Задание 18 ЕГЭ по математике (профиль): планиметрия с доказательством

Задание 18 профильного ЕГЭ по математике — это сложная планиметрия из части 2. В отличие от задания 1, здесь нужно не просто вычислить число, а доказать геометрический факт (пункт а) и затем найти численный результат, опираясь на это доказательство (пункт б). За задание дают до 3 первичных балла, а темы — подобие треугольников, свойства биссектрисы, теоремы Менелая и Чевы, вписанные и описанные окружности. В этой статье — что именно проверяется, все нужные теоремы, пошаговый алгоритм, разбор реального задания ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 18 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 18

Задание 18 — это полноценная геометрическая задача: нужно написать строгое доказательство и получить точный числовой ответ. Темы, на которые чаще всего встречаются задания:

Что нужно уметь

доказывать подобие треугольников по двум углам (первый признак) и применять следствие о пропорциональности сторон;
использовать свойства средней линии, медианы и биссектрисы треугольника;
применять теорему косинусов, теорему синусов и формулы площадей;
работать с вписанными и описанными окружностями, их касательными и хордами;
применять теоремы Менелая и Чевы для решения метрических задач;
грамотно и полно оформлять доказательство — со ссылками на теоремы и признаки.

Параметр	Значение
Максимальный балл	3 первичных
Уровень	Высокий
Часть	2 (развёрнутый ответ)
Формат	Полное решение, пункты а) и б)
Раздел	Планиметрия
Время	25–35 минут
Связанные задания	1

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 18 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с чертежами и мгновенной проверкой ответа. Решаем, разбираем, доказываем — бесплатно.

Решать задание 18

Как выглядит формулировка

Задание 18 всегда разбито на два пункта. Пункт а) требует доказательства (подобия, равенства отрезков, параллельности), пункт б) — численного ответа, в котором уже используется результат пункта а). Типичная структура условия:

Теория: что нужно знать

Признаки подобия и отношение площадей

Два треугольника подобны, если выполняется хотя бы одно из условий:

Первый признак (два угла): два угла одного треугольника равны двум углам другого.
Второй признак (две стороны и угол): два угла пропорциональны и угол между ними равен.
Третий признак (три стороны): все три стороны пропорциональны.

Если треугольники подобны с коэффициентом $k$ , то их площади относятся как квадрат коэффициента подобия:

\frac{S_1}{S_2} = k^2

Именно это свойство работает в пункте б) задания 18: сначала в пункте а) доказываем подобие и находим $k$ , затем возводим в квадрат.

Теоремы синусов и косинусов, формулы площадей

Теорема косинусов (стороны $a, b, c$ , угол $C$ напротив стороны $c$ ):

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Теорема синусов ( $R$ — радиус описанной окружности):

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

S = \frac{1}{2}ab\sin C

Формула двойного угла, которую часто применяют в задании 18:

\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha

Если в условии дан $\cos \angle BAC$ , а угол биссектрисой разбит на два равных угла $\alpha$ , то $\cos 2\alpha$ можно выразить через $\sin\alpha$ по формуле двойного угла — и найти нужные отношения сторон.

Биссектриса, медиана и средняя линия

Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине: $MN \parallel AC,\; MN = \tfrac{1}{2}AC$ .
Биссектриса угла делит противоположную сторону в отношении смежных сторон: $\tfrac{BD}{DC} = \tfrac{AB}{AC}$ (теорема о биссектрисе).
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Следствие: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный с прямым углом при той вершине.
Накрест лежащие углы при секущей, пересекающей параллельные прямые, равны между собой. Это ключевой факт для переноса угла биссектрисы на параллельную прямую.
Равнобедренный треугольник: если высота и медиана из одной вершины совпадают, оба равны — треугольник равнобедренный (основание — перпендикулярно).

Окружности: вписанные, описанные и касательные

Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$ .
Вписанный четырёхугольник: суммы противоположных углов равны $180^\circ$ .
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной; отрезки двух касательных из одной внешней точки равны.
Теорема Менелая: для треугольника $ABC$ и прямой-секущей, пересекающей (продолжения) сторон в точках $D, E, F$ :

\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1

Теорема Чевы: для чевиан $AD, BE, CF$ треугольника $ABC$ , пересекающихся в одной точке:

\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1

Формы теорем Менелая и Чевы внешне похожи — разница в направлении обхода. В задании 18 Менелай применяется, когда прямая-секущая пересекает стороны (или их продолжения) снаружи.

