Задание 10 ЕГЭ по информатике: маска подсети

IPv4-адрес — это 4 байта (32 бита), каждый из которых записывается десятичным числом от 0 до 255 и отделяется от соседних точкой:

Каждый байт — это 8 бит, поэтому весь адрес — это $4 \times 8 = 32$ бита. Диапазон 0–255 получается из того, что 8 бит дают $2^8 = 256$ различных значений: от 00000000 (0) до 11111111 (255). Перевод байта в двоичную запись — базовая операция всего задания, поэтому иметь под рукой таблицу степеней двойки (128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1) обязательно.

Пример: $144_{10}$. Раскладываем по степеням двойки: $128 + 16 = 144$, значит в разрядах 128 и 16 стоят единицы, в остальных — нули: 10010000.

Маска подсети — это тоже 32-битное число, но устроенное жёстко: слева стоят подряд идущие единицы, справа — подряд идущие нули, и нигде между ними единица не чередуется с нулём. Единицы маски отмечают биты адреса сети, нули — биты адреса узла внутри сети. Поэтому маску однозначно задаёт одно число — количество единиц в ней.

Типичные маски и их байтовая запись:

Как найти адрес сети: поразрядная конъюнкция

Адрес сети = адрес узла И (поразрядно) маска. Правило конъюнкции по каждому биту: 1 и 1 дают 1, а если хотя бы один бит — 0, результат 0. На практике это означает: там, где в маске единица, бит адреса сохраняется; там, где в маске ноль, бит адреса обнуляется.

Пример: узел 144 = 10010000, маска 248 = 11111000. Первые пять битов совпадают с маской (единицы) и сохраняются, последние три бита обнуляются: 10010000 & 11111000 = 10010000 — в данном случае байт не изменился, потому что три младших бита узла и так были нулями.

Если в маске $m$ единиц, значит нулей — $k = 32 - m$. Эти $k$ свободных битов и определяют, сколько разных адресов помещается в подсеть:

Но назначить узлам можно не все эти адреса. Два адреса в любой подсети зарезервированы: адрес, где все свободные биты — нули (это адрес самой сети), и адрес, где все свободные биты — единицы (это широковещательный адрес, broadcast). Реальным узлам достаются только адреса между ними:

Это различие критично для формулировок. Если вопрос звучит как «сколько IP-адресов в этой сети» или «сколько адресов удовлетворяют условию» — считаем все $2^k$ значений, включая адрес сети и broadcast. А если вопрос звучит как «сколько узлов можно подключить к сети» — нужно вычесть эти два служебных адреса.

Таблица: число нулей → шаг подсети → число адресов

«Шаг между сетями» — это разница между началом соседних подсетей одного размера: если подсеть начинается с адреса, кратного $2^k$, следующая начнётся ровно через $2^k$ адресов. Это удобно для проверки: у сети 122.159.136.144/29 (29 единиц, 3 нуля) шаг равен 8, и правда, 144 кратно 8.

Маска почти никогда не «режет» адрес посередине байта на всех четырёх байтах сразу — она задаёт границу ровно в одном байте (том, что соответствует остатку от деления числа единиц на 8), а все байты левее полностью фиксированы (255), все байты правее — полностью свободны (0). Значит, переводить в двоичный вид нужно только один байт — тот, где проходит граница маски. Остальные три байта одинаковы у всех адресов подсети, и их можно вообще не трогать.

Пример: маска 255.255.255.248. Первые три байта маски — 11111111, значит первые три байта адреса фиксированы такими, какие они в исходном IP. Только четвёртый байт маски — 11111000 — содержит границу: 5 единиц и 3 нуля. Значит, свободны ровно 3 младших бита последнего байта, а первые три байта адреса для всех адресов подсети одинаковы и участвуют в подсчёте «как есть», без перевода в двоичный вид — если только вопрос не спрашивает именно про них.

Отсюда практика: если условие спрашивает «сколько единиц/нулей в адресе», для трёх фиксированных байтов количество единиц считается один раз и прибавляется как константа ко всем 8 (или сколько там) вариантам четвёртого байта. Пересчитывать три фиксированных байта заново для каждого из вариантов — пустая трата времени.

Все вычисления задания 10 сводятся к трём операциям Python: собрать 32-битное число из четырёх байтов, применить & (побитовое И) и построить маску сдвигом <<. Вот рабочий шаблон для подтипа «дана сеть — считаем адреса по условию»:

def ip_to_int(a, b, c, d):
    return (a << 24) | (b << 16) | (c << 8) | d

ip = ip_to_int(122, 159, 136, 144)
mask = ip_to_int(255, 255, 255, 248)
net = ip & mask

host_bits = 32 - bin(mask).count("1")
count = 0
for k in range(2 ** host_bits):
    addr = net + k
    ones = bin(addr).count("1")
    if ones % 4 != 0:
        count += 1

print(count)

Идея: net + k перебирает все адреса подсети (от адреса сети до адреса сети плюс $2^{\text{host\_bits}} - 1$), а bin(addr).count("1") считает единицы в двоичной записи. Функция bin() в Python сама убирает ведущие нули, но на подсчёт количества единиц это не влияет.

Для подтипа «по узлу и адресу сети найти число масок» перебор идёт не по адресам, а по длине маски — от 0 до 32:

ip = ip_to_int(153, 172, 3, 8)
net = ip_to_int(153, 172, 3, 0)

count = 0
for k in range(33):
    mask = ((1 << k) - 1) << (32 - k) if k > 0 else 0
    if ip & mask == net:
        count += 1

print(count)

Здесь (1 << k) - 1 даёт число из $k$ единиц (например, при $k=3$ получаем 111 = 7), а сдвиг << (32 - k) отодвигает эти единицы в старшие разряды — получается маска с $k$ единицами слева и нулями справа, как и положено настоящей маске подсети. Условие ip & mask == net проверяет ровно то определение, что дано в условии задачи.

Выучите таблицу степеней двойки от $2^1$ до $2^{16}$. Потренируйтесь переводить отдельные байты (0–255) в двоичный вид без калькулятора — 15–20 чисел в день. Разберите операцию поразрядной конъюнкции на 5–7 маленьких примерах (можно на 4-битных числах, чтобы не отвлекаться на длину записи).

Решите 10–15 заданий подтипа «сколько адресов удовлетворяют условию». На каждом сначала найдите байт с границей маски и зафиксируйте, сколько битов свободно, и только потом считайте условие. Обязательно проверяйте себя: пишите к каждому заданию маленькую Python-программу с перебором и сверяйте с ручным счётом.

Разберите 8–10 заданий на поиск числа возможных масок по узлу и адресу сети. Отработайте нахождение нижней границы (по последней единице адреса сети) и верхней границы (по первому расхождению узла и сети) как отдельный, самостоятельный навык.

Пройдите пробный экзамен КЕГЭ целиком, засекая время на задание 10 отдельно. Цель — укладываться в 3 минуты на задание (это и есть примерное время выполнения задания по спецификации ФИПИ), включая проверку ответа и запись в нужном формате (число или IP-адрес без разделителей).