Вариант 4 · Октябрь 2026

Решение.

Чтобы определить, какому из промежутков принадлежит обыкновенная дробь $\frac{4}{9}$, необходимо перевести её в десятичный вид. Для этого разделим числитель на знаменатель уголком.

1. Выполним деление: $4 : 9$.
Так как $4$ меньше $9$, целая часть будет равна $0$.
Добавим к четвёрке ноль и разделим $40$ на $9$. Ближайшее число, которое делится на $9$ без остатка — это $36$ ($9 \cdot 4 = 36$).
$40 - 36 = 4$. Снова сносим ноль и получаем $40$.
Процесс будет повторяться бесконечно, значит, $\frac{4}{9} = 0,444...$

2. Теперь сравним полученное число $0,444...$ с предложенными промежутками:
1) $[0,1; 0,2]$ — число $0,444...$ больше, чем $0,2$. Не подходит.
2) $[0,2; 0,3]$ — число $0,444...$ больше, чем $0,3$. Не подходит.
3) $[0,3; 0,4]$ — число $0,444...$ больше, чем $0,4$. Не подходит.
4) $[0,4; 0,5]$ — число $0,444...$ больше $0,4$, но меньше $0,5$. Это верный промежуток.

Таким образом, число $\frac{4}{9}$ принадлежит четвёртому промежутку.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Сначала упростим выражение под знаком корня. Заметим, что выражение $a^{2} + 10ab + 25b^{2}$ представляет собой квадрат суммы. Вспомним формулу сокращённого умножения: $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$.

2. В нашем случае:
— первое слагаемое — это $a^{2}$;
— последнее слагаемое — это $25b^{2} = (5b)^{2}$;
— удвоенное произведение — это $2 \cdot a \cdot 5b = 10ab$.
Следовательно, $a^{2} + 10ab + 25b^{2} = (a + 5b)^{2}$.

3. Теперь подставим это в исходное выражение:
$\sqrt{a^{2} + 10ab + 25b^{2}} = \sqrt{(a + 5b)^{2}}$.

4. По свойству корня $\sqrt{x^{2}} = |x|$. Значит, наше выражение равно $|a + 5b|$.

5. Подставим значения $a = 14 \frac{6}{13}$ и $b = \frac{4}{13}$ в полученное выражение:
$a + 5b = 14 \frac{6}{13} + 5 \cdot \frac{4}{13}$.

6. Выполним умножение:
$5 \cdot \frac{4}{13} = \frac{20}{13}$.
Выделим целую часть из дроби $\frac{20}{13}$:
$\frac{20}{13} = 1 \frac{7}{13}$.

7. Сложим числа:
$14 \frac{6}{13} + 1 \frac{7}{13} = (14 + 1) + (\frac{6}{13} + \frac{7}{13}) = 15 + \frac{13}{13} = 15 + 1 = 16$.

8. Так как число $16$ положительное, то $|16| = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ

Решение.

Данное уравнение $x^{2} - 9x + 18 = 0$ является полным квадратным уравнением вида $ax^{2} + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:
$a = 1$, $b = -9$, $c = 18$.

Шаг 1. Найдём дискриминант.
Воспользуемся формулой дискриминанта: $D = b^{2} - 4ac$.
Подставим значения коэффициентов:
$D = (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Шаг 2. Найдём корни уравнения.
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Вычислим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.
Теперь найдём значения $x$:
$x_{1} = \frac{-(-9) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$;
$x_{2} = \frac{-(-9) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Шаг 3. Выбор ответа.
По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них.
Сравним полученные корни: $3 < 6$. Следовательно, меньший корень равен $3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество возможных исходов. По условию задачи в фирме свободно всего $15$ машин. Значит, к заказчику может приехать любая из этих $15$ машин.
$n = 15$

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором приедет именно жёлтое такси. В условии сказано, что свободных жёлтых машин $6$.
$m = 6$

3. Вычислим вероятность $P$, разделив число благоприятных исходов на общее число машин:
$P = \frac{m}{n} = \frac{6}{15}$

4. Сократим полученную дробь на $3$:
$\frac{6}{15} = \frac{6 : 3}{15 : 3} = \frac{2}{5}$

5. Переведём обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно умножить и числитель, и знаменатель на $2$:
$\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: 0,4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы установить соответствие, проанализируем вид каждой функции и определим, какой геометрической фигуре соответствует её график.

