Задание 17 ЕГЭ по математике (профиль): прикладная задача на наибольшее значение

Задание 17 впервые появилось в КИМ 2027 года. ФИПИ добавил его в часть 2, из-за чего заданий в варианте стало 20, а максимальный первичный балл вырос с 32 до 33. Это прикладная задача на наибольшее или наименьшее значение с развёрнутым ответом на 2 балла: вам дают формулу из физики, экономики или геометрии и просят найти максимум величины, а решение надо записать целиком в бланк ответов № 2. ФИПИ отводит на него 20 минут. Часть 2 — это задания 14–20. Важно понимать: открытый банк заданий по этой линии пока пуст, единственные официальные примеры — два задания из демоверсии 2027, и оба разобраны ниже. Тренироваться можно в тренажёре задания 17 ЕГЭ онлайн.

Что проверяет задание 17

План экзаменационной работы описывает задание 17 так: «умение моделировать реальные ситуации на языке математики; составлять выражения, уравнения, неравенства и их системы по условию задачи, исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры и начал математического анализа, интерпретировать полученный результат; умение решать текстовые задачи разных типов, в том числе задачи из других учебных предметов». Проще говоря: вам дают готовую формулу из физики или экономики и просят исследовать её на максимум, а исследование надо оформить как доказательство.

Что нужно уметь

Собрать из данных условия функцию одной переменной и записать её область определения по физическому смыслу;
Находить производную, включая правило частного и правило сложной функции;
Находить критические точки — решать уравнение $f'(x) = 0$ на области определения;
Показывать знак производной слева и справа от критической точки и делать вывод о монотонности;
Обосновывать, что найденная точка даёт именно наибольшее (или наименьшее) значение, — на отрезке или на луче;
Записывать решение полностью в бланк ответов № 2 и давать ответ с единицами измерения.

Параметр	Значение
Максимальный балл	2 первичных
Уровень	Повышенный
Часть	2 (развёрнутый ответ, бланк ответов № 2)
Формат ответа	Полное обоснованное решение и ответ
Раздел	Моделирование реальных ситуаций + начала математического анализа (требования 4 и 6, КЭС 1–4)
Рекомендуемое время	20–30 минут
Связанные задания	9 (производная и первообразная), 10 (прикладные задачи), 12 (графики функций)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Прикладные задачи на наибольшее и наименьшее значение и техника производной — в одном тренажёре, бесплатно. Решайте и сверяйте ход решения.

Решать задание 17

Критерии оценивания

Задание 17 проверяет эксперт, а не компьютер. Критерии из демоверсии 2027 короткие и жёсткие:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ключевое слово здесь — «обоснованно». Верный ответ без обоснования даёт 0 баллов, потому что он не подходит ни под один критерий. На практике «обоснованно» означает шесть пунктов:

Что должно быть в бланке

выписана функция одной переменной, собранная из формул условия;
указана область определения по смыслу задачи ( $R \ge 0$ , $\tau > 0$ и тому подобное);
найдена производная — с показанными выкладками;
показан знак производной слева и справа от критической точки (или сделана ссылка на монотонность);
сделан явный вывод: «это точка максимума», «функция возрастает на … и убывает на …»;
выполнена подстановка и записан ответ — с единицами измерения там, где они есть.

Второй критерий стоит прочитать внимательно: если вы ошиблись в арифметике, но все шаги записаны и верны, вы получаете 1 балл. Если шаги в голове, а на бумаге только ответ, — 0. Поэтому выгодно писать даже те выкладки, которые кажутся очевидными.

Как выглядит формулировка

В демоверсии 2027 линия 17 представлена двумя вариантами через «ИЛИ». Оба — задачи из физики: в них дана готовая формула, и никаких физических знаний сверх умения подставить числа не нужно.

Задание 17

Демоверсия ЕГЭ 2027, вариант с генератором

На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon = 50$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I = \dfrac{\varepsilon}{r + R}$ . Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: $P = I^2 R$ . Какова максимальная тепловая мощность $P$ , которая может быть выделена нагрузкой?

