Задание 6 ЕГЭ по математике (профиль): случайная величина и математическое ожидание

Задание 6 — новая линия: она появилась в контрольных измерительных материалах 2027 года впервые. ФИПИ добавил её в часть 1, поэтому заданий стало 20 вместо 19, а максимальный первичный балл вырос с 32 до 33. Здесь проверяют работу со случайной величиной: таблица распределения, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение. Ответ короткий — целое число или конечная десятичная дробь, за него дают 1 первичный балл по принципу «всё или ничего». В статье — формулировка плана ФИПИ, все нужные формулы и их свойства, алгоритм на шесть шагов, полный разбор демонстрационного задания про лотерею и учебные примеры на дисперсию. Тренироваться можно на заданиях 6 ЕГЭ по математике онлайн — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 6

В плане экзаменационной работы 2027 года у задания 6 записано требование 8 и раздел кодификатора 6 «Вероятность и статистика». Формулировка проверяемого умения такая:

Формулировка широкая, но задание короткое: 1 балл и краткий ответ. На практике почти всё сводится к таблице распределения и математическому ожиданию. Непрерывные распределения (равномерное, показательное, нормальное) кодификатор называет, однако в кратком ответе от вас ждут число, а не интеграл: достаточно понимать смысл параметров и уметь применять готовые формулы.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Повышенный
Часть работы	1 (краткий ответ)
Формат ответа	Целое число или конечная десятичная дробь
Раздел кодификатора	«Вероятность и статистика» (КЭС 6)
Рекомендуемое время	5–8 минут (ФИПИ отводит 8 минут)
Связанные задания	4 (классическая вероятность), 5 (теоремы о вероятностях)

Тренируйтесь на заданиях 6

Задания на случайную величину и математическое ожидание с мгновенной проверкой ответа и разбором. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 6

Как выглядит формулировка

Официальный пример на этой позиции ровно один — задание 6 из демонстрационного варианта 2027 года. Условие даёт таблицу с числом билетов и просит найти ожидаемый выигрыш на один билет.

Задание 6

Демонстрационный вариант ЕГЭ по математике (профильный уровень), проект 2027 года

Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

Выигрыш (в рублях)	100	1000	5000	10 000	50 000
Число выигрышных билетов	500	100	50	10	1

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Ответ: 55.

Теория: всё, что нужно для задания 6

Теория короткая: одно определение, две формулы и несколько свойств. Разберём их по порядку и сразу на числах.

Случайная величина и закон распределения

Случайная величина — это число, которое получается в результате опыта: выигрыш по билету, число очков на кости, число орлов при четырёх бросках монеты. Обозначают её большой буквой $X$ , а её возможные значения — маленькими $x_1, x_2, \dots, x_n$ .

Закон (таблица) распределения перечисляет все значения и их вероятности:

$x_i$	$x_1$	$x_2$	…	$x_n$
$p_i$	$p_1$	$p_2$	…	$p_n$

Значения в таблице должны покрывать все исходы, поэтому вероятности в сумме дают единицу:

p_1+p_2+\dots+p_n=1

Это первая и самая дешёвая проверка: если сумма не равна 1, значит вы потеряли исход (чаще всего «ничего не выиграл» или «событие не произошло»).

Математическое ожидание

Математическое ожидание — это взвешенное среднее значений, где весами служат вероятности:

E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_np_n=\sum_{i=1}^{n} x_ip_i

Смысл: если повторить опыт очень много раз, среднее арифметическое полученных значений будет близко к $E(X)$ . Поэтому ожидание — это «сколько в среднем приходится на один опыт»: на один билет, на один бросок, на один день.

Обозначения $E(X)$ , $M(X)$ и $\mu$ означают одно и то же. Само $E(X)$ может не совпадать ни с одним из значений: ожидание числа очков на кости равно $3{,}5$ , хотя такой грани нет.

Свойства математического ожидания

Свойства позволяют не строить таблицу, когда величина собрана из более простых:

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

Это равенство верно всегда — независимость не нужна. Остальные свойства:

$E(cX)=c\,E(X)$ — постоянный множитель выносят;
$E(c)=c$ — ожидание постоянной равно ей самой;
$E(X+c)=E(X)+c$ — сдвиг сдвигает ожидание;
$E(XY)=E(X)\,E(Y)$ — только для независимых величин.

