Вариант 8 · Октябрь 2026

Решение.

Для того чтобы определить, какому числу соответствует точка $A$, проанализируем её положение на числовой прямой.

1. На рисунке мы видим числовую прямую с отмеченными целыми числами $4$, $5$ и $6$. Точка $A$ расположена между числами $4$ и $5$, причём она находится очень близко к числу $4$.

2. Чтобы сравнить точку $A$ с предложенными вариантами (квадратными корнями), представим целые числа $4$ и $5$ в виде квадратных корней:
$4 = \sqrt{16}$
$5 = \sqrt{25}$

3. Таким образом, искомое число должно находиться в промежутке от $\sqrt{16}$ до $\sqrt{25}$. Посмотрим на предложенные варианты:
1) $\sqrt{17}$ — входит в промежуток $(\sqrt{16}; \sqrt{25})$.
2) $\sqrt{22}$ — входит в промежуток $(\sqrt{16}; \sqrt{25})$.
3) $\sqrt{28}$ — не входит (больше $\sqrt{25}$).
4) $\sqrt{32}$ — не входит (больше $\sqrt{25}$).

4. Теперь выберем между $\sqrt{17}$ и $\sqrt{22}$. По рисунку точка $A$ находится в самом начале отрезка $[4; 5]$, то есть она лишь немного больше $4$.
Число $\sqrt{17}$ очень близко к $\sqrt{16} = 4$.
Число $\sqrt{22}$ находится ближе к $\sqrt{25} = 5$.
Следовательно, точке $A$ соответствует число $\sqrt{17}$.

Это соответствует варианту ответа № 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение. Для решения данного примера воспользуемся основными свойствами степеней с одинаковыми основаниями.

1) Сначала выполним умножение в числителе. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели складываются: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$.
В нашем случае: $3^{-5} \cdot 3^{15} = 3^{-5 + 15} = 3^{10}$.

2) Теперь наше выражение приняло вид: $\frac{3^{10}}{3^{7}}$.
Черта дроби означает деление. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}$.
Получаем: $\frac{3^{10}}{3^{7}} = 3^{10 - 7} = 3^{3}$.

3) Возведём число $3$ в третью степень (куб):
$3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.

Ответ: 27

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения данного квадратного уравнения воспользуемся методом разложения на множители.

Шаг 1. Перенос всех слагаемых в одну часть.
Перенесём $9x$ из правой части уравнения в левую с противоположным знаком, чтобы справа остался ноль:
$3x^{2} - 9x = 0$

Шаг 2. Вынесение общего множителя за скобки.
Заметим, что оба слагаемых делятся на $3$ и на $x$. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(x - 3) = 0$

Шаг 3. Решение полученного уравнения.
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $3x = 0$, откуда $x = 0$.
2) $x - 3 = 0$, откуда $x = 3$.

Шаг 4. Выбор ответа.
Уравнение имеет два корня: $0$ и $3$. По условию задачи, если уравнение имеет более одного корня, в ответ нужно записать меньший из них. Сравним корни:
$0 < 3$, следовательно, меньший корень — это $0$.

Ответ: 0

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1. Сначала определим общее количество возможных исходов. По условию задачи в фирме свободно всего $15$ машин. Значит, к заказчику может приехать любая из этих $15$ машин.
$n = 15$

2. Теперь определим количество благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором приедет именно жёлтое такси. В условии сказано, что свободных жёлтых машин $6$.
$m = 6$

3. Вычислим вероятность $P$, разделив число благоприятных исходов на общее число машин:
$P = \frac{m}{n} = \frac{6}{15}$

4. Сократим полученную дробь на $3$:
$\frac{6}{15} = \frac{6 : 3}{15 : 3} = \frac{2}{5}$

5. Переведём обыкновенную дробь в десятичную. Для этого можно умножить и числитель, и знаменатель на $2$:
$\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} = 0,4$

Ответ: 0,4

Источник: ФИПИ

Решение.

Все представленные графики являются прямыми, которые задаются формулой линейной функции $y = kx + b$. Для решения задачи проанализируем коэффициенты $k$ и $b$:
1) Коэффициент $k$ отвечает за наклон прямой: если $k > 0$, функция возрастает (идёт «вверх» слева направо); если $k < 0$, функция убывает (идёт «вниз»).
2) Коэффициент $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$. То есть прямая пересекает вертикальную ось в точке $(0; b)$.