Задание 17

Демоверсия ЕГЭ 2027, вариант с качкой корабля

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой

A = k\theta_0 \cdot \frac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2 - \tau^2\right)^2 + n\tau^2 T^2}},

где $k = 0{,}91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0 = 9\ ^\circ$ — угол наибольшего волнового склона, $\tau$ — период волны (в секундах), $T = 14{,}7$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n = 0{,}0792$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Обратите внимание: в первом варианте спрашивают значение функции (мощность $P$ ), а во втором — значение аргумента (период $\tau$ ). Это разные ответы при одной и той же технике решения.

Теория, необходимая для задания 17

Разберём пять блоков: как из текста задачи получается функция одной переменной, что такое производная и критические точки, как по знаку производной определить тип экстремума, как искать наибольшее значение на отрезке и на луче и, наконец, справочная таблица производных плюс приёмы, экономящие время.

Как устроена прикладная задача на максимум

Любое задание 17 решается по одной и той же схеме из трёх шагов. Математики в ней ровно столько же, сколько в бывшем задании на производную, — новое здесь только оформление и первый шаг.

Постройте функцию одной переменной. В условии обычно даны две-три формулы и несколько числовых констант. Подставьте одну формулу в другую, подставьте числа и получите выражение, в котором осталась ровно одна буква. В примере с генератором это $I = \dfrac{\varepsilon}{r+R}$ внутри $P = I^2R$ ; после подстановки $\varepsilon = 50$ и $r = 1$ остаётся только $R$ .
Определите область допустимых значений по физическому смыслу переменной, а не по формуле. Сопротивление не бывает отрицательным: $R \ge 0$ . Период волны положителен: $\tau > 0$ . Длина стороны коробки меньше половины листа. Эту строчку эксперт ищет отдельно — без неё обоснование неполное.
Исследуйте функцию производной. Найдите $f'(x)$ , решите $f'(x) = 0$ , определите знак производной по обе стороны от корня и сделайте вывод о наибольшем значении.

Область определения почти всегда оказывается лучом вида $[0;\, +\infty)$ или $(0;\, +\infty)$ , а не отрезком. Поэтому привычный приём «посчитать значения на концах» не работает — обосновывать придётся через монотонность.

Производная и критические точки

Производная $f'(x)$ показывает скорость изменения функции в каждой точке. Там где $f'(x) > 0$ , функция возрастает; там где $f'(x) < 0$ — убывает.

Критическая точка — это такое значение $x_0$ из области определения, в котором производная равна нулю:

f'(x_0) = 0

Критическая точка — это кандидат на экстремум, но не обязательно сам экстремум. Проверка смены знака производной вокруг неё — это и есть то обоснование, за отсутствие которого снимают оба балла.

В прикладной задаче функция почти всегда дробная. Полезное наблюдение: знаменатель, положительный на всей области (например $(R+1)^3$ при $R \ge 0$ ), не влияет на знак производной. Достаточно приравнять к нулю числитель и по нему же расставить знаки.

Критические точки, не попавшие в область определения по смыслу задачи, отбрасываются. Отрицательное сопротивление или отрицательный период — не решения, даже если формально обращают производную в ноль.

Знак производной: максимум и минимум

Чтобы определить тип критической точки, используют метод интервалов: расставляем критические точки и границы области определения на числовой прямой, затем проверяем знак $f'(x)$ на каждом интервале (подставляем любое удобное значение).

Если на интервале слева знак $+$ , а справа $-$ — это точка максимума: функция поднималась и начала опускаться.
Если слева $-$ , а справа $+$ — это точка минимума: функция опускалась и начала подниматься.
Если знак не меняется — точка не является экстремумом (например, точка перегиба).