Пример: ожидание суммы очков на двух костях равно $3{,}5+3{,}5=7$ — таблицу из 11 значений строить не нужно.

Дисперсия

Дисперсия измеряет разброс значений вокруг ожидания. По определению это ожидание квадрата отклонения:

D(X)=E\big((X-E(X))^2\big)

На практике удобнее рабочая формула — «ожидание квадрата минус квадрат ожидания»:

D(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2

Здесь $E(X^2)=\sum x_i^2 p_i$ — те же вероятности, но значения возведены в квадрат. Свойства:

$D(c)=0$ — постоянная не разбросана;
$D(cX)=c^2D(X)$ — множитель выходит в квадрате;
$D(X+c)=D(X)$ — сдвиг разброс не меняет;
$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$ — только для независимых величин.

Дисперсия никогда не бывает отрицательной. Если у вас вышло отрицательное число, значит вы посчитали $E(X^2)$ или $E(X)$ с ошибкой.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение — это корень из дисперсии:

\sigma(X)=\sqrt{D(X)}

Смысл корня — вернуться к единицам самой величины. Если $X$ измеряют в рублях, то $D(X)$ — в «рублях в квадрате», а $\sigma(X)$ снова в рублях. Поэтому разброс сравнивают со средним именно через $\sigma$ , а не через $D$ .

Частные случаи-«ускорители»

Эти пять фактов закрывают большинство задач без таблицы распределения. Выучите их наизусть.

Величина	$E(X)$	$D(X)$
Все $n$ значений равновероятны	$\dfrac{x_1+\dots+x_n}{n}$ — обычное среднее арифметическое	$\dfrac{x_1^2+\dots+x_n^2}{n}-\big(E(X)\big)^2$
Индикатор события: $1$ с вероятностью $p$ , иначе $0$	$p$	$p(1-p)$
Число успехов в $n$ испытаниях Бернулли (биномиальная)	$np$	$np(1-p)$
Число очков на честной игральной кости	$3{,}5$	$\dfrac{35}{12}\approx 2{,}9167$
Сумма $n$ независимых одинаково распределённых величин	$n\,E(X)$	$n\,D(X)$

Биномиальная величина — это как раз сумма $n$ индикаторов, поэтому её ожидание и дисперсия получаются сложением: $n\cdot p$ и $n\cdot p(1-p)$ . Для суммы очков на двух костях по той же логике $E=2\cdot 3{,}5=7$ и $D=2\cdot\dfrac{35}{12}=\dfrac{35}{6}$ .

Как из частот сделать вероятности

В условии обычно дают не вероятности, а количества: сколько билетов, сколько деталей, сколько дней. Вероятность получают делением на общее число:

p_i=\frac{\text{число исходов со значением } x_i}{\text{общее число исходов}}

Например, 500 билетов с выигрышем 100 рублей из 10 000 дают $p=\dfrac{500}{10\,000}=0{,}05$ .

Алгоритм решения

Выпишите все значения величины.
Прочитайте, что именно измеряют: выигрыш на билет, число очков, число деталей. Перечислите все значения $x_i$ , включая $0$ , если «ничего не произошло» — тоже исход.
Посчитайте вероятности.
Каждое количество разделите на общее число исходов: $p_i=\dfrac{k_i}{N}$ . Дроби пока не округляйте.
Проверьте, что $\sum p_i=1$ .
Сумма всех вероятностей, включая нулевой исход, обязана быть единицей. Если меньше — вы потеряли исход, если больше — посчитали какой-то дважды.
Найдите $E(X)=\sum x_ip_i$ .
Перемножьте значения на вероятности и сложите. Если значения равновероятны — просто среднее арифметическое; если величина биномиальная — сразу $np$ .
Если нужен разброс — посчитайте $E(X^2)$ и $D=E(X^2)-E^2(X)$ .
Возведите значения в квадрат, умножьте на те же вероятности, сложите и вычтите квадрат ожидания. Для $\sigma$ извлеките корень: $\sigma=\sqrt{D}$ .
Проверьте ответ здравым смыслом.
Ожидание всегда лежит между наименьшим и наибольшим значением величины, а дисперсия неотрицательна. Ответ запишите в тех единицах, о которых спрашивают, без самих единиц в бланке.

