Вариант 9 · Октябрь 2026

Решение.

Чтобы определить, какое из данных чисел принадлежит отрезку $[3; 4]$, нам необходимо выделить целую часть из каждой дроби. Это позволит понять, между какими целыми числами находится каждое значение.

Для выделения целой части разделим числитель на знаменатель с остатком:

1) Рассмотрим число $\frac{47}{14}$.
Разделим $47$ на $14$:
$47 = 14 \cdot 3 + 5$.
Значит, $\frac{47}{14} = 3\frac{5}{14}$.
Так как $3 < 3\frac{5}{14} < 4$, это число принадлежит отрезку $[3; 4]$.

Проверим остальные варианты, чтобы убедиться в правильности выбора:

2) Рассмотрим число $\frac{57}{14}$.
Разделим $57$ на $14$:
$57 = 14 \cdot 4 + 1$.
Значит, $\frac{57}{14} = 4\frac{1}{14}$.
Это число больше $4$, оно не входит в отрезок.

3) Рассмотрим число $\frac{61}{14}$.
Разделим $61$ на $14$:
$61 = 14 \cdot 4 + 5$.
Значит, $\frac{61}{14} = 4\frac{5}{14}$.
Это число больше $4$, оно не входит в отрезок.

4) Рассмотрим число $\frac{65}{14}$.
Разделим $65$ на $14$:
$65 = 14 \cdot 4 + 9$.
Значит, $\frac{65}{14} = 4\frac{9}{14}$.
Это число также больше $4$, оно не входит в отрезок.

Таким образом, только первое число $\frac{47}{14}$ попадает в заданный промежуток.

Ответ: 1

Источник: ФИПИ

Решение.

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{5^{5}}{25}$, воспользуемся свойствами степеней. Для этого приведём все числа к одному основанию.

1. Заметим, что число $25$ можно представить как степень с основанием $5$. Так как $5 \cdot 5 = 25$, то $25 = 5^{2}$.

2. Подставим полученное выражение в исходную дробь:
$\frac{5^{5}}{25} = \frac{5^{5}}{5^{2}}$

3. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются. Воспользуемся формулой $\frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n-m}$:
$\frac{5^{5}}{5^{2}} = 5^{5-2} = 5^{3}$

4. Теперь возведём число $5$ в третью степень:
$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 5 = 125$

Ответ: 125

Источник: ФИПИ

Решение.

Перед нами неполное квадратное уравнение вида $7x^2 = 42x$. Для его решения воспользуемся методом разложения на множители.

Шаг 1. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный:
$7x^2 - 42x = 0$

Шаг 2. Найдём общий множитель в левой части уравнения. Оба коэффициента ($7$ и $42$) делятся на $7$, также в обоих слагаемых присутствует переменная $x$. Вынесем $7x$ за скобки:
$7x(x - 6) = 0$

Шаг 3. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $7x = 0$
2) $x - 6 = 0$

Шаг 4. Решим полученные простые уравнения:
1) Из первого уравнения находим: $x = 0 / 7$, то есть $x_1 = 0$.
2) Из второго уравнения находим: $x = 6$, то есть $x_2 = 6$.

Шаг 5. Уравнение имеет два корня: $0$ и $6$. По условию задачи, если корней несколько, в ответ нужно записать меньший из них. Сравним числа: $0 < 6$. Следовательно, меньший корень — это $0$.

Ответ: 0

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.

1) Сначала найдём общее количество исходов. По условию задачи всего на экзамене $25$ билетов. Значит, общее число исходов $n = 25$.

2) Теперь определим количество благоприятных исходов. Благоприятным исходом для Кости является получение выученного билета. Так как он не выучил $4$ билета из $25$, то количество выученных билетов равно:
$25 - 4 = 21$.
Следовательно, количество благоприятных исходов $m = 21$.

3) Вычислим вероятность $P$ того, что Косте попадётся выученный билет, по формуле:
$P = \frac{m}{n}$.
Подставим наши значения:
$P = \frac{21}{25}$.

4) Чтобы перевести дробь в десятичный вид, удобно умножить и числитель, и знаменатель на $4$:
$P = \frac{21 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{84}{100} = 0,84$.

Ответ: 0,84

Источник: ФИПИ

Решение. Для того чтобы определить знаки коэффициентов квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$, воспользуемся следующими правилами:

1. Коэффициент $a$ отвечает за направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.
2. Коэффициент $c$ — это ордината точки пересечения параболы с осью $Oy$. Если график пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, то $c > 0$; если ниже — то $c < 0$.