Удобная схема (стрелки показывают монотонность):

\underbrace{\nearrow}_{\scriptscriptstyle f'>0} \quad x_{\max} \quad \underbrace{\searrow}_{\scriptscriptstyle f'<0} \qquad \underbrace{\searrow}_{\scriptscriptstyle f'<0} \quad x_{\min} \quad \underbrace{\nearrow}_{\scriptscriptstyle f'>0}

В бланке эту схему надо перевести в слова: «производная положительна при $0 \le R < 1$ и отрицательна при $R > 1$ , значит функция возрастает на $[0;\, 1]$ и убывает на $[1;\, +\infty)$ ». Именно так формулирует вывод сам ФИПИ.

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке и на луче

На замкнутом отрезке $[a;\, b]$ непрерывная функция обязательно достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Алгоритм:

Найти $f'(x)$ и критические точки (решить $f'(x) = 0$ на отрезке $[a;\, b]$ ).
Вычислить значение функции во всех критических точках $x_i \in (a;\, b)$ и на обоих концах:
$f(a),\quad f(x_1),\quad f(x_2),\quad \ldots,\quad f(b)$
Наибольшее из этих чисел — максимум, наименьшее — минимум функции на отрезке.

Если критических точек на отрезке нет (производная сохраняет знак), функция монотонна: наибольшее значение — на одном конце, наименьшее — на другом.

Но в задании 17 отрезка обычно нет. Область определения — луч $[0;\, +\infty)$ или $(0;\, +\infty)$ , у которого правого конца не существует, а значит подставлять некуда. Тогда вывод делают по знаку производной:

f' > 0 \text{ на } [0;\, x_0], \quad f' < 0 \text{ на } [x_0;\, +\infty) \implies f(x_0) - \text{наибольшее}

Словами: функция возрастает до $x_0$ , после $x_0$ убывает, следовательно нигде на луче она не принимает значения больше $f(x_0)$ . Это ровно то рассуждение, которым ФИПИ обосновывает ответ в обоих примерах демоверсии.

Симметрично для минимума: убывает до $x_0$ , возрастает после — значит $f(x_0)$ наименьшее на всём луче. Такая формулировка сильнее, чем «это точка максимума»: она сразу говорит о наибольшем значении на всей области, а не только в окрестности точки.

Таблица производных для ЕГЭ

Функция	Производная	Условия
$x^n$	$n\,x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}$
$e^x$	$e^x$	—
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0,\; a \ne 1$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$	$x > 0$
$\log_a x$	$\dfrac{1}{x \ln a}$	$x > 0,\; a > 0,\; a \ne 1$
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$u \cdot v$	$u'v + uv'$	правило произведения
$\dfrac{u}{v}$	$\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$	правило частного, $v \ne 0$
$f(g(x))$	$f'(g(x)) \cdot g'(x)$	правило цепочки (сложная функция)

Две последние строки таблицы — рабочие лошадки задания 17: в обоих примерах демоверсии функция дробная, а знаменатель — сложная функция. Разберём их отдельно.

Правило частного. Порядок слагаемых в числителе важен, знак минус стоит перед вторым:

\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

Правило сложной функции. Если аргумент — не просто $x$ , а выражение, домножьте на его производную:

\bigl(f(g(x))\bigr)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Самые частые случаи: $\bigl((R+1)^2\bigr)' = 2(R+1)$ и $\bigl(\sqrt{u}\bigr)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ .

Приёмы, которые экономят время

Четыре приёма ниже сокращают выкладки в разы. Первые два ФИПИ использует прямо в эталонном решении демоверсии.