Отработайте алгоритм на практике

Шесть шагов запоминаются за один вечер, если пройти их подряд на десятке задач. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и пошаговый разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Первый пример — демонстрационное задание ФИПИ. Второй и третий придуманы для тренировки: открытый банк по линии 6 пока пуст, но формулы и шаги в них те же самые.

Пример 1. Лотерея (демонстрационное задание ФИПИ 2027)

Решение

Шаг 1. Значения и вероятности. Величина $X$ — выигрыш по случайно взятому билету. Каждое количество делим на 10 000:

p(100)=\frac{500}{10\,000}=0{,}05,\quad p(1000)=\frac{100}{10\,000}=0{,}01,\quad p(5000)=\frac{50}{10\,000}=0{,}005

p(10\,000)=\frac{10}{10\,000}=0{,}001,\qquad p(50\,000)=\frac{1}{10\,000}=0{,}0001

Шаг 2. Нулевой исход. Выигрышных билетов всего $500+100+50+10+1=661$ , значит без выигрыша $10\,000-661=9339$ билетов:

p(0)=\frac{9339}{10\,000}=0{,}9339

Шаг 3. Проверка суммы. $0{,}9339+0{,}05+0{,}01+0{,}005+0{,}001+0{,}0001=1$ — таблица полная.

Шаг 4. Ожидание. Слагаемое с нулём ничего не добавляет:

E(X)=100\cdot 0{,}05+1000\cdot 0{,}01+5000\cdot 0{,}005+10\,000\cdot 0{,}001+50\,000\cdot 0{,}0001

E(X)=5+10+25+10+5=55

Ответ: 55.

Быстрый способ: сумма выигрышей на число билетов

Вероятности можно вообще не выписывать. Ожидание на один билет — это весь призовой фонд, делённый на число билетов:

E(X)=\frac{100\cdot 500+1000\cdot 100+5000\cdot 50+10\,000\cdot 10+50\,000\cdot 1}{10\,000}

E(X)=\frac{50\,000+100\,000+250\,000+100\,000+50\,000}{10\,000}=\frac{550\,000}{10\,000}=55

Проверка здравым смыслом. 55 рублей — это справедливая цена билета: при такой цене лотерея в среднем выходит «в ноль». Число лежит между наименьшим выигрышем (0) и наибольшим (50 000) и ближе к нулю — логично, ведь почти все билеты пустые.

Пример 2. Учебная задача (не из банка ФИПИ): дисперсия и стандартное отклонение

Условие

Случайная величина $X$ — число очков, которое приносит игроку один раунд игры. Её распределение задано таблицей.

$x_i$	2	4	6	8
$p_i$	$0{,}1$	$0{,}2$	$0{,}3$	$0{,}4$

Найдите дисперсию и стандартное отклонение $X$ .

Решение

Проверка таблицы. $0{,}1+0{,}2+0{,}3+0{,}4=1$ — распределение задано корректно.

Ожидание.

E(X)=2\cdot 0{,}1+4\cdot 0{,}2+6\cdot 0{,}3+8\cdot 0{,}4=0{,}2+0{,}8+1{,}8+3{,}2=6

Ожидание квадрата. Значения возводим в квадрат, вероятности те же:

E(X^2)=4\cdot 0{,}1+16\cdot 0{,}2+36\cdot 0{,}3+64\cdot 0{,}4=0{,}4+3{,}2+10{,}8+25{,}6=40

Дисперсия и стандартное отклонение.

D(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2=40-6^2=40-36=4,\qquad \sigma(X)=\sqrt{4}=2

Проверка по определению. Посчитаем дисперсию вторым способом — через квадраты отклонений от $E(X)=6$ :

D(X)=(2-6)^2\cdot 0{,}1+(4-6)^2\cdot 0{,}2+(6-6)^2\cdot 0{,}3+(8-6)^2\cdot 0{,}4

D(X)=16\cdot 0{,}1+4\cdot 0{,}2+0+4\cdot 0{,}4=1{,}6+0{,}8+0+1{,}6=4

Оба способа дали $D(X)=4$ . Ответ: $D(X)=4$ , $\sigma(X)=2$ . Ожидание 6 лежит между 2 и 8 — здравый смысл не нарушен.

