Задание 9 ЕГЭ по математике (профиль): прикладные задачи

Задание 9 профильного ЕГЭ по математике — это прикладная задача с готовой формулой. В условии дана физическая или экономическая зависимость (закон движения, формула мощности, спрос и выручка, период полураспада), известны все величины, кроме одной, — и нужно эту одну найти. По сути задача всегда сводится к одному действию: подставить данные в формулу и решить уравнение или неравенство относительно искомой буквы. Тип уравнения зависит от формулы: линейное, квадратное, иррациональное, показательное или логарифмическое — но решать их вы уже умеете из задания 6. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. За задание дают 1 первичный балл по принципу «всё или ничего». В статье — что проверяют, какие типы формул встречаются, пошаговый алгоритм, разбор реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 9 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 9

Задание проверяет умение применять математику к практической ситуации: прочитать формулу, понять, что в ней известно, а что требуется найти, и решить получившееся уравнение. Что нужно уметь:

Что нужно уметь:

выписывать из условия известные величины и искомую переменную;
подставлять числа в данную формулу и приводить выражение к уравнению относительно одной буквы;
решать линейные, дробно-рациональные, квадратные, иррациональные, показательные и логарифмические уравнения;
переходить от неравенства к уравнению, когда спрашивают «не менее» или «не более»;
выбирать корень по смыслу задачи (время и масса не бывают отрицательными).

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Базовый
Формат ответа	Целое число или конечная десятичная дробь
Раздел	Прикладные задачи (уравнение или неравенство по готовой формуле)
Рекомендуемое время	3–5 минут
Связанные задания	6 (простейшие уравнения), 10 (текстовые задачи)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 9 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа и разбором. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 9

Как выглядит формулировка

Условие всегда строится одинаково: описывается ситуация, даётся формула с буквенными обозначениями, перечисляются известные значения и задаётся вопрос про оставшуюся величину. Самые частые формулировки:

«… вычисляется по формуле $S=v_0t-\frac{at^2}{2}$ . Найдите время $t$ , если …».
«… напряжение вычисляется по формуле $U=\frac{\varepsilon R}{R+r}$ . При каком значении сопротивления $R$ напряжение будет равно …?».
«Высота меняется по закону $h(t)=1{,}4+9t-5t^2$ . Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее … метров?».

Главное наблюдение: думать над физикой не нужно. Формула уже выведена за вас — задача чисто алгебраическая.

Какие уравнения встречаются

После подстановки данных вы получаете уравнение одного из пяти типов. Узнать тип легко по виду формулы — и сразу понятно, каким приёмом его решать.

Линейные и дробно-рациональные

Искомая буква входит в первой степени, возможно — в знаменателе дроби (формулы для напряжения, сопротивления, эффекта Доплера). От дроби избавляются умножением на знаменатель:

a=\frac{bX}{X+c}\;\Rightarrow\; a(X+c)=bX

Дальше раскрываем скобки, собираем $X$ в одну часть — и получаем линейное уравнение $kX=m$ .

Квадратные (и неравенства)

Если в формуле есть $t^2$ (законы движения, высота брошенного тела), после подстановки выходит квадратное уравнение:

at^2+bt+c=0\;\Rightarrow\; t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Часто удобнее теорема Виета: $t_1+t_2=-\frac{b}{a}$ , $t_1\cdot t_2=\frac{c}{a}$ . Из двух корней выбирают подходящий по смыслу.

Если спрашивают «сколько времени тело было не ниже высоты $h$ », это неравенство: находят оба корня уравнения $h(t)=h$ и берут разность $t_2-t_1$ — длину промежутка между ними.

Иррациональные и степенные

Есть корень — обе части возводят в квадрат; есть степень $T^4$ (закон Стефана-Больцмана) — извлекают корень нужной степени:

v=\sqrt{2la}\;\Rightarrow\; v^2=2la, \qquad T^4=A\;\Rightarrow\; T=\sqrt[4]{A}

Степени десятки удобно считать отдельно: $\sqrt[4]{2{,}56\cdot10^{14}}=\sqrt[4]{256\cdot10^{12}}=4\cdot10^{3}$ .

Показательные

Искомая буква стоит в показателе степени (радиоактивный распад, остывание). Обе части приводят к одному основанию и приравнивают показатели:

m_0\cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}=m\;\Rightarrow\; 2^{-\frac{\tau}{T}}=\frac{m}{m_0}=2^{-k}\;\Rightarrow\; \frac{\tau}{T}=k

Главное — представить число справа как степень с тем же основанием: $\tfrac14=2^{-2}$ , $\tfrac18=2^{-3}$ .