Избавьтесь от корня через квадрат. Если $A > 0$ на всей области, то $A$ и $A^2$ достигают максимума в одной и той же точке: возведение в квадрат строго возрастает на положительных числах. Значит вместо $A = \dfrac{c\tau^2}{\sqrt{D(\tau)}}$ можно исследовать $A^2 = \dfrac{c^2\tau^4}{D(\tau)}$ — и не дифференцировать корень.
Сделайте замену переменной. Если переменная входит только в чётных степенях, замена $x = \tau^2$ (при $\tau > 0$ она обратима) понижает степень вдвое и превращает выражение четвёртой степени в квадратное. В конце не забудьте вернуться: $\tau_0 = \sqrt{x_0}$ .
Сведите $\dfrac{cR}{(R+r)^2}$ к неравенству о среднем. Поделите числитель и знаменатель на $R > 0$ :
$\frac{cR}{(R+r)^2} = \frac{c}{\dfrac{(R+r)^2}{R}} = \frac{c}{R + 2r + \dfrac{r^2}{R}}$
Для положительных чисел $R + \dfrac{r^2}{R} \ge 2r$ , причём равенство достигается при $R = r$ . Значит знаменатель не меньше $4r$ , а вся дробь не больше $\dfrac{c}{4r}$ . Производная не понадобилась — но обоснование всё равно записано полностью.
Не трогайте положительный знаменатель. Если $v(x) > 0$ на всей области, то знак $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ совпадает со знаком числителя. Достаточно написать «знаменатель положителен при всех допустимых $x$ » и дальше работать только с числителем.

Алгоритм решения задания 17

Все семь шагов пишутся в бланк ответов № 2. Пропуск любого из них превращает 2 балла в 1 или в 0.

Прочитайте вопрос и подчеркните, что искать. Максимальную мощность (значение функции) или период, при котором амплитуда наибольшая (значение аргумента)? От этого зависит, что вы напишете после слова «Ответ».
Соберите функцию одной переменной. Подставьте одну данную формулу в другую, подставьте все числовые константы и получите выражение с одной буквой. Обозначьте её явно: $P(R) = \ldots$
Запишите область определения по смыслу задачи. Одна строка: $R \ge 0$ , потому что сопротивление неотрицательно. Без неё обоснование неполное.
Вычислите производную $f'(x)$ — с выкладками, а не сразу ответ. Для дроби применяйте правило частного, для степени скобки — правило сложной функции. Упростите числитель, вынеся общий множитель.
Решите уравнение $f'(x) = 0$ и отберите корни, лежащие в области определения. Если знаменатель положителен всюду, приравнивайте к нулю только числитель — и скажите об этом в решении.
Обоснуйте характер точки. Напишите знак производной слева и справа от $x_0$ и сделайте вывод словами: «функция возрастает на $[0;\, x_0]$ и убывает на $[x_0;\, +\infty)$ , значит наибольшее значение достигается в точке $x_0$ ».
Подставьте, посчитайте и запишите ответ с единицами измерения, а затем проверьте порядок величины: 625 Вт для генератора и 15 с для волны выглядят правдоподобно, а 6250 Вт или 150 с — нет.

Отработайте оформление, а не только счёт

Прорешайте 10–15 прикладных задач на максимум подряд, каждый раз записывая решение полностью. Правило частного, область определения и вывод о монотонности станут автоматическими.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Оба примера — из демоверсии ЕГЭ 2027. Решения записаны так, как их надо переписать в бланк ответов № 2: с областью определения, выкладками производной и явным выводом о монотонности.

Пример 1. Максимальная мощность на нагрузке

Задание 17

Демоверсия ЕГЭ 2027, профильный уровень

Решение

Шаг 1. Строим функцию одной переменной. Подставим силу тока в формулу Джоуля — Ленца:

P = I^2 R = \left(\frac{\varepsilon}{r + R}\right)^2 R = \frac{\varepsilon^2 R}{(r + R)^2}

Подставим $\varepsilon = 50$ и $r = 1$ , тогда $\varepsilon^2 = 2500$ :

P(R) = \frac{2500R}{(R + 1)^2}

Шаг 2. Область определения. Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем $R \ge 0$ . Знаменатель $(R+1)^2$ при этом в ноль не обращается.

