Вариант 3 · Октябрь 2026

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством координатной прямой: чем правее расположена точка на прямой, тем больше соответствующее ей число.

1) Посмотрим на рисунок и определим порядок расположения чисел. Мы видим, что точка $r$ находится левее всех, затем идёт точка $q$, а правее всех расположена точка $p$. Следовательно, между числами выполняется следующее неравенство:
$r < q < p$

2) Вспомним правило: разность двух чисел отрицательна тогда и только тогда, когда мы из меньшего числа вычитаем большее (если $a < b$, то $a - b < 0$).

3) Проверим каждую из предложенных разностей:

• Разность $p - r$: так как число $p$ находится правее числа $r$, то $p > r$. Значит, разность $p - r$ положительна ($p - r > 0$).
• Разность $p - q$: так как число $p$ находится правее числа $q$, то $p > q$. Значит, разность $p - q$ положительна ($p - q > 0$).
• Разность $r - q$: так как число $r$ находится левее числа $q$, то $r < q$. При вычитании из меньшего числа большего мы получаем отрицательный результат. Значит, разность $r - q$ отрицательна ($r - q < 0$).

Таким образом, отрицательной является разность под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся свойствами умножения и свойствами квадратных корней.

Шаг 1. Группировка множителей.
В выражении $4 \sqrt{17} \cdot 5 \sqrt{2} \cdot \sqrt{34}$ мы можем отдельно перемножить целые числа (коэффициенты перед корнями) и отдельно — подкоренные выражения. Напомним, что произведение корней равно корню из произведения: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Перегруппируем множители:
$(4 \cdot 5) \cdot (\sqrt{17} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{34})$

Шаг 2. Вычисление произведения целых чисел.
$4 \cdot 5 = 20$

Шаг 3. Работа с корнями.
Сначала перемножим первые два корня:
$\sqrt{17} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{17 \cdot 2} = \sqrt{34}$
Теперь подставим это значение обратно в выражение:
$20 \cdot (\sqrt{34} \cdot \sqrt{34})$

Шаг 4. Извлечение корня.
По определению квадратного корня, произведение двух одинаковых корней даёт само подкоренное число: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 = a$.
Следовательно:
$\sqrt{34} \cdot \sqrt{34} = 34$

Шаг 5. Финальное умножение.
Нам осталось умножить полученный коэффициент на результат извлечения корня:
$20 \cdot 34 = 680$

Ответ: 680

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения линейного уравнения $- 2 x - 7 = - 4 x$ воспользуемся правилом переноса слагаемых: слагаемые с переменной $x$ перенесём в левую часть уравнения, а свободные числа — в правую часть. При переносе через знак равенства знаки слагаемых меняются на противоположные.

1. Перенесём $- 4 x$ из правой части в левую со знаком «плюс», а число $- 7$ из левой части в правую также со знаком «плюс»:
$- 2 x + 4 x = 7$

2. Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения. Для этого сложим коэффициенты перед $x$:
$(- 2 + 4) \cdot x = 7$
$2 x = 7$

3. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение на известный множитель:
$x = 7 : 2$
$x = 3,5$

Ответ: 3,5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием противоположных событий. В данной ситуации возможны два исхода при выборе ручки: она либо пишет плохо, либо пишет хорошо. Эти события являются противоположными, так как они полностью охватывают все возможные варианты и не могут произойти одновременно.

1. Обозначим событие $A$ — «выбранная ручка пишет плохо». По условию задачи вероятность этого события равна:
$P(A) = 0,06$.

2. Обозначим событие $\bar{A}$ — «выбранная ручка пишет хорошо». Это событие является противоположным событию $A$.

3. Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна $1$. Это записывается формулой:
$P(A) + P(\bar{A}) = 1$.

4. Чтобы найти вероятность того, что ручка пишет хорошо, нужно из единицы вычесть вероятность того, что она пишет плохо:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

5. Подставим числовое значение:
$P(\bar{A}) = 1 - 0,06 = 0,94$.

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная ручка окажется исправной, составляет $0,94$.