Пример 3. Учебная задача (не из банка ФИПИ): решение через свойства

Решение через свойства

Представим $X$ как сумму четырёх индикаторов: $X=I_1+I_2+I_3+I_4$ , где $I_k=1$ , если в $k$ -м броске выпал орёл, и $I_k=0$ иначе. Для индикатора с $p=0{,}5$ :

E(I_k)=p=0{,}5,\qquad D(I_k)=p(1-p)=0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25

Ожидания складываются всегда, а дисперсии — потому что броски независимы:

E(X)=4\cdot 0{,}5=2,\qquad D(X)=4\cdot 0{,}25=1,\qquad \sigma(X)=\sqrt{1}=1

Тот же результат даёт формула для биномиальной величины: $E=np=4\cdot 0{,}5=2$ и $D=np(1-p)=4\cdot 0{,}5\cdot 0{,}5=1$ .

Проверка по таблице распределения

Всего исходов $2^4=16$ , все равновероятны. Число способов получить $k$ орлов — это $C_4^k$ : 1, 4, 6, 4, 1.

$x_i$	0	1	2	3	4
$p_i$	$\tfrac{1}{16}$	$\tfrac{4}{16}$	$\tfrac{6}{16}$	$\tfrac{4}{16}$	$\tfrac{1}{16}$

Сумма вероятностей $\tfrac{1+4+6+4+1}{16}=\tfrac{16}{16}=1$ . Считаем ожидание и ожидание квадрата:

E(X)=\frac{0\cdot 1+1\cdot 4+2\cdot 6+3\cdot 4+4\cdot 1}{16}=\frac{32}{16}=2

E(X^2)=\frac{0\cdot 1+1\cdot 4+4\cdot 6+9\cdot 4+16\cdot 1}{16}=\frac{80}{16}=5

D(X)=5-2^2=1,\qquad \sigma(X)=1

Таблица подтвердила ответ: $E(X)=2$ , $D(X)=1$ , $\sigma(X)=1$ . Точно так же решается задача про сумму очков на двух костях: $E=2\cdot 3{,}5=7$ , $D=2\cdot\tfrac{35}{12}=\tfrac{35}{6}$ — таблица из 11 значений не нужна.

Типичные ошибки

Путать ожидание с наибольшим значением
Ожидание — это среднее по всем исходам, а не самый крупный выигрыш. В лотерее максимум 50 000 рублей, а $E(X)=55$ . Если ваш ответ равен самому большому значению из таблицы, вы почти наверняка не умножили на вероятности.
Забыть исход с нулевым значением
Билеты без выигрыша тоже входят в распределение. Проверка $\sum p_i=1$ ловит эту ошибку сразу: без нулевого исхода сумма получится 0,0661 вместо 1. На $E(X)$ это не влияет, а на $D(X)$ влияет сильно.
Считать $D=E(X^2)-E(X)$
Вычитают квадрат ожидания: $D(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$ . В примере 2 правильный ответ $40-36=4$ , а забытый квадрат дал бы $40-6=34$ .
Складывать дисперсии зависимых величин
Равенство $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$ верно только для независимых величин. Для ожидания независимость не нужна: $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ верно всегда. Не переносите свойство ожидания на дисперсию автоматически.
Терять единицы измерения
$\sigma$ измеряют в тех же единицах, что и $X$ (рубли, очки), а $D$ — в их квадратах. Если спрашивают «отклонение в рублях», ответ — это $\sigma$ , а не $D$ .
Округлять промежуточные вероятности
Округление вроде $0{,}0001\approx 0$ убивает целое слагаемое: в примере 1 такой билет даёт 5 рублей из 55. Считайте точными дробями и округляйте только итог, если этого требует условие.

Связанные темы

Задание 6 замыкает вероятностный блок первой части. В задании 4 считают вероятность одного события по классической формуле, в задании 5 комбинируют события через теоремы сложения и умножения, а в задании 6 переходят от вероятностей к числовым характеристикам случайной величины. Арифметика здесь простая — та же, что в задании 7: умножение, сложение и извлечение корня.

