Задание 9 ЕГЭ по математике (профиль): производная и первообразная

Задание проверяет понимание смысла производной — без громоздких вычислений, но с умением «читать» график. Что нужно уметь:

ФИПИ обычно даёт график и короткий вопрос. Самые частые формулировки:

Весь банк задания 9 закрывают три идеи: знак производной, её геометрический смысл и связь с первообразной. Разберём каждую.

Знак производной и поведение функции

Главная связка задания 9:

$$f'(x)>0 \;\Rightarrow\; f \text{ возрастает}, \qquad f'(x)<0 \;\Rightarrow\; f \text{ убывает}$$

В точке, где $f'(x)$ обращается в ноль и меняет знак, у функции $f$ экстремум:

• смена с $+$ на $-$ — точка максимума;
• смена с $-$ на $+$ — точка минимума.

Поэтому по графику $y=f'(x)$ экстремумы $f$ ищут там, где график производной пересекает ось абсцисс, а не там, где у него свои вершины.

Геометрический смысл: касательная

Значение производной в точке — это угловой коэффициент касательной, проведённой к графику в этой точке:

$$f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Чтобы найти $f'(x_0)$ по картинке, выберите на касательной две точки в узлах сетки и посчитайте $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — «на сколько поднялись» делим «на сколько прошли вправо». Если касательная убывает, коэффициент отрицательный.

В банке ФИПИ задание 9 распадается на несколько устойчивых типов. Узнав, что именно изображено — $f(x)$ или $f'(x)$ — вы сразу знаете, что делать:

• Дан график $f'(x)$

  Ищем точки экстремума $f$ (нули со сменой знака) или промежутки монотонности.

• Дан график $f(x)$ с отмеченными точками

  Считаем точки, где $f'>0$ (функция возрастает) или $f'<0$ (убывает).

• График и касательная

  Находим $f'(x_0)$ как угловой коэффициент $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.

• Первообразная и физический смысл

  Дан график $F(x)$ либо закон движения $x(t)$; считаем производную.

1. Прочитайте, что изображено. Важнейший шаг: $y=f(x)$ или $y=f'(x)$? Перепутать график функции и график производной — самая частая ошибка.
2. Выберите нужную связку. Дан $f'(x)$ — экстремумы там, где график пересекает ось; дан $f(x)$ — знак производной совпадает с направлением графика (вверх/вниз); касательная — считаем наклон.
3. Отметьте нужные точки на заданном отрезке. Следите за границами интервала из условия и направлением смены знака ($+\to-$ для максимума, $-\to+$ для минимума).
4. Посчитайте или вычислите значение. Для касательной $f'(x_0)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ по узлам сетки; для движения — производная закона.
5. Запишите ответ. Целое число или конечная десятичная дробь; дробь через запятую, знак минуса не теряйте.

• Перепутать график и график

  Всегда читайте подпись к рисунку. Если дан $f'(x)$, экстремумы ищут по пересечению оси, а не по вершинам графика; если дан $f(x)$ — по подъёмам и спускам самого графика.

• Считать максимумы там, где у вершина

  Вершина графика производной — это не экстремум функции. Экстремум $f$ только там, где $f'(x)=0$ и меняет знак.

• Перепутать максимум и минимум

  Смена знака $+\to-$ — это максимум, $-\to+$ — минимум. Перечитайте, что именно спрашивают.

• Забыть про границы отрезка

  Точки считают только на указанном отрезке (например, $[-6;6]$), а не на всём интервале определения функции.

• Потерять знак углового коэффициента

  Если касательная убывает, $f'(x_0)<0$. Считая $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, не забывайте, что $\Delta y$ отрицательно.

Задание 9 — это фундамент анализа функций. Та же производная в полном объёме работает в задании 17, где нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции либо её точку экстремума уже не по графику, а по формуле. А чтение графиков перекликается с заданием 12 (графики функций). Освоив задание 9, вы закрываете гарантированный балл и одновременно готовите технику для более сложных заданий с исследованием функции.