Шаг 3. Производная. Применим правило частного с $u = 2500R$ , $u' = 2500$ , $v = (R+1)^2$ , $v' = 2(R+1)$ :

P'(R) = \frac{2500(R+1)^2 - 2500R \cdot 2(R+1)}{(R+1)^4}

Вынесем $2500(R+1)$ в числителе и сократим на $(R+1)$ :

P'(R) = \frac{2500(R+1)\bigl[(R+1) - 2R\bigr]}{(R+1)^4} = \frac{2500(1 - R)}{(R + 1)^3}

Шаг 4. Знак производной. При $R \ge 0$ знаменатель $(R+1)^3 > 0$ , поэтому знак $P'(R)$ совпадает со знаком множителя $1 - R$ :

при $0 \le R < 1$ имеем $P'(R) > 0$ — функция возрастает;
при $R > 1$ имеем $P'(R) < 0$ — функция убывает.

Шаг 5. Вывод. Функция $P(R)$ возрастает на отрезке $[0;\, 1]$ и убывает на луче $[1;\, +\infty)$ . Следовательно, наибольшее значение достигается в точке $R = 1$ .

Шаг 6. Подстановка.

P(1) = \frac{2500 \cdot 1}{(1 + 1)^2} = \frac{2500}{4} = 625

Ответ: 625 Вт.

Альтернативное решение без производной

Поделим числитель и знаменатель на $R > 0$ :

P(R) = \frac{2500R}{(R+1)^2} = \frac{2500}{\dfrac{(R+1)^2}{R}} = \frac{2500}{R + 2 + \dfrac{1}{R}}

Для любого $R > 0$ верно неравенство о среднем $R + \dfrac{1}{R} \ge 2$ , причём равенство достигается только при $R = \dfrac{1}{R}$ , то есть при $R = 1$ . Значит знаменатель не меньше 4, и

P(R) = \frac{2500}{R + 2 + \dfrac{1}{R}} \le \frac{2500}{4} = 625

При $R = 0$ мощность равна нулю, так что край области определения максимум не даёт. Наибольшее значение 625 Вт достигается при $R = 1$ — то есть при $R = r$ . Это известный в физике режим согласования: мощность в нагрузке максимальна, когда её сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника, и равна $\dfrac{\varepsilon^2}{4r}$ . Такая проверка занимает пять секунд и ловит ошибку в выкладках.

Пример 2. Период волны, при котором качка наибольшая

Задание 17

Демоверсия ЕГЭ 2027, профильный уровень

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой

A = k\theta_0 \cdot \frac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2 - \tau^2\right)^2 + n\tau^2 T^2}},

Решение

Шаг 1. Избавляемся от корня. При $\tau > 0$ амплитуда $A > 0$ , поэтому максимумы $A$ и $A^2$ достигаются в одной точке. Возведём в квадрат:

A^2 = (k\theta_0)^2 \cdot \frac{\tau^4}{\left(T^2 - \tau^2\right)^2 + n\tau^2 T^2}

Множитель $(k\theta_0)^2$ постоянный и на положение максимума не влияет — значения $k$ и $\theta_0$ в решении не понадобятся.

Шаг 2. Замена переменной. Положим $x = \tau^2$ , где $x > 0$ . Тогда $\tau^4 = x^2$ , а знаменатель раскрывается так:

\left(T^2 - x\right)^2 + nxT^2 = T^4 - 2T^2x + x^2 + nT^2x = x^2 - (2 - n)T^2x + T^4

Достаточно исследовать на экстремум функцию

f(x) = \frac{x^2}{x^2 - (2 - n)T^2x + T^4}, \qquad x > 0

Шаг 3. Производная. Знаменатель при $x > 0$ положителен: это в точности подкоренное выражение исходной формулы, а оно строго больше нуля. Обозначим его $v(x)$ и применим правило частного:

f'(x) = \frac{2x\bigl(x^2 - (2-n)T^2x + T^4\bigr) - x^2\bigl(2x - (2-n)T^2\bigr)}{v(x)^2}

Раскроем числитель:

2x^3 - 2(2-n)T^2x^2 + 2T^4x - 2x^3 + (2-n)T^2x^2 = -(2-n)T^2x^2 + 2T^4x

Вынесем $T^2x$ :

f'(x) = \frac{T^2x\bigl(2T^2 - (2-n)x\bigr)}{\bigl(x^2 - (2-n)T^2x + T^4\bigr)^2}