Задание 5: теоремы о вероятностях Задание 7: простейшие уравнения Решать задание 6 онлайн

План подготовки на 1–2 недели

Неделя 1 — таблица распределения и ожидание

День 1 — выучите определение случайной величины и оформите пять таблиц распределения по описанию опыта; каждый раз проверяйте $\sum p_i=1$ . День 2 — переводите частоты в вероятности: билеты, детали, дни; обязательно добавляйте нулевой исход. День 3 — считайте $E(X)$ по таблице, по 8–10 задач. День 4 — тот же счёт вторым способом: сумма значений, делённая на число исходов, и сверка с первым ответом. День 5 — свойства ожидания: $E(X+Y)$ , $E(cX)$ , $E(c)$ ; решайте задачи про кости и монеты без таблицы.

Неделя 2 — дисперсия, отклонение и скорость

День 6 — $E(X^2)$ и формула $D=E(X^2)-E^2(X)$ ; каждую дисперсию перепроверяйте по определению, через квадраты отклонений. День 7 — $\sigma=\sqrt{D}$ и единицы измерения. День 8 — «ускорители»: индикатор, биномиальная величина, кость, сумма независимых величин. День 9 — смешанные задачи на время: 8 минут на задание, как в спецификации. День 10 — разбор собственных ошибок: выпишите, где именно вы теряли нулевой исход или квадрат ожидания, и прорешайте эти типы ещё раз.

Проверьте себя на тренажёре

На Repet.ai можно решать задания ЕГЭ по математике онлайн, мгновенно видеть, верный ли ответ, и разбирать решение по шагам — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Да. Эта линия впервые появилась в контрольных измерительных материалах 2027 года. Она стоит в части 1, требует краткого ответа и оценивается в 1 первичный балл. Именно из-за неё в профильном ЕГЭ стало 20 заданий вместо 19, а максимальный первичный балл вырос с 32 до 33.

В задании 4 находят вероятность одного события по классической формуле «благоприятные исходы делить на все». В задании 5 работают с несколькими событиями: применяют теоремы сложения и умножения, считают вероятность противоположного события. В задании 6 вероятности уже не самоцель — по ним считают числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение.

Каждое значение умножьте на его вероятность и всё сложите: E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ. Если в условии даны количества, а не вероятности, сначала разделите каждое количество на общее число исходов. Есть и более быстрый путь: сумму всех значений (например, весь призовой фонд) разделить на общее число исходов — в демонстрационном задании это 550 000 делить на 10 000, то есть 55.

Дисперсию удобнее всего считать по рабочей формуле D(X) = E(X²) − (E(X))². Сначала найдите E(X), затем E(X²) — то есть сумму квадратов значений, умноженных на те же вероятности, — и вычтите квадрат ожидания. Стандартное отклонение — это корень из дисперсии: σ = √D. Дисперсия не бывает отрицательной; отрицательный результат означает ошибку в счёте.

Кодификатор называет функции распределения и плотности равномерного, показательного и нормального распределений, поэтому смысл параметров знать полезно: у нормального распределения это среднее и стандартное отклонение, а правило трёх сигм говорит, что почти все значения лежат в пределах трёх σ от среднего. Но единственный официальный пример на этой позиции — расчёт математического ожидания по таблице, так что основной навык именно табличный.

ФИПИ отводит на него 8 минут. На практике при отработанном алгоритме хватает 5–8 минут: минута на выписывание значений и вероятностей, минута на проверку суммы вероятностей, остальное — на арифметику и проверку ответа.

Ответом может быть целое число или конечная десятичная дробь. Дробную часть отделяйте запятой, каждый знак пишите в отдельную клетку бланка. Единицы измерения (рубли, очки, метры) в бланк не пишут — только число. Обыкновенные дроби вроде 35/12 в бланк не вносят: если ответ не целый, его записывают десятичной дробью.

Готовы закрыть новое задание 6?

Линия новая, но теория в ней короткая: таблица распределения, $E(X)=\sum x_ip_i$ , $D(X)=E(X^2)-E^2(X)$ и $\sigma=\sqrt{D}$ . Отработайте шесть шагов алгоритма, приучите себя проверять сумму вероятностей — и этот балл станет стабильным. На Repet.ai задания ЕГЭ по математике решаются онлайн, с проверкой ответа и разбором.

Тренировать задание 6 Назад: задание 5 Все задания ЕГЭ по математике