Вариант 5 · Октябрь 2026

Решение.

Для того чтобы определить, какому числу соответствует точка $A$, проанализируем её положение на числовой прямой.

1. На рисунке мы видим числовую прямую с отмеченными целыми числами $4$, $5$ и $6$. Точка $A$ расположена между числами $4$ и $5$, причём она находится очень близко к числу $4$.

2. Чтобы сравнить точку $A$ с предложенными вариантами (квадратными корнями), представим целые числа $4$ и $5$ в виде квадратных корней:
$4 = \sqrt{16}$
$5 = \sqrt{25}$

3. Таким образом, искомое число должно находиться в промежутке от $\sqrt{16}$ до $\sqrt{25}$. Посмотрим на предложенные варианты:
1) $\sqrt{17}$ — входит в промежуток $(\sqrt{16}; \sqrt{25})$.
2) $\sqrt{22}$ — входит в промежуток $(\sqrt{16}; \sqrt{25})$.
3) $\sqrt{28}$ — не входит (больше $\sqrt{25}$).
4) $\sqrt{32}$ — не входит (больше $\sqrt{25}$).

4. Теперь выберем между $\sqrt{17}$ и $\sqrt{22}$. По рисунку точка $A$ находится в самом начале отрезка $[4; 5]$, то есть она лишь немного больше $4$.
Число $\sqrt{17}$ очень близко к $\sqrt{16} = 4$.
Число $\sqrt{22}$ находится ближе к $\sqrt{25} = 5$.
Следовательно, точке $A$ соответствует число $\sqrt{17}$.

Это соответствует варианту ответа № 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного выражения воспользуемся распределительным свойством умножения: чтобы умножить разность на число, нужно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого результата вычесть второй. То есть $(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$.

1) Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое внутри на $\sqrt{5}$:
$(\sqrt{125} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} = \sqrt{125} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}$

2) Применим свойство корней: произведение корней равно корню из произведения $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$:
$\sqrt{125} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{125 \cdot 5} = \sqrt{625}$

3) Вычислим значения полученных корней:
Извлечем корень из $625$. Мы знаем, что $25^2 = 625$, значит $\sqrt{625} = 25$.
Также вспомним, что корень из числа в квадрате равен самому числу (для положительных чисел): $\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = (\sqrt{5})^2 = 5$.

4) Подставим полученные числа в наше выражение и найдем разность:
$25 - 5 = 20$

Ответ: 20

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения уравнения $x^{2} - 16 = 0$ воспользуемся методом переноса слагаемого или формулой разности квадратов. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Извлечение корня.
1. Перенесём число $-16$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$x^{2} = 16$
2. Чтобы найти $x$, нужно извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Помним, что квадратное уравнение вида $x^{2} = a$ (где $a > 0$) имеет два корня: положительный и отрицательный:
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_{1} = 4$
$x_{2} = -4$

Способ 2: Разложение на множители.
1. Заметим, что $16 = 4^{2}$. Применим формулу разности квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(x - 4)(x + 4) = 0$
2. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю:
$x - 4 = 0$ или $x + 4 = 0$
$x_{1} = 4$
$x_{2} = -4$

Уравнение имеет два корня: $4$ и $-4$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать больший из них.
Сравним полученные числа: $4 > -4$. Следовательно, больший корень равен $4$.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество исходов. По условию задачи, в продажу поступило $100$ фонариков. Значит, общее число возможных исходов $n = 100$.

2. Нам нужно найти вероятность того, что фонарик окажется исправен. Посчитаем количество исправных фонариков. Если из $100$ фонариков $5$ неисправных, то количество исправных фонариков (благоприятных исходов) равно:
$m = 100 - 5 = 95$.

3. Теперь вычислим вероятность $P$ события «выбранный фонарик исправен» по формуле:
$P = \frac{m}{n}$

Подставим наши значения:
$P = \frac{95}{100}$

4. Переведем обыкновенную дробь в десятичную:
$\frac{95}{100} = 0,95$.