Шаг 4. Критическая точка и знак. При $x > 0$ множитель $T^2x > 0$ и знаменатель положителен, поэтому знак $f'(x)$ совпадает со знаком скобки $2T^2 - (2-n)x$ . Она обращается в ноль при

2T^2 - (2 - n)x_0 = 0 \implies x_0 = \frac{2T^2}{2 - n} = \frac{T^2}{1 - \dfrac{n}{2}}

Так как $n = 0{,}0792 < 2$ , скобка убывает по $x$ : значит $f'(x) > 0$ при $0 < x < x_0$ и $f'(x) < 0$ при $x > x_0$ . Функция $f$ возрастает на $(0;\, x_0]$ и убывает на $[x_0;\, +\infty)$ , поэтому $x_0$ — точка максимума.

Шаг 5. Возвращаемся к периоду. Так как $x = \tau^2$ и $\tau > 0$ :

\tau_0 = \sqrt{x_0} = \frac{T}{\sqrt{1 - \dfrac{n}{2}}}

Шаг 6. Арифметика. Считаем по шагам: $n = 0{,}0792$ , значит $\dfrac{n}{2} = 0{,}0396$ , значит $1 - 0{,}0396 = 0{,}9604$ , а $\sqrt{0{,}9604} = 0{,}98$ (проверка: $0{,}98^2 = 0{,}9604$ ). Отсюда

\tau_0 = \frac{14{,}7}{\sqrt{1 - \dfrac{0{,}0792}{2}}} = \frac{14{,}7}{\sqrt{0{,}9604}} = \frac{14{,}7}{0{,}98} = 15

Ответ: 15 секунд.

Типичные ошибки и ловушки

Нашли критическую точку и не обосновали, что это максимум
Самая дорогая ошибка. По критериям балл ставят за обоснованно полученный ответ. Если в бланке есть $P'(R) = 0 \implies R = 1$ и сразу «Ответ: 625», это 0 баллов: не показано, что в точке $R = 1$ именно максимум, а не минимум и не перегиб. Добавьте две строки про знак производной слева и справа — и решение станет полным.
Потеряли область определения по смыслу задачи
Сопротивление неотрицательно ( $R \ge 0$ ), период волны положителен ( $\tau > 0$ ), сторона коробки меньше половины листа. Без этой строки вы рискуете «найти» максимум в точке, которой в задаче не существует, и заодно потерять обоснование.
Ошиблись в знаке при дифференцировании частного
Правило частного — $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ , минус стоит перед вторым слагаемым, и порядок множителей менять нельзя. Перепутанный знак в числителе разворачивает вывод: максимум превращается в минимум. Быстрая проверка — подставьте в производную одно число и сверьте знак с поведением функции.
Ответили значением аргумента вместо значения функции
В демо про генератор спрашивают мощность $P$ , поэтому ответ 625, а не 1. В демо про корабль спрашивают период $\tau$ , поэтому ответ 15, а не значение амплитуды. Перечитайте последнее предложение условия перед тем, как писать «Ответ».
Забыли единицы измерения
Задание прикладное, и ответ — физическая величина: 625 Вт, 15 секунд. Если условие говорит «ответ дайте в секундах», запишите именно так. Единицы стоят копейки в оформлении и показывают эксперту, что вы поняли смысл величины.
Арифметическая ошибка в самом конце
Это единственная ошибка, которая по критериям стоит не двух баллов, а одного: «получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения» — 1 балл. Но это работает, только если шаги записаны. Считаете в уме — теряете и второй балл.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны прикладные задачи на наибольшее и наименьшее значение. Решайте онлайн и сверяйте не только ответ, но и ход решения — бесплатно.

