Задание 10 ЕГЭ по математике (профиль): прикладные задачи

Задание 10 профильного ЕГЭ по математике — это прикладная задача с готовой формулой. В условии дана физическая или экономическая зависимость (закон движения, формула мощности, спрос и выручка, период полураспада), известны все величины, кроме одной, — и нужно эту одну найти. По сути задача всегда сводится к одному действию: подставить данные в формулу и решить уравнение или неравенство относительно искомой буквы. Тип уравнения зависит от формулы: линейное, квадратное, иррациональное, показательное или логарифмическое — но решать их вы уже умеете из задания 7. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. За задание дают 1 первичный балл по принципу «всё или ничего». В статье — что проверяют, какие типы формул встречаются, пошаговый алгоритм, разбор реальных заданий из банка ФИПИ и типичные ошибки. Тренироваться можно на реальных заданиях 10 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой ответа и разбором.

Что проверяет задание 10

Задание проверяет умение применять математику к практической ситуации: прочитать формулу, понять, что в ней известно, а что требуется найти, и решить получившееся уравнение. Что нужно уметь:

Что нужно уметь

выписывать из условия известные величины и искомую переменную;
подставлять числа в данную формулу и приводить выражение к уравнению относительно одной буквы;
решать линейные, дробно-рациональные, квадратные, иррациональные, показательные и логарифмические уравнения;
переходить от неравенства к уравнению, когда спрашивают «не менее» или «не более»;
выбирать корень по смыслу задачи (время и масса не бывают отрицательными).

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Повышенный
Формат ответа	Целое число или конечная десятичная дробь
Раздел	Прикладные задачи (уравнение или неравенство по готовой формуле)
Рекомендуемое время	3–5 минут
Связанные задания	7 (простейшие уравнения), 11 (текстовые задачи)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 10 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа и разбором. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 10

Как выглядит формулировка

Условие всегда строится одинаково: описывается ситуация, даётся формула с буквенными обозначениями, перечисляются известные значения и задаётся вопрос про оставшуюся величину. Самые частые формулировки:

Главное наблюдение: думать над физикой не нужно. Формула уже выведена за вас — задача чисто алгебраическая.

Какие уравнения встречаются

После подстановки данных вы получаете уравнение одного из пяти типов. Узнать тип легко по виду формулы — и сразу понятно, каким приёмом его решать.

Линейные и дробно-рациональные

Искомая буква входит в первой степени, возможно — в знаменателе дроби (формулы для напряжения, сопротивления, эффекта Доплера). От дроби избавляются умножением на знаменатель:

a=\frac{bX}{X+c}\;\Rightarrow\; a(X+c)=bX

Дальше раскрываем скобки, собираем $X$ в одну часть — и получаем линейное уравнение $kX=m$ .

Квадратные (и неравенства)

Если в формуле есть $t^2$ (законы движения, высота брошенного тела), после подстановки выходит квадратное уравнение:

at^2+bt+c=0\;\Rightarrow\; t_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Часто удобнее теорема Виета: $t_1+t_2=-\frac{b}{a}$ , $t_1\cdot t_2=\frac{c}{a}$ . Из двух корней выбирают подходящий по смыслу.

Если спрашивают «сколько времени тело было не ниже высоты $h$ », это неравенство: находят оба корня уравнения $h(t)=h$ и берут разность $t_2-t_1$ — длину промежутка между ними.

Иррациональные и степенные

Есть корень — обе части возводят в квадрат; есть степень $T^4$ (закон Стефана-Больцмана) — извлекают корень нужной степени:

v=\sqrt{2la}\;\Rightarrow\; v^2=2la, \qquad T^4=A\;\Rightarrow\; T=\sqrt[4]{A}

Степени десятки удобно считать отдельно: $\sqrt[4]{2{,}56\cdot10^{14}}=\sqrt[4]{256\cdot10^{12}}=4\cdot10^{3}$ .

Показательные

Искомая буква стоит в показателе степени (радиоактивный распад, остывание). Обе части приводят к одному основанию и приравнивают показатели:

m_0\cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}=m\;\Rightarrow\; 2^{-\frac{\tau}{T}}=\frac{m}{m_0}=2^{-k}\;\Rightarrow\; \frac{\tau}{T}=k

Главное — представить число справа как степень с тем же основанием: $\tfrac14=2^{-2}$ , $\tfrac18=2^{-3}$ .

Логарифмические

В формуле есть логарифм (работа газа при сжатии, уровень громкости). Изолируют логарифм и переходят к показательной форме по определению:

\log_2\frac{V_1}{V_2}=k\;\Rightarrow\; \frac{V_1}{V_2}=2^{k}

Сначала делят на все коэффициенты перед логарифмом, потом раскрывают определение $\log_a b=k\Leftrightarrow b=a^{k}$ .

Алгоритм решения задания 10

Выпишите формулу и данные. Отметьте, чему равны все буквы, и обведите ту, которую нужно найти.
Подставьте числа. Аккуратно вставьте известные значения в формулу — на месте останется только искомая буква.
Определите тип уравнения. Дробь, квадрат, корень, степень или логарифм — от этого зависит приём решения (см. таблицу выше).
Решите уравнение или неравенство. Упростите, приведите к стандартному виду и найдите корни. Для неравенства «не менее / не более» найдите оба корня и возьмите длину промежутка.
Выберите корень по смыслу и запишите ответ. Время, масса, длина не бывают отрицательными; читайте, спрашивают «первый момент» или «последний». Ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

Боитесь длинных физических формул?

