Вариант 7 · Октябрь 2026

Решение.

Чтобы определить, между какими целыми числами находится обыкновенная дробь $\frac{140}{17}$, необходимо выделить из неё целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком.

1. Выполним деление в столбик или подберем ближайшее целое число.
Попробуем умножить 17 на разные числа:
$17 \cdot 7 = 119$
$17 \cdot 8 = 136$
$17 \cdot 9 = 153$

2. Мы видим, что число 140 больше, чем $136$, но меньше, чем $153$.
Следовательно, число 17 помещается в 140 ровно 8 раз.
Вычислим остаток: $140 - 136 = 4$.

3. Таким образом, дробь можно представить в виде смешанного числа:
$\frac{140}{17} = 8\frac{4}{17}$

4. Так как $8\frac{4}{17}$ больше 8, но меньше 9, данное число заключено между целыми числами 8 и 9.

Этот вариант соответствует номеру 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного примера воспользуемся основными свойствами степеней с одинаковыми основаниями.

Шаг 1. Сначала упростим числитель дроби: $2^{-3} \cdot 2^{19}$.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Получаем: $2^{-3} \cdot 2^{19} = 2^{-3 + 19} = 2^{16}$.

Шаг 2. Теперь подставим полученный результат в исходную дробь: $\frac{2^{16}}{2^{13}}$.
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Получаем: $2^{16} : 2^{13} = 2^{16 - 13} = 2^3$.

Шаг 3. Вычислим значение полученной степени.
$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Ответ: 8

Источник: ФИПИ

Решение.

Данное уравнение $x^{2} - 9x + 18 = 0$ является полным квадратным уравнением вида $ax^{2} + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:
$a = 1$, $b = -9$, $c = 18$.

Шаг 1. Найдём дискриминант.
Воспользуемся формулой дискриминанта: $D = b^{2} - 4ac$.
Подставим значения коэффициентов:
$D = (-9)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

Шаг 2. Найдём корни уравнения.
Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
Вычислим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.
Теперь найдём значения $x$:
$x_{1} = \frac{-(-9) + 3}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$;
$x_{2} = \frac{-(-9) - 3}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Шаг 3. Выбор ответа.
По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ необходимо записать меньший из них.
Сравним полученные корни: $3 < 6$. Следовательно, меньший корень равен $3$.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала найдём общее количество маркеров в лотке. Для этого сложим количество чёрных и синих маркеров:
$28 + 12 = 40$ (маркеров).

2. Событие, вероятность которого нужно найти: «выбранный маркер окажется синим». Количество благоприятных исходов равно количеству синих маркеров в лотке, то есть $12$.

3. Вычислим вероятность $P$, разделив число синих маркеров на общее число маркеров:
$P = \frac{12}{40}$

4. Сократим полученную дробь на $4$:
$\frac{12}{40} = \frac{3}{10}$

5. Запишем результат в виде десятичной дроби:
$\frac{3}{10} = 0,3$

Ответ: 0,3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы установить соответствие между графиками и формулами, проанализируем вид каждой функции и характерные особенности её графика.

1) Анализ формул:

• Формула №1: $y = - \frac{1}{2} x$. Это линейная функция вида $y = kx$. Графиком является прямая, проходящая через начало координат $(0; 0)$. Так как коэффициент $k = - \frac{1}{2}$ отрицательный, прямая убывает и проходит через II и IV четверти. Этому описанию соответствует график В.


• Формула №2: $y = - x^{2} - 2$. Это квадратичная функция. Графиком является парабола. Так как коэффициент при $x^{2}$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз. Свободный член $-2$ указывает на то, что вершина параболы смещена вниз по оси $Oy$ на 2 единицы. Этому описанию соответствует график Б.


• Формула №3: $y = \sqrt{x}$. Это функция квадратного корня. Она определена только для $x \ge 0$. График представляет собой ветвь параболы, лежащую в I четверти и выходящую из начала координат. Этому описанию соответствует график А.

2) Сопоставление:

График А — формула №3 (функция корня).
График Б — формула №2 (парабола ветвями вниз).
График В — формула №1 (прямая линия).

