Вариант 6 · Октябрь 2026

Решение.

Чтобы определить, какое из данных чисел принадлежит отрезку $[7; 8]$, нам нужно перевести каждое число из вида неправильной дроби в смешанное число (выделить целую часть).

1) Рассмотрим первое число $\frac{58}{9}$.
Разделим $58$ на $9$ с остатком: $58 = 6 \cdot 9 + 4$.
Значит, $\frac{58}{9} = 6\frac{4}{9}$.
Это число меньше $7$, так как его целая часть равна $6$. Оно не входит в отрезок $[7; 8]$.

2) Рассмотрим второе число $\frac{62}{9}$.
Разделим $62$ на $9$ с остатком: $62 = 6 \cdot 9 + 8$.
Значит, $\frac{62}{9} = 6\frac{8}{9}$.
Это число также меньше $7$ и не входит в отрезок $[7; 8]$.

3) Рассмотрим третье число $\frac{70}{9}$.
Разделим $70 на 9$ с остатком: $70 = 7 \cdot 9 + 7$.
Значит, $\frac{70}{9} = 7\frac{7}{9}$.
Число $7\frac{7}{9}$ больше $7$, но меньше $8$. Следовательно, оно принадлежит отрезку $[7; 8]$.

4) Рассмотрим четвёртое число $\frac{79}{9}$.
Разделим $79$ на $9$ с остатком: $79 = 8 \cdot 9 + 7$.
Значит, $\frac{79}{9} = 8\frac{7}{9}$.
Это число больше $8$, поэтому оно не входит в отрезок $[7; 8]$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяет число под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного задания воспользуемся основными свойствами степеней. Нам необходимо упростить выражение перед тем, как подставлять значение переменной.

1) Сначала преобразуем числитель дроби: $(a^{3})^{4}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются. Воспользуемся формулой $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$:
$(a^{3})^{4} = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$.

2) Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{a^{12}}{a^{9}}$. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются. Воспользуемся формулой $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}$:
$\frac{a^{12}}{a^{9}} = a^{12 - 9} = a^{3}$.

3) Подставим в полученное упрощённое выражение значение $a = 3$:
$a^{3} = 3^{3}$.

4) Вычислим значение степени:
$3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Ответ: 27

Источник: ФИПИ

Решение.

Данное уравнение $x^{2} - 10x + 21 = 0$ является полным квадратным уравнением вида $ax^{2} + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:
$a = 1$, $b = -10$, $c = 21$.

Шаг 1. Найдём дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 21$
$D = 100 - 84$
$D = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Извлечём корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.

Шаг 2. Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
Первый корень ($x_{1}$):
$x_{1} = \frac{-(-10) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Второй корень ($x_{2}$):
$x_{2} = \frac{-(-10) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Шаг 3. Выбор ответа.
По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать больший из них. Сравним полученные числа: $7 > 3$. Следовательно, искомый корень равен $7$.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала найдём общее количество синих и чёрных ручек вместе. Для этого из общего количества ручек вычтем известные нам красные, зелёные и фиолетовые:
$272 - (11 + 37 + 26) = 272 - 74 = 198$.

2) По условию задачи синих и чёрных ручек поровну. Найдём количество синих ручек, разделив полученный результат на 2:
$198 : 2 = 99$.

3) Нам нужно найти вероятность того, что выбранная ручка будет зелёной или синей. Найдём общее количество таких ручек (благоприятные исходы):
$37 \text{ (зелёных)} + 99 \text{ (синих)} = 136$.

4) Теперь вычислим вероятность, разделив количество благоприятных ручек на общее количество ручек в магазине:
$P = \frac{136}{272}$.

5) Заметим, что $272$ ровно в два раза больше, чем $136$. Сократим дробь на $136$:
$\frac{136}{272} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: 0,5

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи вспомним, за что отвечают коэффициенты $a$ и $c$ в уравнении квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$:

1) Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, то ветви направлены вверх. Если $a < 0$, то ветви направлены вниз.
2) Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$. То есть это значение $y$ в точке, где график пересекает вертикальную ось. Если точка пересечения лежит выше оси $Ox$, то $c > 0$, если ниже — то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График №1: Ветви направлены вниз, значит $a < 0$. График пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$ (в положительной области), значит $c > 0$. Это соответствует условию В.

График №2: Ветви направлены вверх, значит $a > 0$. График пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит $c > 0$. Это соответствует условию Б.

График №3: Ветви направлены вверх, значит $a > 0$. График пересекает ось $Oy$ ниже оси $Ox$ (в отрицательной области), значит $c < 0$. Это соответствует условию А.

