рассмотрим треугольник $BOC$ . Точка $O$ является центром окружности, а отрезки $OB$ и $OC$ — её радиусами. Так как все радиусы одной окружности равны, то $OB = OC$ . Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$ .

2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle OBC = \angle OCB$ . По условию задачи $\angle ACB = 74^\circ$ , что и есть $\angle OCB$ . Таким образом, $\angle OBC = 74^\circ$ .

3) Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$ . Найдём угол $BOC$ при вершине треугольника:
$\angle BOC = 180^\circ - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^\circ - (74^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 148^\circ = 32^\circ$ .

4) Отрезки $AC$ и $BD$ являются диаметрами и пересекаются в точке $O$ . Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны между собой:
$\angle AOD = \angle BOC = 32^\circ$ .

Ответ: 32

Источник: ФИПИ
12
Задание №12
Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.
Правильный ответ
24
Пояснение
Решение.

Давайте разберем задачу по шагам, опираясь на свойства вписанной окружности и трапеции.

1. На рисунке изображена прямоугольная трапеция, в которую вписана окружность. По определению, вписанная окружность касается всех сторон трапеции: верхнего основания, нижнего основания и обеих боковых сторон.

2. Расстояние между параллельными основаниями трапеции называется её высотой $h$ . Так как окружность касается и верхнего, и нижнего оснований, то расстояние между точками касания на этих основаниях равно диаметру окружности.

3. Поскольку основания трапеции горизонтальны, отрезок, соединяющий точки касания на основаниях, будет перпендикулярен им. Следовательно, длина этого отрезка в точности равна высоте трапеции $h$ .

4. Диаметр окружности $D$ вычисляется как удвоенный радиус $r$ :
$D = 2 \cdot r$

5. Подставим известное значение радиуса $r = 12$ в формулу:
$h = D = 2 \cdot 12 = 24$

Таким образом, высота прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, всегда равна диаметру этой окружности.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ
13
Задание №13
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

Правильный ответ
10
Пояснение
Решение. Для нахождения площади треугольника на клетчатой бумаге удобнее всего воспользоваться стандартной геометрической формулой площади через основание и высоту.

Шаг 1. Выберем основание.
Посмотрим на рисунок. Удобнее всего взять за основание нижнюю горизонтальную сторону треугольника, так как она проходит точно по линиям сетки. Посчитаем её длину в клетках. Мы видим, что основание занимает $5$ полных клеток.
Следовательно, основание $a = 5$ .

Шаг 2. Проведём высоту.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины на прямую, содержащую основание. На рисунке верхняя вершина треугольника удалена от нижней горизонтальной линии на $4$ клетки вверх.
Следовательно, высота $h = 4$ .

Шаг 3. Вычислим площадь.
Воспользуемся формулой площади треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$
Подставим наши значения:
$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4$
$S = \frac{1}{2} \cdot 20$
$S = 10$

Так как размер клетки составляет $1 \times 1$ , площадь треугольника равна $10$ .

Ответ: 10

Источник: ФИПИ
14
Задание №14
Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1) Смежные углы всегда равны.
2) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.
3) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.
В ответ запишите номер истинного высказывания.
Правильный ответ
2
Пояснение
Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) «Смежные углы всегда равны».
Это утверждение неверно. По свойству смежных углов, их сумма всегда равна $180^\circ$ . Они могут быть равны только в одном частном случае — если оба угла прямые (по $90^\circ$ ). В остальных случаях один угол острый, а другой тупой.

2) «Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности».
Это утверждение верно. Согласно геометрическому свойству, если точка находится вне круга, из неё всегда можно провести ровно две прямые, которые будут касаться окружности. При этом отрезки этих касательных от данной точки до точек касания будут равны между собой.

3) «Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей».
Это утверждение неверно. Формула площади через диагонали выглядит так: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha$ , где $\alpha$ — угол между диагоналями. Половина произведения диагоналей без учёта синуса угла между ними является формулой площади только для ромба (или квадрата), так как у них диагонали пересекаются под прямым углом ( $\sin 90^\circ = 1$ ). Для произвольного параллелограмма это правило не работает.