Ответ: 0,95

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данной задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$:

1) Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, то ветви направлены вверх. Если $a < 0$, то ветви направлены вниз.
2) Коэффициент $c$ равен значению функции при $x = 0$. Это значит, что $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$. Если парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, то $c > 0$. Если ниже — то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График №1: Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ (в отрицательной области), значит $c < 0$. Это соответствует условию А.

График №2: Ветви параболы направлены вверх, значит $a > 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ (в положительной области), значит $c > 0$. Это соответствует условию Б.

График №3: Ветви параболы направлены вниз, значит $a < 0$. Парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит $c > 0$. Это соответствует условию В.

Сопоставим результаты:
А — 1
Б — 2
В — 3

Ответ: 123

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения задачи воспользуемся предложенной формулой мощности постоянного тока и подставим в неё известные значения.

1. Выпишем формулу: $P = I^{2} R$.
По условию задачи нам известны следующие величины:
Мощность $P = 180$ Вт;
Сила тока $I = 6$ А.

2. Подставим данные значения в формулу:
$180 = 6^{2} \cdot R$.

3. Возведём силу тока в квадрат:
$6^{2} = 6 \cdot 6 = 36$.
Теперь уравнение выглядит так:
$180 = 36 \cdot R$.

4. Чтобы найти неизвестный множитель $R$, нужно произведение разделить на известный множитель:
$R = 180 : 36$.

5. Выполним деление:
$180 : 36 = 5$.
Таким образом, сопротивление $R$ равно 5 Ом.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения квадратного неравенства $x^{2} - 25 < 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения: $x^{2} - 25 = 0$.
Перенесём число $25$ в правую часть: $x^{2} = 25$.
Отсюда получаем два корня: $x_{1} = 5$ и $x_{2} = -5$.

2. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; +\infty)$.
Так как неравенство строгое (знак $<$), сами точки $-5$ и $5$ не входят в решение (на графике они будут "выколотыми").

3. Определим знак выражения $x^{2} - 25$ на каждом интервале:
— На интервале $(5; +\infty)$: возьмём $x = 6$, тогда $6^{2} - 25 = 36 - 25 = 11 > 0$.
— На интервале $(-5; 5)$: возьмём $x = 0$, тогда $0^{2} - 25 = -25 < 0$.
— На интервале $(-\infty; -5)$: возьмём $x = -6$, тогда $(-6)^{2} - 25 = 36 - 25 = 11 > 0$.

4. Нам нужно найти те значения $x$, при которых выражение меньше нуля ($< 0$). Этому условию соответствует средний интервал: $(-5; 5)$.

Данный интервал соответствует варианту ответа № 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся знаниями об арифметической прогрессии, так как количество мест в каждом следующем ряду увеличивается на одно и то же число.

1. Выпишем данные из условия задачи:
— Количество мест в первом ряду: $a_1 = 21$.
— Разность прогрессии (на сколько мест в каждом следующем ряду больше): $d = 2$.
— Номер ряда, количество мест в котором нам нужно найти: $n = 11$.

2. Вспомним формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + d \cdot (n - 1)$

3. Подставим наши значения в формулу, чтобы найти количество мест в одиннадцатом ряду ($a_{11}$):
$a_{11} = 21 + 2 \cdot (11 - 1)$

4. Выполним вычисления по порядку:
— Сначала действие в скобках: $11 - 1 = 10$.
— Затем умножение: $2 \cdot 10 = 20$.
— И, наконец, сложение: $21 + 20 = 41$.

Таким образом, в одиннадцатом ряду амфитеатра 41 место.

Ответ: 41

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним определение внешнего угла треугольника. Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой же вершине.

2. На рисунке изображён треугольник $A B C$. Сторона $A C$ продлена за точку $C$, образуя прямую линию. Внутренний угол треугольника при вершине $C$ (угол $A C B$) и искомый внешний угол являются смежными.