Логарифмические

В формуле есть логарифм (работа газа при сжатии, уровень громкости). Изолируют логарифм и переходят к показательной форме по определению:

\log_2\frac{V_1}{V_2}=k\;\Rightarrow\; \frac{V_1}{V_2}=2^{k}

Сначала делят на все коэффициенты перед логарифмом, потом раскрывают определение $\log_a b=k\Leftrightarrow b=a^{k}$ .

Алгоритм решения задания 9

Выпишите формулу и данные. Отметьте, чему равны все буквы, и обведите ту, которую нужно найти.
Подставьте числа. Аккуратно вставьте известные значения в формулу — на месте останется только искомая буква.
Определите тип уравнения. Дробь, квадрат, корень, степень или логарифм — от этого зависит приём решения (см. таблицу выше).
Решите уравнение или неравенство. Упростите, приведите к стандартному виду и найдите корни. Для неравенства «не менее / не более» найдите оба корня и возьмите длину промежутка.
Выберите корень по смыслу и запишите ответ. Время, масса, длина не бывают отрицательными; читайте, спрашивают «первый момент» или «последний». Ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

Боитесь длинных физических формул?

Решите подряд десяток заданий 9 — и увидите, что за разными «физическими» обёртками прячутся всего пять типов уравнений из задания 6. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и пошаговый разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Дробно-рациональное уравнение (напряжение на нагрузке)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

К источнику с ЭДС $\varepsilon=130$ В и внутренним сопротивлением $r=1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U=\frac{\varepsilon R}{R+r}$ . При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 120 В?

Решение:

Подставляем известные значения в формулу:

120=\frac{130R}{R+1}

Умножаем обе части на знаменатель $R+1$ и раскрываем скобки:

120(R+1)=130R \;\Rightarrow\; 120R+120=130R

Собираем $R$ в одной части: $10R=120$ , откуда $R=12$ . Ответ: 12.

Пример 2. Квадратное уравнение (путь при торможении)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0=15$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a=2$ м/с². За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S=v_0t-\frac{at^2}{2}$ (в м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров.

Решение:

Подставляем данные и приравниваем путь к 36:

36=15t-\frac{2t^2}{2}=15t-t^2

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

t^2-15t+36=0

По теореме Виета $t_1+t_2=15$ , $t_1\cdot t_2=36$ — это $t_1=3$ и $t_2=12$ .

При торможении автомобиль доезжает до отметки 36 м впервые в момент $t=3$ с (потом он останавливается). Берём меньший корень. Ответ: 3.

Пример 3. Иррациональное уравнение (разгон автомобиля)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a=0{,}4$ м/с². Скорость $v$ вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$ , где $l$ — пройденный автомобилем путь в метрах. Найдите, сколько метров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 30 м/с.

Решение:

Подставляем $v=30$ и $a=0{,}4$ и возводим обе части в квадрат, чтобы убрать корень:

30=\sqrt{2\cdot l\cdot 0{,}4}\;\Rightarrow\; 900=0{,}8\,l

Делим на коэффициент: $l=\frac{900}{0{,}8}=1125$ . Ответ: 1125.

Пример 4. Показательное уравнение (радиоактивный распад)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m=m_0\cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}$ , где $m_0$ — начальная масса, $\tau$ — время (в минутах), $T$ — период полураспада (в минутах). В начальный момент масса изотопа равна 20 мг, период полураспада — 10 минут. Через сколько минут масса станет равна 5 мг?

Решение:

Подставляем $m_0=20$ , $T=10$ , $m=5$ и делим обе части на 20:

5=20\cdot 2^{-\frac{\tau}{10}}\;\Rightarrow\; 2^{-\frac{\tau}{10}}=\frac{1}{4}=2^{-2}

Основания равны — приравниваем показатели: $-\frac{\tau}{10}=-2$ , откуда $\tau=20$ . Ответ: 20.

Пример 5. Логарифмическое уравнение (работа при сжатии воздуха)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Водолазный колокол, содержащий $\nu=3$ моль воздуха объёмом $V_1=16$ л, медленно опускают на дно. Воздух изотермически сжимается до объёма $V_2$ (в л). Работа (в Дж) вычисляется по формуле $A=\alpha\,\nu T\log_2\frac{V_1}{V_2}$ , где $\alpha=9{,}9$ Дж/(моль·К), $T=300$ К. Найдите объём $V_2$ , если совершена работа 26730 Дж.

Решение:

Подставляем данные и перемножаем коэффициенты перед логарифмом: $9{,}9\cdot3\cdot300=8910$ :

26730=8910\cdot\log_2\frac{16}{V_2}\;\Rightarrow\;\log_2\frac{16}{V_2}=3

По определению логарифма переходим к показательной форме:

\frac{16}{V_2}=2^3=8\;\Rightarrow\; V_2=\frac{16}{8}=2

Ответ: 2.