Проанализируем каждый график:

График А: Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$. График пересекает ось $Oy$ в верхней полуплоскости (выше нуля), значит, $c > 0$. Это соответствует условию под номером 3.

График Б: Ветви параболы направлены вниз, значит, $a < 0$. График пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, значит, $c > 0$. Это соответствует условию под номером 1.

График В: Ветви параболы направлены вверх, значит, $a > 0$. График пересекает ось $Oy$ в нижней полуплоскости (ниже нуля), значит, $c < 0$. Это соответствует условию под номером 2.

Занесём результаты в таблицу соответствия:
А — 3
Б — 1
В — 2

Ответ: 312

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся данной формулой площади четырёхугольника: $S = \frac{d_{1} d_{2} \sin \alpha}{2}$.

1. Выпишем значения величин, которые нам известны из условия задачи:
$S = 51$
$d_{1} = 17$
$\sin \alpha = \frac{1}{3}$

2. Подставим эти значения в исходную формулу:
$51 = \frac{17 \cdot d_{2} \cdot \frac{1}{3}}{2}$

3. Упростим выражение в правой части. Сначала перемножим числа в числителе:
$51 = \frac{\frac{17}{3} \cdot d_{2}}{2}$

4. Чтобы избавиться от знаменателя $2$, умножим обе части уравнения на $2$:
$51 \cdot 2 = \frac{17}{3} \cdot d_{2}$
$102 = \frac{17}{3} \cdot d_{2}$

5. Теперь выразим $d_{2}$. Для этого разделим $102$ на коэффициент перед неизвестным, то есть на $\frac{17}{3}$:
$d_{2} = 102 : \frac{17}{3}$

6. Вспомним правило деления на дробь: нужно умножить на дробь, обратную данной:
$d_{2} = 102 \cdot \frac{3}{17}$

7. Выполним сокращение. Заметим, что $102$ делится на $17$ нацело ($17 \cdot 6 = 102$):
$d_{2} = 6 \cdot 3$
$d_{2} = 18$

Таким образом, длина второй диагонали равна $18$.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ

Решение.

Чтобы найти решение системы неравенств, нужно решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти пересечение полученных промежутков.

1) Решим первое неравенство системы: $x + 0{,}6 \le 0$.
Перенесём число $0{,}6$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x \le -0{,}6$.
Это означает, что нам подходят все числа, которые меньше или равны $-0{,}6$.

2) Решим второе неравенство системы: $x - 1 \ge -4$.
Перенесём число $-1$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x \ge -4 + 1$,
$x \ge -3$.
Это означает, что нам подходят все числа, которые больше или равны $-3$.

3) Найдём общее решение (пересечение).
Нам необходимо найти такие значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно:
$-3 \le x \le -0{,}6$.
На числовой прямой этому условию соответствует отрезок от $-3$ до $-0{,}6$, включая концы (так как знаки неравенства нестрогие).

4) Сопоставим полученный результат с предложенными вариантами:
Вариант №1: $(-\infty; -3]$
Вариант №2: $[-0{,}6; +\infty)$
Вариант №3: $[-3; -0{,}6]$
Вариант №4: $[-4{,}6; -0{,}6]$

Наш результат совпадает с вариантом №3.

Ответ: 3

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся знаниями об арифметической прогрессии, так как количество мест в каждом следующем ряду увеличивается на одно и то же число.

1. Выпишем известные данные:
Количество рядов (количество членов прогрессии): $n = 12$.
Количество мест в первом ряду: $a_1 = 18$.
Разность прогрессии (на сколько мест больше в каждом следующем ряду): $d = 2$.

2. Нам нужно найти общее количество мест в амфитеатре, то есть сумму первых 12 членов арифметической прогрессии $S_{12}$.

3. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n$

4. Подставим наши значения в формулу:
$S_{12} = \frac{2 \cdot 18 + 2 \cdot (12 - 1)}{2} \cdot 12$

5. Выполним вычисления по шагам:
Сначала найдем значение в скобках: $12 - 1 = 11$.
Затем выполним умножение: $2 \cdot 18 = 36$ и $2 \cdot 11 = 22$.
Сложим полученные результаты в числителе: $36 + 22 = 58$.
Теперь подставим это в дробь: $S_{12} = \frac{58}{2} \cdot 12$.
Разделим 58 на 2: $58 : 2 = 29$.
Наконец, умножим 29 на количество рядов: $29 \cdot 12 = 348$.

Таким образом, всего в амфитеатре 348 мест.