Таким образом, искомая последовательность цифр: 3, 2, 1.

Ответ: 321

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения задачи воспользуемся предложенной формулой и методом подстановки известных величин.

1. Выпишем формулу, данную в условии: $a = \omega^{2} R$.
Здесь $a$ — центростремительное ускорение, $\omega$ — угловая скорость, $R$ — радиус окружности.

2. Из условия нам известны следующие значения:
Угловая скорость $\omega = 5$ $с^{-1}$;
Центростремительное ускорение $a = 35$ $м/с^{2}$.

3. Подставим эти значения в исходную формулу:
$35 = 5^{2} \cdot R$

4. Выполним возведение в квадрат в правой части уравнения:
$5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$.
Получаем уравнение: $35 = 25 \cdot R$.

5. Чтобы найти радиус $R$, нужно разделить значение ускорения на квадрат угловой скорости:
$R = \frac{35}{25}$

6. Сократим дробь на $5$:
$R = \frac{7}{5}$

7. Переведем обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно умножить и числитель, и знаменатель на $2$:
$R = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{14}{10} = 1,4$.

Таким образом, радиус окружности равен $1,4$ метра.

Ответ: 1,4

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы найти решение системы неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных промежутков.

1) Решим первое неравенство системы: $x + 0,6 \le 0$.
Перенесём число $0,6$ в правую часть уравнения, сменив его знак на противоположный:
$x \le -0,6$.

2) Решим второе неравенство системы: $x - 1 \ge -4$.
Перенесём число $-1$ в правую часть уравнения со знаком «плюс»:
$x \ge -4 + 1$
$x \ge -3$.

3) Теперь объединим полученные результаты в систему:
$\begin{cases} x \le -0,6 \\ x \ge -3 \end{cases}$

Это означает, что значение $x$ должно быть одновременно больше или равно $-3$ и меньше или равно $-0,6$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$-3 \le x \le -0,6$.

Данному промежутку соответствует запись: $[-3; -0,6]$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Мы видим, что наш ответ совпадает с вариантом под номером 4.

Ответ: 4

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся знаниями об арифметической прогрессии, так как количество мест в каждом следующем ряду увеличивается на одно и то же число.

1. Выпишем известные данные:
Количество рядов (количество членов прогрессии): $n = 12$.
Количество мест в первом ряду (первый член прогрессии): $a_1 = 15$.
Разность прогрессии (на сколько мест больше в каждом следующем ряду): $d = 3$.

2. Нам нужно найти общее количество мест в амфитеатре, то есть сумму первых 12 членов арифметической прогрессии $S_{12}$.

3. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

4. Подставим наши значения в формулу:
$S_{12} = \frac{2 \cdot 15 + 3 \cdot (12 - 1)}{2} \cdot 12$

5. Выполним вычисления по шагам:
Сначала найдем значение в скобках: $12 - 1 = 11$.
Затем выполним умножение: $2 \cdot 15 = 30$ и $3 \cdot 11 = 33$.
Сложим полученные результаты: $30 + 33 = 63$.
Теперь формула выглядит так: $S_{12} = \frac{63}{2} \cdot 12$.
Сократим $12$ и $2$ на $2$, получим: $S_{12} = 63 \cdot 6$.
Вычислим итоговое произведение: $63 \cdot 6 = 378$.

Таким образом, всего в амфитеатре 378 мест.

Ответ: 378

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $A B C$. По условию задачи $B H$ является высотой, проведённой к стороне $A C$. Это означает, что отрезок $B H$ перпендикулярен прямой $A C$, следовательно, угол $A H B$ равен $90^\circ$.

2. Рассмотрим треугольник $A B H$. Так как $\angle A H B = 90^\circ$, данный треугольник является прямоугольным.

3. В любом треугольнике сумма всех внутренних углов равна $180^\circ$. Для треугольника $A B H$ это записывается так:
$\angle B A H + \angle A H B + \angle A B H = 180^\circ$.

4. Нам известно, что $\angle B A C = 64^\circ$. Угол $\angle B A H$ — это тот же самый угол, так как точка $H$ лежит на стороне $A C$. Значит, $\angle B A H = 64^\circ$.