Алгоритм решения задания 18

Сделайте чёткий чертёж. Отметьте все точки, параллельные прямые, прямые углы и данные длины. Хороший чертёж — половина решения: он подскажет, какие треугольники подобны и какие пары углов нужно искать.
Пункт а): доказательство. Найдите два равных угла в треугольниках — обычно через: (1) параллельные прямые (накрест лежащие или соответственные углы), (2) биссектрису (делит угол пополам), (3) вертикальные углы, (4) прямой угол в треугольнике. Оформите каждый шаг со ссылкой на теорему или признак.
Пункт б): вычисление с опорой на а). Используйте доказанное подобие. Найдите коэффициент подобия $k$ из данных в условии (чаще всего через тригонометрию и формулу двойного угла). Отношение площадей равно $k^2$ .

Хотите потренировать задание 18?

На Repet.ai собраны реальные задания 18 из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте себя и разбирайте решение — бесплатно.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Подобие треугольников и отношение площадей

Условие (реальное задание ФИПИ, ID 81131)

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$ .

а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos \angle BAC = \dfrac{1}{9}$ .

$Прямоугольный треугольник ABC с M и N — серединами AB и BC, биссектриса угла A пересекает MN в точке L$

Реальное задание ФИПИ: прямоугольный треугольник ABC; M и N — середины AB и BC, биссектриса угла A пересекает MN в точке L

Решение пункта а)

Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CB$ соответственно. Значит, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$ , откуда немедленно следует $MN \parallel AC$ .

Обозначим $\angle CAL = \angle LAB = \alpha$ (биссектриса делит угол $BAC$ пополам). Так как $ML \parallel AC$ , накрест лежащие углы при секущей $AL$ равны: $\angle CAL = \angle MLA = \alpha$ .

В треугольнике $AML$ углы при основании равны: $\angle MAL = \angle MLA = \alpha$ . Значит, он равнобедренный: $AM = ML$ . Учитывая, что $M$ — середина $AB$ , получаем $AM = ML = MB$ .

Медиана $ML$ треугольника $ABL$ равна половине стороны $AB$ , к которой она проведена. По признаку медианы это означает, что треугольник $ABL$ прямоугольный: $\angle ALB = 90^\circ$ .

Пусть $K$ — точка пересечения прямых $AL$ и $CB$ . В треугольниках $AKC$ и $BKL$ прямые углы $\angle ACB = \angle BLA = 90^\circ$ , а углы при вершине $K$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle AKC \sim \triangle BKL$ , откуда $\angle CAK = \angle KBL = \alpha$ .

Поскольку $MN \parallel AC$ и $AC \perp CB$ , то $MN \perp CB$ . В треугольнике $CLB$ отрезок $NL$ одновременно является высотой и медианой (так как $N$ — середина $BC$ ), значит, треугольник $CLB$ равнобедренный: $\angle CBL = \angle BCL = \alpha$ .

Итого: $\angle MAL = \angle MLA = \angle CBL = \angle BCL = \alpha$ . Оба треугольника имеют два совпадающих угла, поэтому по первому признаку подобия:

\triangle AML \sim \triangle BLC

Что и требовалось доказать.

Решение пункта б)

По условию $\cos \angle BAC = \dfrac{1}{9}$ . Так как биссектриса делит угол $BAC$ пополам, то $\angle BAC = 2\alpha$ , значит $\cos 2\alpha = \dfrac{1}{9}$ .

Воспользуемся формулой двойного угла:

\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \;\Rightarrow\; \frac{1}{9} = 1 - 2\sin^2\alpha

Отсюда:

2\sin^2\alpha = \frac{8}{9} \;\Rightarrow\; \sin^2\alpha = \frac{4}{9} \;\Rightarrow\; \sin\alpha = \frac{2}{3}

Из прямоугольного треугольника $ABL$ ( $\angle ALB = 90^\circ$ ):

\sin\alpha = \frac{BL}{AB} = \frac{2}{3}

Используем подобие $\triangle AML \sim \triangle BLC$ . Соответствующие стороны пропорциональны: коэффициент подобия — это отношение $\dfrac{AM}{BL}$ .

Поскольку $M$ — середина $AB$ , имеем $AB = 2AM$ . Тогда:

\frac{BL}{AM} = \frac{BL}{\tfrac{1}{2}AB} = 2 \cdot \frac{BL}{AB} = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

Коэффициент подобия (от $\triangle AML$ к $\triangle BLC$ ):

k = \frac{AM}{BL} = \frac{3}{4}

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента:

\frac{S_{AML}}{S_{BLC}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}

Ответ: 9/16.