Сопоставим буквы и цифры:
А — 3
Б — 2
В — 1

Ответ: 321

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой кинетической энергии, приведённой на рисунке:
$E_k = \frac{mv^2}{2}$,
где $m$ — масса тела в килограммах, а $v$ — скорость тела в метрах в секунду.

Выпишем известные нам значения из условия задачи:
1) Масса автомобиля $m = 2400$ кг.
2) Кинетическая энергия $E_k = 270$ тысяч джоулей. Переведём это число в обычный вид: $E_k = 270\,000$ Дж.
3) Нам необходимо найти скорость $v$.

Подставим известные величины в формулу:
$270\,000 = \frac{2400 \cdot v^2}{2}$

Выполним деление в правой части уравнения:
$2400 : 2 = 1200$.
Получаем уравнение:
$270\,000 = 1200 \cdot v^2$

Чтобы найти $v^2$, разделим обе части уравнения на $1200$:
$v^2 = \frac{270\,000}{1200}$
Сократим дробь на $100$ (уберём по два нуля в числителе и знаменателе):
$v^2 = \frac{2700}{12}$
Разделим $2700$ на $12$:
$2700 : 12 = 225$.
Значит, $v^2 = 225$.

Теперь найдём скорость $v$, извлекая квадратный корень из $225$:
$v = \sqrt{225}$
$v = 15$ (так как скорость не может быть отрицательной, берём только положительное значение).

Таким образом, скорость автомобиля равна $15$ м/с.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ

Решение.

Проанализируем рисунок. На координатной прямой отмечен интервал между числами $-6$ и $6$. Точки выколоты, что соответствует строгому знаку неравенства. Штриховка находится внутри этого промежутка, то есть решением является множество $x \in (-6; 6)$.

Рассмотрим предложенные варианты неравенств:

1) $x^{2} - 36 > 0$.
Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(x - 6)(x + 6) > 0$.
Корни уравнения $x^{2} - 36 = 0$ — это $x = 6$ и $x = -6$.
Графиком функции $y = x^{2} - 36$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше нуля (положительны) на промежутках «по бокам» от корней: $(-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$. Это не совпадает с рисунком.

2) $x^{2} + 36 > 0$.
Выражение $x^{2}$ всегда неотрицательно ($\ge 0$), поэтому сумма $x^{2} + 36$ всегда больше или равна $36$. Следовательно, это неравенство верно при любом значении $x$. Решение: $(-\infty; +\infty)$. Это не совпадает с рисунком.

3) $x^{2} - 36 < 0$.
Аналогично первому пункту, разложим на множители: $(x - 6)(x + 6) < 0$.
Парабола $y = x^{2} - 36$ принимает отрицательные значения (лежит ниже оси $Ox$) на промежутке между своими корнями. Таким образом, решением является интервал $(-6; 6)$. Это в точности соответствует рисунку.

4) $x^{2} + 36 < 0$.
Как мы уже выяснили, $x^{2} + 36$ всегда не меньше $36$. Оно никогда не может быть меньше нуля. Данное неравенство не имеет решений. Это не совпадает с рисунком.

Таким образом, рисунку соответствует неравенство под номером 3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием геометрической прогрессии, так как масса изотопа уменьшается в одно и то же количество раз за равные промежутки времени.

1. Сначала определим, сколько раз произойдёт уменьшение массы (количество периодов полураспада). Общее время составляет $48$ минут, а масса уменьшается каждые $8$ минут. Разделим общее время на длительность одного периода:
$n = 48 : 8 = 6$.
Значит, масса изотопа будет уменьшаться вдвое $6$ раз.

2. Обозначим начальную массу как $b_1 = 320$ мг. Поскольку масса уменьшается вдвое, знаменатель геометрической прогрессии равен $q = \frac{1}{2}$ (или $0,5$).

3. Нам нужно найти массу после $6$ циклов уменьшения. Составим цепочку вычислений или воспользуемся формулой $n$-го члена.
Заметим, что через 1 период (8 мин) масса станет: $320 : 2 = 160$;
через 2 периода (16 мин): $160 : 2 = 80$;
через 3 периода (24 мин): $80 : 2 = 40$;
через 4 периода (32 мин): $40 : 2 = 20$;
через 5 периодов (40 мин): $20 : 2 = 10$;
через 6 периодов (48 мин): $10 : 2 = 5$.

4. Также это можно рассчитать по формуле: $m = m_0 \cdot (\frac{1}{2})^n$, где $m_0$ — начальная масса, а $n$ — количество периодов.
$m = 320 \cdot (\frac{1}{2})^6 = 320 \cdot \frac{1}{64} = \frac{320}{64} = 5$.