Разберём каждую формулу:
1) $y = \frac{2}{5} x + 2$: здесь $k = \frac{2}{5} > 0$ (прямая возрастает) и $b = 2$ (пересекает ось $Oy$ в точке $2$). Это соответствует графику А.
2) $y = \frac{2}{5} x - 2$: здесь $k = \frac{2}{5} > 0$ (прямая возрастает) и $b = -2$ (пересекает ось $Oy$ в точке $-2$). Это соответствует графику Б.
3) $y = - \frac{2}{5} x + 2$: здесь $k = -\frac{2}{5} < 0$ (прямая убывает) и $b = 2$ (пересекает ось $Oy$ в точке $2$). Это соответствует графику В.

Таким образом, устанавливаем соответствие:
А — 1
Б — 2
В — 3

Ответ: 123

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся формулой силы Архимеда, которая дана в условии: $F = \rho g V$.

1. Выпишем значения всех величин, известных из условия задачи:
Плотность воды: $\rho = 1000$ $кг/м^3$;
Ускорение свободного падения: $g = 9,8$ $м/с^2$;
Объём тела: $V = 0,05$ $м^3$.

2. Подставим данные значения в формулу:
$F = 1000 \cdot 9,8 \cdot 0,05$

3. Выполним вычисления по шагам. Сначала умножим плотность на ускорение свободного падения:
$1000 \cdot 9,8 = 9800$

4. Теперь умножим полученный результат на объём тела:
$9800 \cdot 0,05$

Для удобства вычисления можно представить $0,05$ как $\frac{5}{100}$:
$9800 \cdot \frac{5}{100} = 98 \cdot 5$

5. Найдём конечное значение силы:
$98 \cdot 5 = 490$

Таким образом, сила Архимеда равна $490$ ньютонам.

Ответ: 490

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения неравенства $81 x^{2} > 64$ воспользуемся методом интервалов или разложением на множители.

1. Перенесём все слагаемые в левую часть неравенства:
$81 x^{2} - 64 > 0$.

2. Заметим, что в левой части находится разность квадратов, так как $81 x^{2} = (9x)^{2}$ и $64 = 8^{2}$. Применим формулу $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$:
$(9x - 8)(9x + 8) > 0$.

3. Найдём корни соответствующего уравнения $(9x - 8)(9x + 8) = 0$:
$9x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{9}$;
$9x + 8 = 0 \Rightarrow x = -\frac{8}{9}$.

4. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут «выколотыми» (пустыми внутри). Эти точки разделяют прямую на три интервала:
— от $-\infty$ до $-\frac{8}{9}$;
— от $-\frac{8}{9}$ до $\frac{8}{9}$;
— от $\frac{8}{9}$ до $+\infty$.

5. Определим знаки выражения $f(x) = 81 x^{2} - 64$ на каждом интервале. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^{2}$ равен $81 > 0$). Значит, функция принимает положительные значения на крайних промежутках и отрицательные — на среднем.
Нам нужно решение неравенства $> 0$, следовательно, подходят промежутки:
$x < -\frac{8}{9}$ и $x > \frac{8}{9}$.

6. На рисунках это соответствует заштрихованным областям слева от $-\frac{8}{9}$ и справа от $\frac{8}{9}$. Данная геометрическая интерпретация представлена на рисунке под номером 1.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

По условию задачи количество мест в рядах амфитеатра увеличивается на одно и то же число. Это означает, что количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию.

Обозначим через $a_n$ количество мест в $n$-м ряду, а через $d$ — разность этой прогрессии (то есть число, на которое увеличивается количество мест в каждом следующем ряду).

Нам известны данные для третьего и седьмого рядов:
$a_3 = 26$
$a_7 = 38$

1) Воспользуемся формулой $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$.
Запишем выражения для известных нам членов:
$a_3 = a_1 + 2d = 26$
$a_7 = a_1 + 6d = 38$

2) Чтобы найти разность $d$, вычтем из второго уравнения первое:
$(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 38 - 26$
$4d = 12$
$d = 12 : 4$
$d = 3$
Значит, в каждом следующем ряду на 3 места больше, чем в предыдущем.

3) Теперь найдем количество мест в первом ряду ($a_1$), подставив значение $d$ в уравнение для $a_3$:
$a_1 + 2 \cdot 3 = 26$
$a_1 + 6 = 26$
$a_1 = 26 - 6$
$a_1 = 20$

4) Нам нужно найти количество мест в последнем ряду. Всего в амфитеатре 15 рядов, значит, ищем $a_{15}$:
$a_{15} = a_1 + (15 - 1) \cdot d$
$a_{15} = 20 + 14 \cdot 3$
$a_{15} = 20 + 42$
$a_{15} = 62$

Ответ: 62

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи вспомним определение и формулу площади прямоугольного треугольника. На рисунке изображён прямоугольный треугольник, катеты которого образуют прямой угол.