3. По свойству смежных углов, их сумма всегда равна $180^\circ$. Обозначим внутренний угол как $\angle C$, а внешний угол как $\angle C_{ext}$. Тогда:
$\angle C + \angle C_{ext} = 180^\circ$

4. По условию задачи внутренний угол $C$ равен $97^\circ$. Подставим это значение в уравнение:
$97^\circ + \angle C_{ext} = 180^\circ$

5. Чтобы найти величину внешнего угла, вычтем из $180^\circ$ величину известного внутреннего угла:
$\angle C_{ext} = 180^\circ - 97^\circ$

6. Выполним вычитание:
$180 - 97 = 83$

Таким образом, внешний угол при вершине $C$ равен $83^\circ$.

Ответ: 83

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника и формулой связи его стороны с радиусом описанной окружности.

1. Вспомним формулу.
Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

2. Подставим данные из условия.
По условию сторона треугольника $a = 4\sqrt{3}$. Подставим это значение в формулу:
$R = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

3. Выполним сокращение.
В числителе и знаменателе дроби есть множитель $\sqrt{3}$. Сократим на него:
$R = 4$

Альтернативный способ (через теорему синусов):
По теореме синусов отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности ($2R$). В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$.
$2R = \frac{a}{\sin 60^{\circ}}$
$2R = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$2R = 4\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$
$2R = 8$
$R = 4$

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение. Рассмотрим свойства параллелограмма, которые помогут нам решить эту задачу.

1. В параллелограмме противоположные углы равны, а углы, прилежащие к одной стороне, в сумме составляют $180^\circ$. Это происходит потому, что такие углы являются односторонними при параллельных прямых (сторонах параллелограмма) и секущей.

2. По условию задачи один из углов равен $102^\circ$. Так как этот угол больше $90^\circ$, он является тупым.

3. Чтобы найти второй угол (соседний с данным), нужно из $180^\circ$ вычесть известный угол:
$180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.

4. Таким образом, углы параллелограмма попарно равны $102^\circ$ и $78^\circ$. Сравнивая эти значения, мы видим, что меньшим углом является $78^\circ$.

Ответ: 78

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи нам необходимо вспомнить определение диагонали ромба и воспользоваться тем, что фигура изображена на клетчатой бумаге.

1. Диагональ ромба — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины. У ромба две диагонали, и на данном рисунке они расположены горизонтально и вертикально вдоль линий сетки.

2. Найдём длину горизонтальной диагонали. Для этого посчитаем количество клеток между крайней левой и крайней правой вершинами ромба. Считая по узлам сетки, получаем $6$ клеток.

3. Найдём длину вертикальной диагонали. Посчитаем количество клеток между верхней и нижней вершинами ромба. Получаем $2$ клетки.

4. Сравним полученные значения: $6 > 2$. Следовательно, большая диагональ равна $6$.

Так как размер клетки составляет $1 \times 1$, то длина диагонали в единицах измерения будет равна количеству клеток.

Ответ: 6

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) «Все углы ромба равны».
Это утверждение неверно. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Однако его углы равны только попарно (противолежащие). Если бы у ромба все углы были равны, они составляли бы по $90^\circ$, и такой ромб назывался бы квадратом. Но в общем случае углы ромба могут быть различными (например, $60^\circ$ и $120^\circ$).

2) «Любой прямоугольник можно вписать в окружность».
Это утверждение верно. Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. У прямоугольника все углы прямые ($90^\circ$), поэтому сумма любых двух противоположных углов равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, любой прямоугольник всегда можно вписать в окружность.

3) «Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника».
Это утверждение неверно. Диагональ делит трапецию на два треугольника, у которых общая только одна сторона (сама диагональ). Основания трапеции имеют разную длину, поэтому треугольники не могут быть равными. Равными треугольниками диагональ делит только параллелограмм.

Таким образом, истинным является только второе утверждение.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