Перейти к практике

Связанные темы

Техника производной и умение читать прикладную формулу нужны ещё в нескольких заданиях варианта:

Задание 9: производная и первообразная Задание 10: прикладные задачи Тренажёр задания 17

План подготовки к заданию 17

Неделя 1 — техника производной

Цель недели — считать производную без ошибок. Отдельно отработайте правило частного и правило сложной функции: берите дроби вида $\dfrac{ax}{(x+b)^2}$ и $\dfrac{x^2}{x^2 + cx + d}$ , каждый раз выносите общий множитель и упрощайте числитель до конца. Затем исследуйте эти же функции на монотонность: находите критическую точку, расставляйте знаки и записывайте вывод словами «возрастает на …, убывает на …». По 8–10 функций в день.

Неделя 2 — прикладные модели и оформление

Переходите к моделям из физики и экономики: мощность на нагрузке при разном сопротивлении, площадь прямоугольника при заданном периметре, объём коробки из листа картона, себестоимость продукции, расход топлива. В каждой задаче отдельно проговорите три шага: какая функция, какая область определения, какой вывод о монотонности. Последние два дня посвятите оформлению: пишите решение в бланк целиком и проверяйте себя по критериям — есть ли область определения, есть ли знак производной по обе стороны от точки, есть ли единицы измерения в ответе.

Соберите обе недели в одном тренажёре

Прикладные задачи на максимум и техника производной — с проверкой и разбором. Решайте онлайн, бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

Да. Задание 17 впервые появилось в КИМ 2027 года. ФИПИ добавил его в часть 2, поэтому заданий в варианте стало 20 вместо 19, а максимальный первичный балл вырос с 32 до 33. Одновременно из экзамена убрали прежнее задание 12 на наибольшее и наименьшее значение с кратким ответом: та же тема теперь проверяется здесь, но с развёрнутым ответом.

Максимум 2 первичных балла. Критерии ФИПИ: 2 балла — обоснованно получен верный ответ; 1 балл — получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения; 0 баллов — решение не соответствует ни одному из этих критериев. Верный ответ без обоснования даёт 0 баллов, потому что он не подходит ни под один критерий.

Нет. Все формулы даны прямо в условии: закон Ома, формула Джоуля — Ленца, формула амплитуды качки. От вас требуется подставить одну формулу в другую, подставить числа и исследовать получившуюся функцию производной. Физический смысл нужен только в одном месте — чтобы записать область определения: сопротивление неотрицательно, период положителен.

Иногда да. Функцию вида cR/(R + r)² сводят к неравенству о среднем: после деления на R знаменатель равен R + 2r + r²/R, а R + r²/R ≥ 2r с равенством при R = r. Квадратичную функцию исследуют через вершину параболы. Но способ не отменяет требования: обоснование всё равно надо записать полностью, иначе балл не поставят.

Шесть вещей: функцию одной переменной, собранную из формул условия; её область определения по смыслу задачи; производную с выкладками; знак производной слева и справа от критической точки; явный вывод «функция возрастает на … и убывает на …, значит наибольшее значение достигается в точке …»; подстановку и ответ с единицами измерения. Черновик эксперт не проверяет.

ФИПИ отводит на него 20 минут. Закладывайте 20–30 минут вместе с записью решения в бланк. Если через 10 минут вы не получили функцию одной переменной, переходите к другому заданию части 2 и возвращайтесь позже: задания 18–20 стоят 3 и 4 балла.

Пока нет. Открытый банк заданий по линии 17 не наполнен, единственные официальные примеры — два задания из демоверсии 2027 (про генератор и про качку корабля), оба разобраны в этой статье. До появления банка тренируйтесь на прикладных задачах на максимум из школьных задачников и на заданиях 9 и 10, где отрабатывается та же техника.

Готовы взять 2 балла части 2?

Задание 17 — самое доступное задание части 2: техника в нём школьная, а балл зависит от оформления. Отработайте три шага — функция, область определения, знак производной — и 2 балла станут вашими. На Repet.ai есть тренажёр с проверкой и разбором.

Тренировать задание 17 Задание 9: производная и первообразная Все задания ЕГЭ по математике