Ответ: 0,94

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$:

1) Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз.
2) Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$. То есть это значение $y$ в точке, где график пересекает вертикальную ось. Если точка пересечения лежит выше оси $Ox$, то $c > 0$. Если ниже — то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График №1: Ветви направлены вверх, значит $a > 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ (в отрицательной области), значит $c < 0$. Это соответствует условию В.

График №2: Ветви направлены вниз, значит $a < 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ (в положительной области), значит $c > 0$. Это соответствует условию А.

График №3: Ветви направлены вверх, значит $a > 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит $c > 0$. Это соответствует условию Б.

Сопоставим буквы и цифры:
А — 2
Б — 3
В — 1

Ответ: 231

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данной в условии формулой перевода температуры из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта:
$t_{F} = 1,8 t_{C} + 32$.

По условию нам известно значение температуры по шкале Цельсия:
$t_{C} = 50$.

Чтобы найти соответствующее значение в градусах Фаренгейта, подставим число $50$ в формулу вместо переменной $t_{C}$:
$t_{F} = 1,8 \cdot 50 + 32$.

Выполним вычисления по действиям:

1) Сначала выполним умножение. Чтобы умножить $1,8$ на $50$, можно сначала $1,8$ умножить на $10$, а затем на $5$:
$1,8 \cdot 50 = (1,8 \cdot 10) \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90$.

2) Теперь к полученному результату прибавим $32$:
$90 + 32 = 122$.

Таким образом, $50$ градусов по шкале Цельсия соответствуют $122$ градусам по шкале Фаренгейта.

Ответ: 122

Источник: ФИПИ

Решение. Чтобы решить систему неравенств, решим каждое неравенство отдельно, а затем найдём общую часть полученных промежутков.

Система имеет вид: $\begin{cases} - 10 + 2x > 0, \\ 7 - 6x > - 5. \end{cases}$

1) Решим первое неравенство: $- 10 + 2x > 0$. Перенесём $- 10$ в правую часть с противоположным знаком: $2x > 10$. Разделим обе части на $2$: $x > 5$.

2) Решим второе неравенство: $7 - 6x > - 5$. Перенесём $7$ в правую часть: $- 6x > - 12$. Разделим обе части на $- 6$; при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x < 2$.

3) Соберём условия вместе: $x > 5$ и $x < 2$. Число не может быть одновременно больше $5$ и меньше $2$: промежутки $( 5 ; + \infty )$ и $( - \infty ; 2 )$ не имеют общих точек.

Значит, система решений не имеет. Этому соответствует вариант 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберем условие задачи. Нам известно, что расстояние, которое проходит поезд за каждую секунду, увеличивается на одну и ту же величину. Это означает, что последовательность расстояний за каждую секунду является арифметической прогрессией.

1. Выпишем известные данные:
— Первый член прогрессии $a_1 = 0,2$ (расстояние за первую секунду);
— Разность прогрессии $d = 0,6$ (на сколько метров больше поезд проходит каждую следующую секунду);
— Количество секунд $n = 8$.

2. Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за 8 секунд. Это сумма первых восьми членов арифметической прогрессии $S_8$.
Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

3. Подставим наши значения в формулу:
$S_8 = \frac{2 \cdot 0,2 + 0,6 \cdot (8 - 1)}{2} \cdot 8$

4. Выполним вычисления по шагам:
— Сначала найдем значение в скобках: $8 - 1 = 7$;
— Умножим разность на это число: $0,6 \cdot 7 = 4,2$;
— Найдем удвоенный первый член: $2 \cdot 0,2 = 0,4$;
— Сложим полученные результаты в числителе: $0,4 + 4,2 = 4,6$;
— Теперь подставим это в дробь: $S_8 = \frac{4,6}{2} \cdot 8$;
— Сократим 8 и 2, получим: $S_8 = 4,6 \cdot 4$;
— Выполним итоговое умножение: $4,6 \cdot 4 = 18,4$.

Таким образом, за первые 8 секунд движения поезд прошел 18,4 метра.