А) $y = - \frac{9}{x}$
Это функция обратной пропорциональности. Графиком такой функции является гипербола. Так как коэффициент перед дробью отрицательный ($k = -9$), ветви гиперболы должны располагаться во второй и четвёртой четвертях координатной плоскости. На рисунке 3 мы видим именно гиперболу, ветви которой лежат во II и IV четвертях. Проверим точку: при $x = 3$, $y = -9/3 = -3$. Точка $(3; -3)$ принадлежит графику на рисунке 3.
Следовательно, А — 3.

Б) $y = \frac{1}{3} x + 1$
Это линейная функция вида $y = kx + b$. Графиком линейной функции является прямая. Коэффициент $b = 1$ указывает на то, что прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$. На рисунке 2 изображена прямая, проходящая через точку $(0; 1)$. Также проверим наклон: при $x = 3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3 + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка $(3; 2)$ соответствует графику на рисунке 2.
Следовательно, Б — 2.

В) $y = - 2 x^{2} - 10 x - 13$
Это квадратичная функция. Графиком квадратичной функции является парабола. Так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный ($a = -2$), ветви параболы направлены вниз. На рисунке 1 изображена парабола с ветвями, направленными вниз. Найдём вершину параболы по формуле $x_{0} = -\frac{b}{2a}$:
$x_{0} = -\frac{-10}{2 \cdot (-2)} = \frac{10}{-4} = -2,5$.
На рисунке 1 вершина параболы действительно находится в точке с абсциссой $-2,5$.
Следовательно, В — 1.

Запишем итоговое соответствие: А — 3, Б — 2, В — 1.

Ответ: 321

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой мощности постоянного тока, которая дана в условии: $P = I^{2} R$.

1. Выпишем известные нам значения из условия задачи:
Мощность $P = 28$ Вт;
Сила тока $I = 2$ А.

2. Нам необходимо найти сопротивление $R$. Для этого выразим $R$ из исходной формулы. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:
$R = \frac{P}{I^{2}}$

3. Подставим числовые значения в полученную формулу:
$R = \frac{28}{2^{2}}$

4. Выполним вычисления. Сначала возведём силу тока в квадрат:
$2^{2} = 2 \cdot 2 = 4$
Теперь разделим значение мощности на полученный результат:
$R = \frac{28}{4} = 7$

Таким образом, сопротивление $R$ равно 7 Ом.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения квадратного неравенства $5x - x^{2} \geq 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём корни соответствующего уравнения:
Приравняем левую часть к нулю: $5x - x^{2} = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(5 - x) = 0$.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x_{1} = 0$ или $5 - x = 0$, откуда $x_{2} = 5$.

2. Определим направление ветвей параболы:
Функция $f(x) = -x^{2} + 5x$ является квадратичной. Коэффициент перед $x^{2}$ равен $-1$. Так как он отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

3. Изобразим решение на координатной прямой:
Отметим точки $0$ и $5$ закрашенными кружками (так как неравенство нестрогое, $\geq$). Парабола, проходящая через эти точки и направленная ветвями вниз, находится выше оси $Ox$ (то есть принимает положительные значения) на промежутке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[0; 5]$.
На предложенных рисунках этому решению соответствует вариант № 2, где штриховка расположена между точками $0$ и $5$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи проанализируем условие. Расстояние, которое проезжает автомобиль каждую секунду, уменьшается на одно и то же число. Это означает, что последовательность расстояний является арифметической прогрессией.

1. Выпишем известные данные:
— Расстояние за первую секунду: $a_1 = 20$ м.
— Разность прогрессии (на сколько уменьшается путь каждую секунду): $d = -4$ м (так как расстояние становится меньше).
— Время движения: $n = 4$ секунды.

2. Нам нужно найти общее расстояние, пройденное за первые 4 секунды. Это сумма первых четырёх членов арифметической прогрессии $S_4$.

3. Сначала найдём расстояние, пройденное за каждую из четырёх секунд по отдельности:
— 1-я секунда: $a_1 = 20$ м.
— 2-я секунда: $a_2 = 20 - 4 = 16$ м.
— 3-я секунда: $a_3 = 16 - 4 = 12$ м.
— 4-я секунда: $a_4 = 12 - 4 = 8$ м.

4. Теперь сложим эти расстояния, чтобы найти общий путь:
$S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$
$S_4 = 20 + 16 + 12 + 8$

5. Выполним сложение:
$20 + 16 = 36$
$36 + 12 = 48$
$48 + 8 = 56$

Также можно было воспользоваться формулой суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$
$S_4 = \frac{2 \cdot 20 + (-4) \cdot (4 - 1)}{2} \cdot 4 = \frac{40 - 12}{2} \cdot 4 = \frac{28}{2} \cdot 4 = 14 \cdot 4 = 56$.