Пример 2. Та же конструкция, другое значение косинуса

Решение пункта б)

$\cos 2\alpha = \dfrac{7}{25}$ . По формуле двойного угла:

\frac{7}{25} = 1 - 2\sin^2\alpha \;\Rightarrow\; 2\sin^2\alpha = \frac{18}{25} \;\Rightarrow\; \sin^2\alpha = \frac{9}{25} \;\Rightarrow\; \sin\alpha = \frac{3}{5}

Из прямоугольного треугольника $ABL$ : $\dfrac{BL}{AB} = \dfrac{3}{5}$ .

Коэффициент подобия:

k = \frac{AM}{BL} = \frac{\tfrac{1}{2}AB}{BL} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AB}{BL} = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{6}

Отношение площадей:

\frac{S_{AML}}{S_{BLC}} = k^2 = \left(\frac{5}{6}\right)^2 = \frac{25}{36}

Ответ: 25/36.

Типичные ошибки и ловушки

Пункт б) без использования пункта а)
Если пункт б) обоснован самостоятельно, по критериям ФИПИ он даёт 2 балла даже без пункта а). Но если верный ответ в б) опирается на недоказанное утверждение из а), остаётся только 1 балл. Доказательство приносит третий балл, поэтому «пропускать» его невыгодно.
Путают коэффициент подобия и отношение площадей
Отношение площадей равно $k^2$ , а не $k$ . Очень частая ошибка — взять само отношение сторон вместо его квадрата. Всегда возводите в квадрат в финале.
Неверный или небрежный чертёж
Если чертёж не соответствует условию (например, прямой угол не там, где надо, или точки не на тех сторонах), решение будет строиться на неверной основе. Всегда проверяйте, что треугольник прямоугольный, что $M$ — на гипотенузе, а $N$ — на катете.
Не используется средняя линия и параллельность
Многие ученики не замечают, что отрезок, соединяющий середины двух сторон, — это средняя линия, параллельная третьей. Именно эта параллельность позволяет перенести угол биссектрисы на прямую $MN$ через накрест лежащие углы. Без этого шага доказательство не строится.
Ошибка при применении формулы двойного угла
В пункте б) дан $\cos \angle BAC$ , то есть $\cos 2\alpha$ , а не $\cos \alpha$ . Подставляйте именно $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ , а не пытайтесь сразу найти $\sin \angle BAC$ из дополнения до 1.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 18 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

До 3 первичных баллов. 3 балла — верное доказательство в пункте а) и обоснованно верный ответ в пункте б). 2 балла — обоснованно верный ответ в пункте б) даже без пункта а) или верное доказательство а) при арифметической ошибке в б). 1 балл — только верное доказательство а), либо верный ответ в б), полученный с опорой на недоказанное утверждение а). Это одно из самых «дорогих» заданий части 2.

Чаще всего: подобие треугольников (доказательство по двум углам и следствие об отношении площадей), свойства средней линии, биссектрисы и медианы. Реже — вписанные и описанные окружности, вписанные углы, теорема косинусов, теоремы Менелая и Чевы.

Теорема Менелая и теорема Чевы встречаются в задании 18, но не в каждом варианте. Чаще всего достаточно признаков подобия, свойств параллельных прямых и средней линии. Тем не менее для максимального результата рекомендуется знать оба утверждения.

Площадь — двумерная характеристика. Если все линейные размеры увеличились в k раз, то длины выросли в k, а площадь — в k². Это прямо следует из формулы S = (1/2)ab·sinC: оба множителя a и b выросли в k раз, значит произведение — в k².

Если дан cos∠BAC и угол разбит биссектрисой на два угла α, то cos∠BAC = cos 2α. Применяем формулу: cos 2α = 1 − 2sin²α, находим sin α. Затем из прямоугольного треугольника (который образуется благодаря доказанному в пункте а) прямому углу) выражаем нужную сторону через sin α, и получаем коэффициент k.

25–35 минут. Задание 18 — одно из самых трудоёмких в части 2. Если застряли на доказательстве пункта а) более 15 минут — перейдите к другим заданиям и вернитесь в конце. Частичный балл за пункт б) можно получить, даже если пункт а) оформлен не идеально.

Каждое утверждение должно сопровождаться ссылкой на теорему или признак: «по признаку подобия треугольников (два угла)», «как накрест лежащие углы при параллельных прямых», «медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы». Проверяющий должен видеть логическую цепочку без пропусков.

Готовы взять все 3 балла за планиметрию?

Задание 18 — наиболее «дорогая» геометрическая задача ЕГЭ. Доведите навык доказательства подобия до автоматизма: тогда пункт а) займёт не более 10 минут, и останется время на вычисления в пункте б). На Repet.ai собраны реальные задания 18 из банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа.

Тренировать задание 18 Связанное задание 1 Все задания ЕГЭ по математике