Таким образом, истинным является только второе утверждение.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ
15
Задание №15
Решите систему уравнений $\left\{\begin{array}{l} 2 x^{2} + y^{2} = 36, \\ 8 x^{2} + 4 y^{2} = 36 x . \end{array}\right.$
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 36 \\ 8x^2 + 4y^2 = 36x \end{cases}$

Шаг 1. Преобразуем второе уравнение.
Заметим, что в левой части второго уравнения все коэффициенты кратны 4. Вынесем 4 за скобки:
$4(2x^2 + y^2) = 36x$

Шаг 2. Используем метод подстановки.
Из первого уравнения системы нам известно, что выражение $2x^2 + y^2$ равно 36. Подставим это значение во второе уравнение вместо выражения в скобках:
$4 \cdot 36 = 36x$

Шаг 3. Находим значение $x$ .
Разделим обе части полученного уравнения на 36:
$4 = x$ , то есть $x = 4$ .

Шаг 4. Находим значение $y$ .
Подставим найденное значение $x = 4$ в первое уравнение системы:
$2 \cdot 4^2 + y^2 = 36$
$2 \cdot 16 + y^2 = 36$
$32 + y^2 = 36$
$y^2 = 36 - 32$
$y^2 = 4$

Уравнение $y^2 = 4$ имеет два корня:
$y_1 = 2$
$y_2 = -2$

Шаг 5. Записываем пары решений.
При $x = 4$ мы получили два возможных значения $y$ . Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(4; 2)$ и $(4; -2)$ .

Ответ: (4; 2), (4; -2)

Источник: ФИПИ
16
Задание №16
Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

Пусть $x$ — концентрация кислоты в первом растворе (в долях), а $y$ — концентрация кислоты во втором растворе (в долях). Тогда масса чистой кислоты в первом сосуде равна $48x$ кг, а во втором — $42y$ кг.

Шаг 1. Составим первое уравнение.
По условию, если слить оба раствора вместе, общая масса смеси составит $48 + 42 = 90$ кг. Концентрация этой смеси равна $42\%$ , то есть $0,42$ . Масса кислоты в смеси равна сумме масс кислот в исходных сосудах:
$48x + 42y = 0,42 \cdot 90$
$48x + 42y = 37,8$

Шаг 2. Составим второе уравнение.
Если слить равные массы растворов (пусть по $m$ кг каждого), то общая масса смеси будет $2m$ кг. Масса кислоты в такой смеси составит $m \cdot x + m \cdot y$ . По условию концентрация этой смеси равна $40\%$ , то есть $0,4$ :
$mx + my = 0,4 \cdot (2m)$
Разделим обе части уравнения на $m$ (так как $m \neq 0$ ):
$x + y = 0,8$

Шаг 3. Решим систему уравнений.
Из второго уравнения выразим $x$ :
$x = 0,8 - y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$48(0,8 - y) + 42y = 37,8$
Раскроем скобки:
$38,4 - 48y + 42y = 37,8$
Приведем подобные слагаемые:
$-6y = 37,8 - 38,4$
$-6y = -0,6$
$y = 0,1$

Шаг 4. Найдем массу кислоты во втором растворе.
Мы нашли концентрацию второго раствора $y = 0,1$ (или $10\%$ ). Чтобы найти массу кислоты во втором сосуде, нужно умножить его общую массу на концентрацию:
$42 \cdot 0,1 = 4,2$ (кг).

Ответ: 4,2

Источник: ФИПИ
17
Задание №17
Постройте график функции
$y = x \left|\right. x \left|\right. + 2 \left|\right. x \left|\right. - 5 x$ .
Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

Для построения графика функции $y = x|x| + 2|x| - 5x$ необходимо раскрыть модули, рассмотрев два случая в зависимости от знака переменной $x$ .