Таким образом, через 48 минут масса изотопа составит 5 мг.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию задачи стороны $A B$ и $B C$ равны ($A B = B C$). Это означает, что треугольник $A B C$ является равнобедренным с основанием $A C$.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle B A C = \angle B C A$.

3. Вспомним важное свойство любого треугольника: сумма всех его внутренних углов всегда равна $180^{\circ}$. Для нашего треугольника это записывается так:
$\angle A B C + \angle B A C + \angle B C A = 180^{\circ}$.

4. Нам известен угол при вершине: $\angle A B C = 146^{\circ}$. Подставим это значение в уравнение и учтём, что углы при основании равны:
$146^{\circ} + 2 \cdot \angle B C A = 180^{\circ}$.

5. Теперь найдём сумму двух углов при основании:
$2 \cdot \angle B C A = 180^{\circ} - 146^{\circ}$,
$2 \cdot \angle B C A = 34^{\circ}$.

6. Чтобы найти величину одного угла $\angle B C A$, разделим полученный результат на 2:
$\angle B C A = 34^{\circ} : 2$,
$\angle B C A = 17^{\circ}$.

Ответ: 17

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного (равностороннего) треугольника. На рисунке изображён равносторонний треугольник, вписанный в окружность.

1. Пусть $a$ — сторона равностороннего треугольника, а $R$ — радиус описанной около него окружности. По условию задачи сторона треугольника $a = 20\sqrt{3}$.

2. Существует стандартная формула, связывающая сторону правильного треугольника и радиус описанной окружности:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

3. Подставим известное значение стороны $a$ в эту формулу:
$R = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

4. Сократим дробь на $\sqrt{3}$:
$R = 20$

Замечание для понимания: Эту же формулу можно вывести через теорему синусов. Для любого треугольника $\frac{a}{\sin A} = 2R$. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$, значит:
$2R = \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Отсюда $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$, что подтверждает наш расчёт.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ

Решение.

1) По условию задачи трапеция $A B C D$ является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Следовательно, угол при основании $A D$ равен углу при основании $D$:
$\angle B A D = \angle D = 62^{\circ}$.

2) Так как луч $A C$ является биссектрисой угла $B A D$, он делит этот угол на две равные части. Найдём величину угла $C A D$:
$\angle C A D = \frac{1}{2} \cdot \angle B A D = \frac{62^{\circ}}{2} = 31^{\circ}$.

3) Рассмотрим треугольник $A C D$. Нам известны два его угла: $\angle D = 62^{\circ}$ и $\angle C A D = 31^{\circ}$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$.

4) Найдём искомый угол $A C D$, вычтя из $180^{\circ}$ суммы двух известных углов треугольника:
$\angle A C D = 180^{\circ} - (\angle C A D + \angle D)$
$\angle A C D = 180^{\circ} - (31^{\circ} + 62^{\circ}) = 180^{\circ} - 93^{\circ} = 87^{\circ}$.

Ответ: 87

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся определением и свойствами средней линии треугольника.

1. Вспомним теорему: Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника и равна её половине.

2. В условии задачи сказано, что нам нужно найти длину средней линии, параллельной стороне $AC$. Согласно свойству, длина этой средней линии (обозначим её $m$) вычисляется по формуле:
$m = \frac{1}{2} \cdot AC$

3. Определим длину стороны $AC$: Посмотрим на рисунок. Сторона $AC$ расположена горизонтально вдоль линий сетки. Посчитаем количество клеток, которое она занимает. Мы видим, что отрезок $AC$ равен $4$ клеткам.

4. Так как размер клетки составляет $1 \times 1$, длина стороны $AC = 4$.

5. Вычислим длину средней линии:
$m = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, длина средней линии треугольника $ABC$, параллельной стороне $AC$, равна $2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, опираясь на геометрические правила и определения.

1) «Все диаметры окружности равны между собой».
По определению, диаметр окружности — это хорда, проходящая через её центр. Длина любого диаметра равна двум радиусам ($d = 2r$). Так как в одной окружности все радиусы равны, то и все диаметры также будут равны между собой.
Утверждение верно.

2) «Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу».
Согласно теореме о вписанном угле, величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Например, если центральный угол равен $60^\circ$, то вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, будет равен $30^\circ$. Они не равны между собой (за исключением случая, когда оба равны $0^\circ$, что не рассматривается в геометрии).
Утверждение неверно.

3) «Любые два равносторонних треугольника подобны».
В равностороннем треугольнике все стороны равны, а все углы всегда равны $60^\circ$. У любых двух равносторонних треугольников соответствующие углы будут равны (все по $60^\circ$). По первому признаку подобия треугольников (по двум углам), такие треугольники всегда подобны.
Утверждение верно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1 и 3.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