Задание 2 ЕГЭ по математике (профиль): векторы

Задание проверяет умение работать с векторами в координатах: выполнять операции и вычислять числовые характеристики. Типы заданий, которые встречаются чаще всего:

ФИПИ задаёт векторы либо координатами в условии, либо рисунком на клетчатой бумаге. Формулировки сводятся к «найдите величину». Примеры:

Почти всё задание 2 держится на четырёх формулах: координаты вектора, операции над координатами, длина и скалярное произведение. Выучите их — и большинство заданий решается в одну строчку.

Координаты вектора

Вектор задаётся парой координат $\vec{a} = (x;\,y)$ — это сдвиг по осям $x$ и $y$. Если известны начало $A(x_1;\,y_1)$ и конец $B(x_2;\,y_2)$, то координаты находят как «конец минус начало»:

$$\vec{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)$$

Порядок важен: из координат конца вычитаем координаты начала, иначе вектор «развернётся» в обратную сторону.

Сложение, вычитание, умножение на число

Все операции выполняются покоординатно. Пусть $\vec{a} = (a_1;\,a_2)$ и $\vec{b} = (b_1;\,b_2)$:

$$\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1;\ a_2 + b_2), \qquad \vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1;\ a_2 - b_2)$$

Умножение на число $k$ растягивает обе координаты:

$$k\vec{a} = (k a_1;\ k a_2)$$

Геометрически сумму удобно строить по правилу треугольника или параллелограмма — результат один и тот же:

Скалярное произведение

Скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$ — это число. Через координаты считается проще всего — сумма произведений соответствующих координат:

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$$

Через длины и угол $\varphi$ между векторами:

$$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\varphi$$

Отсюда косинус угла между векторами:

$$\cos\varphi = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\,\cdot\,\sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$$

• Если оба вектора ненулевые и $\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$, они перпендикулярны ($\varphi = 90^\circ$).
• Векторы коллинеарны, если лежат на одной или параллельных прямых. В координатах проверяйте равенство $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$. Оно не требует деления и работает, даже если одна из координат равна нулю.

Часть заданий 2 даёт не координаты, а рисунок на клетчатой бумаге. Чтобы получить координаты вектора, посчитайте, на сколько клеток он сдвигается вправо (это координата $x$) и вверх (координата $y$), считая от начала стрелки к её концу.

Здесь стрелка идёт на 4 клетки вправо и на 2 вверх, поэтому $\vec{a} = (4;\,2)$. Если бы вектор шёл влево или вниз — соответствующая координата была бы отрицательной.

1. Запишите координаты всех векторов. Если даны точки — посчитайте «конец минус начало»; если рисунок — посчитайте сдвиг по клеткам вправо и вверх.
2. Выполните указанную операцию покоординатно. Сложение, вычитание, умножение на число — отдельно по $x$ и по $y$.
3. Примените нужную формулу. Длина — корень из суммы квадратов; скалярное произведение — сумма произведений координат.
4. Посчитайте и проверьте знаки. Чаще всего ошибка не в формуле, а в минусе. Скалярное произведение вполне может быть отрицательным — это нормально.
5. Запишите ответ. Без единиц измерения; десятичная дробь — через запятую.

• Перепутать начало и конец вектора

  Координаты вектора $\vec{AB}$ — это «конец минус начало»: $(x_B - x_A;\ y_B - y_A)$. Если вычесть наоборот, вектор получится противоположным.

• Складывать длины вместо координат

  Длина суммы $|\vec{a} + \vec{b}|$ почти никогда не равна сумме длин $|\vec{a}| + |\vec{b}|$. Сначала сложите координаты, и только потом ищите длину.

• Ошибки со знаками

  Самая частая причина неверного ответа — потерянный минус. Векторы по клеткам могут идти влево или вниз (отрицательные координаты), а произведение двух минусов даёт плюс.

• Путать скалярное произведение и координаты

  Скалярное произведение — это одно число ($a_1 b_1 + a_2 b_2$), а не вектор. Не нужно «перемножать координаты по отдельности» и записывать пару чисел.

• Невнимательное чтение рисунка

  На клетчатом рисунке считайте клетки от начала стрелки к её концу, а не наоборот. Легко ошибиться на одну клетку — перепроверьте по узлам сетки.

Векторы из задания 2 — это плоский случай. В задании 3 (стереометрия) и особенно в задании 15 части 2 те же формулы работают в пространстве: к координатам $x$ и $y$ добавляется $z$, а длина и скалярное произведение считаются точно так же — просто с тремя слагаемыми. Координатный метод (вектора в пространстве) — один из самых надёжных способов решать сложную стереометрию на доказательство. Так что задание 2 — это не только «лёгкий балл», но и репетиция перед частью 2.