5. Подставим известные значения в уравнение суммы углов:
$64^\circ + 90^\circ + \angle A B H = 180^\circ$.

6. Вычислим искомый угол $\angle A B H$:
$154^\circ + \angle A B H = 180^\circ$;
$\angle A B H = 180^\circ - 154^\circ$;
$\angle A B H = 26^\circ$.

Ответ: 26

Источник: ФИПИ

Решение.

1. На рисунке изображён квадрат, вписанный в окружность. По свойству описанной около квадрата окружности, её центр совпадает с точкой пересечения диагоналей квадрата, а диаметр этой окружности равен диагонали квадрата.

2. Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — его диагональ. По условию задачи сторона квадрата $a = 24 \sqrt{2}$.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами квадрата и его диагональю. По теореме Пифагора:
$d^2 = a^2 + a^2$
$d^2 = 2a^2$
$d = a\sqrt{2}$

4. Подставим известное значение стороны $a$ в формулу диагонали:
$d = 24\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$
$d = 24 \cdot 2$
$d = 48$

5. Радиус $R$ описанной окружности равен половине диаметра (или половине диагонали квадрата):
$R = \frac{d}{2}$
$R = \frac{48}{2}$
$R = 24$

Ответ: 24

Источник: ФИПИ

Решение.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, где $BC$ — меньшее основание, $AD$ — большее основание. Проведём высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$.

1) По условию задачи высота $CH$ делит большее основание $AD$ на два отрезка. На рисунке видно, что точка $H$ лежит ближе к вершине $D$. Следовательно, меньший отрезок $HD = 3$, а больший отрезок $AH = 5$.

2) Вспомним важное свойство равнобедренной трапеции: если провести две высоты из вершин меньшего основания (пусть это будут $BK$ и $CH$), то они отсекут от большего основания два равных прямоугольных треугольника ($\triangle ABK = \triangle DCH$). Это значит, что отрезки, прилежащие к углам при основании, равны: $AK = HD = 3$.

3) Отрезок $KH$, лежащий между основаниями высот, равен меньшему основанию трапеции, так как $KBCH$ — прямоугольник. То есть $BC = KH$.

4) Мы знаем, что весь отрезок $AH$ состоит из суммы отрезков $AK$ и $KH$:
$AH = AK + KH$

5) Подставим известные значения в это уравнение:
$5 = 3 + KH$

6) Отсюда находим длину отрезка $KH$:
$KH = 5 - 3 = 2$

7) Так как $BC = KH$, то меньшее основание трапеции равно $2$.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ

Решение. Для нахождения площади параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге, воспользуемся стандартной геометрической формулой.

1. Вспомним формулу площади параллелограмма: $S = a \cdot h$, где $a$ — длина основания параллелограмма, а $h$ — высота, проведённая к этому основанию.

2. Выберем в качестве основания нижнюю горизонтальную сторону параллелограмма. Посчитаем её длину по клеткам. Мы видим, что основание занимает ровно $4$ клетки. Так как размер клетки $1 \times 1$, то длина основания $a = 4$.

3. Теперь проведём высоту к этому основанию (или к прямой, содержащей это основание). Высота — это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхней стороны на нижнюю сторону. Посчитаем количество клеток по вертикали между верхней и нижней сторонами параллелограмма. Высота $h$ составляет $3$ клетки, значит, $h = 3$.

4. Подставим найденные значения в формулу:
$S = 4 \cdot 3 = 12$.

Таким образом, площадь параллелограмма равна $12$.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.
Это утверждение неверно. Согласно теореме о вписанном угле, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. То есть вписанный угол в два раза меньше центрального.

2) Любой квадрат является прямоугольником.
Это утверждение верно. По определению, прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые. У квадрата все углы также равны $90^\circ$, следовательно, он обладает всеми свойствами прямоугольника и является его частным случаем.

3) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его высотой.
Это утверждение неверно. В равнобедренном треугольнике только та биссектриса, которая проведена к основанию, является медианой и высотой. Биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, в общем случае высотами не являются (это верно только для равностороннего треугольника).

Таким образом, истинным является только второе утверждение.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