1. Раскрытие модуля:
Если $x \ge 0$ , то $|x| = x$ . Подставим это в уравнение функции:
$y = x \cdot x + 2 \cdot x - 5x = x^2 - 3x$ .
Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1,5$ ;
$y_0 = (1,5)^2 - 3 \cdot 1,5 = 2,25 - 4,5 = -2,25$ .
Вершина: $(1,5; -2,25)$ . Точки пересечения с осью $Ox$ : $x(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ и $x = 3$ .

Если $x < 0$ , то $|x| = -x$ . Подставим это в уравнение функции:
$y = x \cdot (-x) + 2 \cdot (-x) - 5x = -x^2 - 2x - 5x = -x^2 - 7x$ .
Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём координаты её вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-7}{2 \cdot (-1)} = -3,5$ ;
$y_0 = -(-3,5)^2 - 7 \cdot (-3,5) = -12,25 + 24,5 = 12,25$ .
Вершина: $(-3,5; 12,25)$ . Точки пересечения с осью $Ox$ : $-x(x + 7) = 0 \Rightarrow x = 0$ и $x = -7$ .

2. Построение графика:
График состоит из двух частей парабол, которые «склеиваются» в точке $(0; 0)$ .
Левее оси $Oy$ (при $x < 0$ ) мы рисуем часть параболы $y = -x^2 - 7x$ с вершиной в точке $(-3,5; 12,25)$ .
Правее оси $Oy$ (при $x \ge 0$ ) мы рисуем часть параболы $y = x^2 - 3x$ с вершиной в точке $(1,5; -2,25)$ .

3. Исследование количества общих точек с прямой $y = m$ :
Прямая $y = m$ — это горизонтальная прямая. Нам нужно найти такие значения $m$ , при которых эта прямая пересекает построенный график ровно в двух точках.
Анализируя график, видим:
— При $m > 12,25$ прямая пересекает график в одной точке (правая ветвь параболы $y = x^2 - 3x$ ).
— При $m = 12,25$ прямая проходит через вершину левой параболы. Точек пересечения две: сама вершина $(-3,5; 12,25)$ и точка на правой ветви второй параболы. Это подходит.
— При $-2,25 < m < 12,25$ прямая пересекает график в трёх точках.
— При $m = -2,25$ прямая проходит через вершину правой параболы. Точек пересечения две: сама вершина $(1,5; -2,25)$ и точка на левой ветви первой параболы. Это подходит.
— При $m < -2,25$ прямая пересекает график в одной точке (левая ветвь параболы $y = -x^2 - 7x$ ).

Таким образом, ровно две общие точки будут при $m = 12,25$ и $m = -2,25$ .

Ответ: -2,25; 12,25

Источник: ФИПИ
18
Задание №18
Точка $H$ является основанием высоты $B H$ , проведённой из вершины прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $A B C$ . Окружность
с диаметром $B H$ пересекает стороны $A B$ и $C B$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $P K$ , если $B H = 11$ .
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$ . По условию угол $B$ — прямой ( $\angle ABC = 90^{\circ}$ ). Отрезок $BH$ является высотой, проведённой к гипотенузе $AC$ .

2. Рассмотрим окружность с диаметром $BH$ . По условию точки $P$ и $K$ лежат на этой окружности, так как она пересекает стороны $AB$ и $CB$ . Также точки $P$ и $K$ лежат на катетах треугольника $ABC$ .

3. Рассмотрим угол $PBK$ . Этот угол совпадает с углом $ABC$ , следовательно, $\angle PBK = 90^{\circ}$ .

4. Вспомним важное свойство геометрии: вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен $90^{\circ}$ . Справедливо и обратное: если вписанный угол равен $90^{\circ}$ , то хорда, на которую он опирается, является диаметром этой окружности.

5. Угол $PBK$ является вписанным в данную окружность, так как его вершина $B$ и точки $P$ и $K$ лежат на окружности. Поскольку $\angle PBK = 90^{\circ}$ , то отрезок $PK$ , соединяющий точки на окружности, является её диаметром.

6. Таким образом, и отрезок $BH$ , и отрезок $PK$ являются диаметрами одной и той же окружности. В любой окружности все диаметры равны между собой.