Ответ: 18,4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи вспомним свойства равностороннего (правильного) треугольника. Пусть сторона треугольника равна $a$, а его высота равна $h$.

Шаг 1. Связь высоты и стороны.
В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Высота, проведённая к основанию, образует прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является сторона $a$, а катетами — высота $h$ и половина стороны $\frac{a}{2}$ (так как в равностороннем треугольнике высота также является медианой).

По определению синуса угла в прямоугольном треугольнике:
$\sin(60^\circ) = \frac{h}{a}$

Отсюда выразим высоту через сторону:
$h = a \cdot \sin(60^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 2. Подстановка известных данных.
По условию задачи высота $h = 13\sqrt{3}$. Подставим это значение в формулу:
$13\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Шаг 3. Нахождение стороны $a$.
Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:
$13 = \frac{a}{2}$

Теперь найдём $a$, умножив обе части на 2:
$a = 13 \cdot 2$
$a = 26$

Таким образом, сторона равностороннего треугольника равна 26.

Ответ: 26

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник, вписанный в окружность.

1. Обозначим сторону равностороннего треугольника как $a$. По условию задачи $a = 14\sqrt{3}$.

2. Существует готовая формула, связывающая радиус описанной окружности $R$ и сторону правильного треугольника $a$:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

3. Эту формулу легко получить, если вспомнить, что в равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$. По теореме синусов:
$\frac{a}{\sin 60^{\circ}} = 2R$

Так как $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставим это значение:
$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$
$\frac{2a}{\sqrt{3}} = 2R$
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

4. Подставим известное значение стороны $a = 14\sqrt{3}$ в формулу для радиуса:
$R = \frac{14\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

5. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$R = 14$

Таким образом, радиус описанной окружности равен 14.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Разберёмся, как связаны между собой квадрат и вписанная в него окружность. На рисунке изображён квадрат, стороны которого касаются окружности. Это означает, что диаметр окружности равен стороне квадрата.

2. Нам известен радиус окружности $r = 9$. Диаметр окружности $d$ в два раза больше её радиуса:
$d = 2 \cdot r = 2 \cdot 9 = 18$.

3. Так как диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата $a$, то:
$a = d = 18$.

4. Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле квадрата его стороны:
$S = a^2$.

5. Подставим найденное значение стороны в формулу:
$S = 18^2 = 18 \cdot 18 = 324$.

Ответ: 324

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти площадь параллелограмма, воспользуемся основной формулой: площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию.

Шаг 1. Определим высоту параллелограмма.
На рисунке изображена высота, опущенная на нижнюю сторону параллелограмма. Её длина указана и равна $h = 5$.

Шаг 2. Определим длину основания.
Основание параллелограмма (нижняя сторона) разделено высотой на два отрезка. Длины этих отрезков равны $12$ и $3$. Чтобы найти общую длину основания $a$, нужно сложить длины этих частей:
$a = 12 + 3 = 15$.

Шаг 3. Вычислим площадь.
Подставим найденные значения основания $a = 15$ и высоты $h = 5$ в формулу площади $S = a \cdot h$:
$S = 15 \cdot 5 = 75$.

Примечание: Боковая сторона, равная $13$, в данном случае является избыточным данным для вычисления площади, так как высота и основание уже известны.

Ответ: 75

Источник: ФИПИ

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
Это утверждение ложно. Положение центра описанной окружности зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике центр действительно лежит внутри.
• В прямоугольном треугольнике центр лежит на середине гипотенузы.
• В тупоугольном треугольнике центр лежит вне треугольника.

2) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам.
Это утверждение истинно. Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма углов любого треугольника (независимо от того, равнобедренный он, равносторонний или разносторонний) на плоскости всегда равна $180^\circ$.

3) Диагонали ромба равны.
Это утверждение ложно. По свойствам ромба его диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов, но они равны только в том случае, если ромб является квадратом. В общем случае у ромба одна диагональ больше другой.

Таким образом, верным является только утверждение под номером 2.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