Пример 6. Неравенство «не менее» (полёт мяча)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ):

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=1{,}4+9t-5t^2$ , где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Решение:

Мяч пересекает отметку 3 м дважды — на подъёме и на спуске. Искомое время — это промежуток между этими моментами. Приравниваем высоту к 3:

1{,}4+9t-5t^2=3\;\Rightarrow\; 5t^2-9t+1{,}6=0

Решаем через дискриминант: $D=81-4\cdot5\cdot1{,}6=81-32=49$ , $\sqrt{D}=7$ :

t_{1,2}=\frac{9\pm7}{10}\;\Rightarrow\; t_1=0{,}2,\quad t_2=1{,}6

Мяч находится на высоте не ниже 3 м от $t_1=0{,}2$ до $t_2=1{,}6$ с. Длина промежутка: $1{,}6-0{,}2=1{,}4$ с. Ответ: 1,4.

Типичные ошибки и ловушки

Искать не ту букву

В формуле много обозначений. Перед подстановкой чётко выделите, что дано, а что требуется найти, — иначе легко выразить не ту величину.

Взять не тот корень квадратного уравнения

Время и масса неотрицательны. Если спрашивают «первый момент» — берут меньший корень, если «последний» — больший. Перечитайте вопрос.

В неравенстве записать корень вместо промежутка

В вопросе «сколько времени …» ответ — это длина промежутка $t_2-t_1$ , а не сам корень. Не забудьте вычесть.

Запутаться в степенях десятки

В задачах про звёзды и распад много множителей вида $10^{n}$ . Считайте степени отдельно от мантисс и не теряйте показатель.

Игнорировать единицы измерения

Если в условии скорость в км/ч, а ускорение в км/ч², подставляйте как есть — формула уже согласована. Но ответ записывайте в тех единицах, которые просят.

Чем задание 9 связано с другими

Задание 9 — это задание 6 в прикладной обёртке. Все уравнения (линейные, квадратные, иррациональные, показательные, логарифмические) вы уже решали в задании 6; здесь добавляется лишь шаг «подставить данные в формулу». Умение переводить условие в уравнение пригодится и в задании 10 (текстовые задачи на движение, работу и проценты), где формулу нужно составить уже самому. Освоив задание 9, вы закрываете гарантированный балл и тренируете навык математического моделирования.

Задание 8: производная и первообразная Задание 6: простейшие уравнения Решать задание 9 онлайн

План подготовки на неделю

Дни 1–5 — по типу уравнения в день

День 1 — линейные и дробно-рациональные (напряжение, Доплер). День 2 — квадратные (законы движения, высота). День 3 — иррациональные и степенные (разгон, Стефана-Больцмана). День 4 — показательные (распад, остывание). День 5 — логарифмические (работа газа). Каждый день решайте по 8–10 однотипных заданий, проговаривая, к какому уравнению сводится формула.

Дни 6–7 — вперемешку и работа над выбором корня

Решайте задания всех типов вперемешку, чтобы научиться по виду формулы мгновенно определять приём. Отдельно отрабатывайте задачи с «не менее / не более» и выбор корня по смыслу — это самые частые места потери балла. После серии разбирайте ошибки на Repet.ai.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 9 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Уровень базовый, поэтому это обязательный к закрытию балл.

Нет. Формула всегда дана в условии и уже выведена за вас. Задача чисто алгебраическая: подставить известные числа и решить получившееся уравнение относительно искомой буквы. Физический смысл величин знать необязательно.

После подстановки данных получается уравнение одного из пяти типов: линейное (в том числе дробно-рациональное), квадратное, иррациональное (с корнем) или степенное, показательное и логарифмическое. Все они отрабатываются в задании 6.

Это неравенство. Приравняйте формулу к указанному значению, найдите оба корня квадратного уравнения и возьмите длину промежутка между ними — разность t₂ − t₁. Например, для полёта мяча на высоте не ниже 3 м это время между подъёмом и спуском.

Тот, что подходит по смыслу задачи. Время и масса не бывают отрицательными — отрицательный корень отбрасывают. Если спрашивают «первый момент», берут меньший корень, если «последний» — больший.

Да. На Repet.ai в разделе ЕГЭ по математике загружены задания 9 из открытого банка ФИПИ. Вы решаете задание онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и можете разобрать решение по шагам.

Готовы закрыть задание 9 на автомате?

Прикладная задача — это предсказуемый балл первой части: подставьте данные в готовую формулу, узнайте тип уравнения и решите его. За «страшными» физическими формулами прячутся всё те же пять типов уравнений из задания 6. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за неделю доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 9 Назад: задание 8 Все задания ЕГЭ по математике