Ответ: 348

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора. Она гласит: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Пусть $a$ и $b$ — катеты треугольника, а $c$ — его гипотенуза. Формула выглядит так:
$a^2 + b^2 = c^2$

По условию задачи нам известны:
— один из катетов $a = 9$;
— гипотенуза $c = 41$.

Нам нужно найти второй катет $b$. Выразим его из формулы:
$b^2 = c^2 - a^2$

Подставим известные значения в уравнение:
$b^2 = 41^2 - 9^2$

Вычислим квадраты чисел:
$41^2 = 41 \cdot 41 = 1681$
$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$

Теперь найдем разность:
$b^2 = 1681 - 81$
$b^2 = 1600$

Чтобы найти $b$, извлечем квадратный корень из полученного числа:
$b = \sqrt{1600}$
$b = 40$

Таким образом, второй катет равен 40.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся важным свойством четырёхугольника, вписанного в окружность.

1. Согласно теореме о вписанном четырёхугольнике, сумма противоположных углов такого четырёхугольника равна $180^\circ$.

2. В нашем четырёхугольнике $ABCD$ противоположными являются углы $A$ и $C$, а также углы $B$ и $D$. Следовательно, для углов $A$ и $C$ справедливо равенство:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$.

3. По условию задачи нам известно, что угол $A$ равен $62^\circ$. Подставим это значение в формулу:
$62^\circ + \angle C = 180^\circ$.

4. Чтобы найти величину угла $C$, необходимо из $180^\circ$ вычесть известную величину угла $A$:
$\angle C = 180^\circ - 62^\circ$.
$\angle C = 118^\circ$.

Таким образом, искомый угол $C$ равен $118^\circ$.

Ответ: 118

Источник: ФИПИ

Решение.

1. Вспомним определение и свойства трапеции. Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие нет. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны между собой.

2. Нам дан один из углов трапеции, равный $55^\circ$. Так как этот угол острый (меньше $90^\circ$), он является углом при большем (нижнем) основании трапеции.

3. Основания трапеции параллельны. Боковая сторона является секущей для этих параллельных прямых. По свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов (углов, прилежащих к одной боковой стороне) равна $180^\circ$.

4. Пусть острый угол при нижнем основании равен $\alpha = 55^\circ$, а тупой угол при верхнем основании равен $\beta$. Тогда их сумма:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

5. Подставим известное значение и найдём больший угол $\beta$:
$55^\circ + \beta = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ - 55^\circ$
$\beta = 125^\circ$

Таким образом, два угла при нижнем основании равны по $55^\circ$, а два угла при верхнем основании равны по $125^\circ$. Большим углом является угол $125^\circ$.

Ответ: 125

Источник: ФИПИ

Решение.

Для решения этой задачи воспользуемся определением и формулой средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Шаг 1. Определим длины оснований трапеции.
Основания трапеции — это её параллельные стороны. На рисунке они расположены горизонтально. Посчитаем их длину по клеткам, учитывая, что размер одной клетки составляет $1 \times 1$:
1) Верхнее основание (обозначим его $a$) занимает $3$ клетки. Значит, $a = 3$.
2) Нижнее основание (обозначим его $b$) занимает $7$ клеток. Значит, $b = 7$.

Шаг 2. Применим формулу средней линии.
Пусть $m$ — длина средней линии трапеции. Формула для её нахождения выглядит так:
$m = \frac{a + b}{2}$

Шаг 3. Выполним вычисления.
Подставим найденные значения оснований в формулу:
$m = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, длина средней линии данной трапеции равна $5$.

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Решение.

Разберём каждое утверждение по порядку, чтобы определить его истинность:

1) «Все углы ромба равны».
Это утверждение неверно. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. У ромба равны только противоположные углы. Если бы у ромба все углы были равны, то каждый из них составлял бы $90^\circ$, и такой ромб являлся бы квадратом. Однако существуют ромбы с острыми и тупыми углами.

2) «Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой».
Это утверждение верно. Согласно теореме о вписанном угле, его величина равна половине дуги, на которую он опирается. Диаметр делит окружность на две дуги по $180^\circ$. Следовательно, вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $180^\circ : 2 = 90^\circ$, то есть является прямым.

3) «Если две стороны и угол одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны».
Это утверждение неверно из-за неточности в формулировке. Согласно первому признаку равенства треугольников, угол обязательно должен быть между этими сторонами. Если угол лежит не между равными сторонами, треугольники могут не быть равными.

Таким образом, истинным является только второе утверждение.

Ответ: 2

Источник: ФИПИ