Таким образом, за первые 4 секунды автомобиль прошёл 56 метров.

Ответ: 56

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним определение внешнего угла треугольника. Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой же вершине.

2. На рисунке изображён треугольник $A B C$, сторона $A C$ которого продлена за точку $C$. Образовавшийся при этом угол и является внешним углом при вершине $C$.

3. Так как внутренний угол $C$ (угол $A C B$) и внешний угол при этой вершине являются смежными, их сумма всегда равна $180^\circ$.

4. По условию задачи внутренний угол $C$ равен $151^\circ$. Чтобы найти величину внешнего угла, нужно из $180^\circ$ вычесть величину внутреннего угла:
$180^\circ - 151^\circ = 29^\circ$.

Ответ: 29

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равностороннего (правильного) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник с вписанной в него окружностью.

1. Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника. По условию задачи $a = 14\sqrt{3}$.

2. Вспомним формулу высоты $h$ равностороннего треугольника через его сторону:
$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

3. Подставим значение стороны в формулу высоты:
$h = \frac{14\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, получаем:
$h = \frac{14 \cdot 3}{2} = 7 \cdot 3 = 21$

4. В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Точка пересечения медиан делит каждую медиану (которая также является высотой) в отношении $2:1$, считая от вершины.

5. Радиус вписанной окружности $r$ равен расстоянию от центра до стороны треугольника, то есть составляет ровно $\frac{1}{3}$ часть высоты:
$r = \frac{1}{3}h$

6. Вычислим радиус:
$r = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7$

Ответ: 7

Источник: ФИПИ

Решение.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

1. По условию задачи высота $CH$ делит большее основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что точка $H$ лежит ближе к вершине $D$. Следовательно, меньший отрезок $HD = 3$, а больший отрезок $AH = 8$.

2. Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: если провести две высоты из вершин меньшего основания (пусть это будут $BK$ и $CH$), то они отсекут на большем основании два равных прямоугольных треугольника ($\triangle ABK = \triangle DCH$). Это значит, что отрезки $AK$ и $HD$ будут равны: $AK = HD = 3$.

3. Отрезок $AH$, длина которого нам известна ($AH = 8$), состоит из двух частей: $AK$ и $KH$. То есть:
$AH = AK + KH$.

4. Подставим известные значения:
$8 = 3 + KH$, откуда получаем $KH = 8 - 3 = 5$.

5. Четырёхугольник $KBCH$ является прямоугольником (так как $BC \parallel KH$ и $BK \perp AD$, $CH \perp AD$). У прямоугольника противоположные стороны равны, значит, меньшее основание $BC$ равно отрезку $KH$:
$BC = KH = 5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для нахождения площади треугольника на клетчатой бумаге воспользуемся стандартной геометрической формулой: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ — длина основания треугольника, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

1) Сначала определим длину основания треугольника. На рисунке удобно выбрать горизонтальную сторону, лежащую на линии сетки. Посчитаем количество клеток вдоль этого основания: оно составляет $6$ клеток. Так как размер клетки $1 \times 1$, то основание $a = 6$.

2) Теперь определим высоту треугольника. Высота — это перпендикуляр, опущенный из противоположной вершины на прямую, содержащую основание. Посчитаем по клеткам расстояние от самой верхней точки треугольника до линии основания: оно составляет $5$ клеток. Значит, высота $h = 5$.

3) Подставим найденные значения в формулу площади: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5$.

4) Выполним вычисления: $S = 3 \cdot 5 = 15$.

Таким образом, площадь треугольника равна $15$.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ

Решение. Рассмотрим каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность.

1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Вспомним формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Так как синус любого угла не может быть больше $1$ ($\sin \gamma \le 1$), а коэффициент перед произведением равен $\frac{1}{2}$, то значение площади $S$ всегда будет меньше, чем произведение $a \cdot b$. Даже для прямоугольного треугольника площадь $S = \frac{1}{2} ab$, что явно меньше $ab$.
Утверждение верно.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Согласно теореме о вписанном угле, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Они могут быть равны только в случае, если оба равны $0^\circ$, что невозможно для геометрической фигуры.
Утверждение неверно.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную данной.
Это одно из основных свойств геометрии (аксиома/теорема о перпендикуляре): из любой точки, не лежащей на прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую, и притом только один.
Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