1. Анализ данных:
Нам даны длины двух катетов прямоугольного треугольника:
Первый катет $a = 9$;
Второй катет $b = 6$.

2. Выбор формулы:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Это связано с тем, что один катет можно рассматривать как основание треугольника, а второй — как его высоту (так как они перпендикулярны).
Формула площади: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.

3. Вычисление:
Подставим известные значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6$
Сначала удобно умножить катеты:
$9 \cdot 6 = 54$
Затем разделим полученный результат на 2:
$S = \frac{54}{2} = 27$.

Таким образом, площадь треугольника равна 27.

Ответ: 27

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Рассмотрим рисунок. На нём изображена окружность, вписанная в квадрат. Это означает, что окружность касается всех четырёх сторон квадрата.

2. Проведём диаметр окружности параллельно двум сторонам квадрата. Мы увидим, что расстояние между противоположными сторонами квадрата в точности равно диаметру вписанной окружности. Обозначим сторону квадрата как $a$, а диаметр окружности как $d$. Тогда $d = a$.

3. По условию задачи сторона квадрата $a = 26$. Следовательно, диаметр вписанной окружности также равен $26$.

4. Радиус окружности $r$ равен половине её диаметра. Чтобы найти радиус, нужно разделить длину стороны квадрата на $2$:
$r = \frac{a}{2}$

5. Подставим известное значение стороны в формулу:
$r = \frac{26}{2} = 13$

Таким образом, радиус вписанной окружности равен $13$.

Ответ: 13

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции и параллельных прямых.

1) По условию трапеция $ABCD$ является равнобедренной с основаниями $AD$ и $BC$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Следовательно, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $D$:
$\angle A = \angle D = 61^{\circ}$.

2) Также известно, что сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ}$ (так как это внутренние односторонние углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CD$). Найдём величину угла $BCD$:
$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ}$.

3) По условию диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $81^{\circ}$, то есть $\angle ACD = 81^{\circ}$. Угол $BCD$ состоит из двух углов: искомого угла между диагональю и меньшим основанием ($\angle BCA$) и угла $\angle ACD$.
Тогда:
$\angle BCA = \angle BCD - \angle ACD$.

4) Подставим известные значения:
$\angle BCA = 119^{\circ} - 81^{\circ} = 38^{\circ}$.

Таким образом, угол между диагональю $AC$ и меньшим основанием $BC$ составляет $38^{\circ}$.

Ответ: 38

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы найти расстояние между двумя точками на клетчатой бумаге, удобнее всего воспользоваться теоремой Пифагора. Для этого выполним следующие шаги:

1. Достроим отрезок, соединяющий данные точки, до прямоугольного треугольника. Для этого проведём от одной точки горизонтальную линию, а от другой — вертикальную до их пересечения.

2. Посчитаем длины катетов полученного прямоугольного треугольника по клеткам:
— Длина горизонтального катета составляет $4$ клетки.
— Длина вертикального катета составляет $3$ клетки.

3. Обозначим искомое расстояние (гипотенузу треугольника) как $c$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$c^2 = a^2 + b^2$

4. Подставим значения катетов в формулу:
$c^2 = 4^2 + 3^2$
$c^2 = 16 + 9$
$c^2 = 25$

5. Найдём длину отрезка, извлекая корень из полученного числа:
$c = \sqrt{25} = 5$

Таким образом, расстояние между точками равно $5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) Площадь ромба равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.
Ромб является частным случаем параллелограмма. Для любого параллелограмма справедлива формула площади: $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$, где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними. Так как у ромба все стороны равны, эта формула также верна (её часто записывают как $S = a^2 \cdot \sin \alpha$). Данное утверждение истинно.

2) Каждая из биссектрис равнобедренного треугольника является его медианой.
В равнобедренном треугольнике только та биссектриса, которая проведена к основанию, является медианой и высотой. Биссектрисы, проведённые к боковым сторонам, медианами не являются (за исключением случая равностороннего треугольника, но утверждение сформулировано для любого равнобедренного). Данное утверждение ложно.

3) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна $180^\circ$. Значение $360^\circ$ характерно для суммы углов выпуклого четырёхугольника. Данное утверждение ложно.

Таким образом, верным является только первое утверждение.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