7. Следовательно, $PK = BH$ . Так как по условию $BH = 11$ , то и $PK = 11$ .

Ответ: 11

Источник: ФИПИ
19
Задание №19
В треугольнике $A B C$ с тупым углом $A C B$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Докажите, что треугольники $A_{1} C B_{1}$ и $A C B$ подобны.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ . Поскольку угол $ACB$ тупой, основания высот $A_1$ и $B_1$ лежат на продолжениях сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Углы $AA_1C$ и $BB_1C$ прямые (равны $90^\circ$ ), так как $AA_1$ и $BB_1$ — высоты.

2. В треугольниках $AA_1C$ и $BB_1C$ углы при вершине $C$ (углы $A_1CA$ и $B_1CB$ ) являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle A_1CA = \angle B_1CB$ . Следовательно, треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ подобны по двум углам (первый признак подобия).

3. Из подобия треугольников $AA_1C$ и $BB_1C$ следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{A_1C}{B_1C} = \frac{AC}{BC}$ .

4. Перепишем это отношение в другом виде, поменяв местами средние члены пропорции:
$\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$ .

5. Теперь рассмотрим треугольники $A_1CB_1$ и $ACB$ . У них:
— угол $A_1CB_1$ равен углу $ACB$ (как вертикальные);
— стороны, образующие эти углы, пропорциональны: $\frac{A_1C}{AC} = \frac{B_1C}{BC}$ (доказано в пункте 4).

6. Таким образом, треугольники $A_1CB_1$ и $ACB$ подобны по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и равному углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ
20
Задание №20
Углы при одном из оснований трапеции равны $80 °$ и $10 °$ , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 20 и 17. Найдите основания трапеции.
Ваше решениедо 2 баллов
Запишите решение задачи...
Решение
Решение.

1) Пусть $ABCD$ — данная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ ( $AD > BC$ ). По условию углы при основании $AD$ равны $\angle A = 80^{\circ}$ и $\angle D = 10^{\circ}$ . Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — это средняя линия трапеции и отрезок, соединяющий середины оснований.

2) Обозначим середину $BC$ как $M$ , а середину $AD$ как $N$ . Отрезок $MN$ соединяет середины оснований. Средняя линия трапеции (соединяющая середины боковых сторон) вычисляется по формуле $\frac{AD + BC}{2}$ . Известно, что средняя линия всегда больше отрезка, соединяющего середины оснований (в невырожденной трапеции). Следовательно, средняя линия равна $20$ , а $MN = 17$ .

3) Из формулы средней линии имеем: $\frac{AD + BC}{2} = 20$ , откуда $AD + BC = 40$ .

4) Продлим боковые стороны $AB$ и $CD$ до их пересечения в точке $K$ . Рассмотрим треугольник $AKD$ . Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$ , поэтому $\angle K = 180^{\circ} - (\angle A + \angle D) = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 10^{\circ}) = 90^{\circ}$ . Таким образом, треугольник $AKD$ — прямоугольный.

5) Так как $BC \parallel AD$ , треугольник $BKC$ также является прямоугольным ( $\angle K = 90^{\circ}$ ) и подобен треугольнику $AKD$ . Точки $K$ , $M$ и $N$ лежат на одной прямой, так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, лежит на биссектрисе угла (в данном случае это линия, проходящая через середины параллельных оснований).

6) В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Для $\triangle BKC$ : $KM = \frac{BC}{2}$ . Для $\triangle AKD$ : $KN = \frac{AD}{2}$ .

7) Заметим, что $MN = KN - KM$ . Подставим выражения через основания: $17 = \frac{AD}{2} - \frac{BC}{2}$ , что дает $AD - BC = 34$ .

8) Составим систему уравнений: $\begin{cases} AD + BC = 40 \\ AD - BC = 34 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2 \cdot AD = 74$ , откуда $AD = 37$ . Вычтем из первого уравнения второе: $2 \cdot BC = 6$ , откуда $BC = 3$ .

Ответ: 3; 37

Источник: ФИПИ