Решите подряд десяток заданий 10 — и увидите, что за разными «физическими» обёртками прячутся всего пять типов уравнений из задания 7. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и пошаговый разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Дробно-рациональное уравнение (напряжение на нагрузке)

Пример 2. Квадратное уравнение (путь при торможении)

Пример 3. Иррациональное уравнение (разгон автомобиля)

Пример 4. Показательное уравнение (радиоактивный распад)

Пример 5. Логарифмическое уравнение (работа при сжатии воздуха)

Пример 6. Неравенство «не менее» (полёт мяча)

Решение

Мяч пересекает отметку 3 м дважды — на подъёме и на спуске. Искомое время — это промежуток между этими моментами. Приравниваем высоту к 3:

1{,}4+9t-5t^2=3\;\Rightarrow\; 5t^2-9t+1{,}6=0

Решаем через дискриминант: $D=81-4\cdot5\cdot1{,}6=81-32=49$ , $\sqrt{D}=7$ :

t_{1,2}=\frac{9\pm7}{10}\;\Rightarrow\; t_1=0{,}2,\quad t_2=1{,}6

Мяч находится на высоте не ниже 3 м от $t_1=0{,}2$ до $t_2=1{,}6$ с. Длина промежутка: $1{,}6-0{,}2=1{,}4$ с. Ответ: 1,4.

Типичные ошибки и ловушки

Искать не ту букву
В формуле много обозначений. Перед подстановкой чётко выделите, что дано, а что требуется найти, — иначе легко выразить не ту величину.
Взять не тот корень квадратного уравнения
Время и масса неотрицательны. Если спрашивают «первый момент» — берут меньший корень, если «последний» — больший. Перечитайте вопрос.
В неравенстве записать корень вместо промежутка
В вопросе «сколько времени …» ответ — это длина промежутка $t_2-t_1$ , а не сам корень. Не забудьте вычесть.
Запутаться в степенях десятки
В задачах про звёзды и распад много множителей вида $10^{n}$ . Считайте степени отдельно от мантисс и не теряйте показатель.
Игнорировать единицы измерения
Если в условии скорость в км/ч, а ускорение в км/ч², подставляйте как есть — формула уже согласована. Но ответ записывайте в тех единицах, которые просят.

Чем задание 10 связано с другими

Задание 10 — это задание 7 в прикладной обёртке. Все уравнения (линейные, квадратные, иррациональные, показательные, логарифмические) вы уже решали в задании 7; здесь добавляется лишь шаг «подставить данные в формулу». Умение переводить условие в уравнение пригодится и в задании 11 (текстовые задачи на движение, работу и проценты), где формулу нужно составить уже самому. Освоив задание 10, вы закрываете гарантированный балл и тренируете навык математического моделирования.

Задание 9: производная и первообразная Задание 7: простейшие уравнения Решать задание 10 онлайн

План подготовки на неделю

Дни 1–5 — по типу уравнения в день

День 1 — линейные и дробно-рациональные (напряжение, Доплер). День 2 — квадратные (законы движения, высота). День 3 — иррациональные и степенные (разгон, Стефана-Больцмана). День 4 — показательные (распад, остывание). День 5 — логарифмические (работа газа). Каждый день решайте по 8–10 однотипных заданий, проговаривая, к какому уравнению сводится формула.

Дни 6–7 — вперемешку и работа над выбором корня

Решайте задания всех типов вперемешку, чтобы научиться по виду формулы мгновенно определять приём. Отдельно отрабатывайте задачи с «не менее / не более» и выбор корня по смыслу — это самые частые места потери балла. После серии разбирайте ошибки на Repet.ai.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 10 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. По обобщённому плану ФИПИ уровень повышенный, но техника решения простая, поэтому балл считается обязательным к закрытию.

Нет. Формула всегда дана в условии и уже выведена за вас. Задача чисто алгебраическая: подставить известные числа и решить получившееся уравнение относительно искомой буквы. Физический смысл величин знать необязательно.

После подстановки данных получается уравнение одного из пяти типов: линейное (в том числе дробно-рациональное), квадратное, иррациональное (с корнем) или степенное, показательное и логарифмическое. Все они отрабатываются в задании 7.

Это неравенство. Приравняйте формулу к указанному значению, найдите оба корня квадратного уравнения и возьмите длину промежутка между ними — разность t₂ − t₁. Например, для полёта мяча на высоте не ниже 3 м это время между подъёмом и спуском.

Тот, что подходит по смыслу задачи. Время и масса не бывают отрицательными — отрицательный корень отбрасывают. Если спрашивают «первый момент», берут меньший корень, если «последний» — больший.

Да. На Repet.ai в разделе ЕГЭ по математике загружены задания 10 из открытого банка ФИПИ. Вы решаете задание онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и можете разобрать решение по шагам.

Готовы закрыть задание 10 на автомате?

Прикладная задача — это предсказуемый балл первой части: подставьте данные в готовую формулу, узнайте тип уравнения и решите его. За «страшными» физическими формулами прячутся всё те же пять типов уравнений из задания 7. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за неделю доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 10 Назад: задание 9 Все задания ЕГЭ по математике