Задание 11 ЕГЭ по математике (профиль): текстовые задачи

Задание 11 профильного ЕГЭ по математике — текстовые задачи на движение, работу, проценты и смеси. Главное — перевести условие в расчёт или уравнение и проверить единицы измерения. Ниже — четыре задания из банка ФИПИ для практики. Дальше разберём, как составлять таблицы, выбирать переменную и решать задачи по шагам.

Задания ФИПИ: текстовые задачи

Решите четыре задания 11 из банка ФИПИ. Составьте уравнение по условию и проверьте ответ прямо здесь.

Загружаем задания ФИПИ…

Что проверяет задание 11

Задание проверяет умение переводить житейскую ситуацию на язык математики: обозначить искомое буквой, связать данные уравнением и решить его. Это навык математического моделирования — самый «жизненный» в первой части. Что нужно уметь:

Что нужно уметь

удачно вводить переменную (за $x$ берут то, что спрашивают, или то, через что легче выразить остальное);
пользоваться базовыми формулами: $S=v\cdot t$ (путь), $A=p\cdot t$ (работа), $m_{\text{в-ва}}=c\cdot m$ (масса вещества в растворе);
составлять уравнение по ключевой фразе («на 6 часов меньше», «на 9 км/ч больше», «вместе за 24 минуты»);
решать линейные и квадратные (в том числе дробно-рациональные) уравнения;
отбирать корень по смыслу: скорость, масса и время не бывают отрицательными.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень сложности	Повышенный
Формат ответа	Целое число или конечная десятичная дробь
Раздел	Текстовые задачи (составление и решение уравнения)
Рекомендуемое время	5–8 минут
Связанные задания	7 (простейшие уравнения), 10 (прикладные задачи)

Тренируйтесь на реальных заданиях

Задания 11 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ с мгновенной проверкой ответа и разбором. Решаем, ошибаемся, разбираем — бесплатно.

Решать задание 11

Как выглядит формулировка

Условие описывает реальный сюжет — лодку на реке, две трубы, велосипедистов, сплавы — и заканчивается вопросом о конкретной величине. Самые частые формулировки:

Главное наблюдение: за всеми сюжетами стоят всего три формулы — путь $S=v\,t$ , работа $A=p\,t$ и часть вещества $m_{\text{в-ва}}=c\,m$ . Они устроены одинаково (величина = скорость × время), поэтому и решаются одним приёмом.

Универсальный метод: таблица и уравнение

Почти любую задачу 10 закрывает один приём. Введите переменную $x$ за искомую (или удобную) величину и заполните маленькую таблицу: три столбца «скорость — время — путь» (или «производительность — время — работа») и по строке на каждый объект. Два столбца известны или выражаются через $x$ , третий получается перемножением. Затем находите в условии фразу-связку («на … больше», «на … меньше», «одновременно», «вместе») — она и даёт уравнение.

Какие типы задач встречаются

В банке ФИПИ задание 11 представлено несколькими устойчивыми типами. Узнать тип легко по сюжету — и сразу понятно, какие столбцы писать в таблице.

Движение по прямой и средняя скорость

Тело едет участками с разными скоростями. Главная ловушка: средняя скорость — это не среднее арифметическое. Её считают по определению — весь путь делят на всё время:

v_{\text{ср}}=\frac{S_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}=\frac{S_1+S_2+\dots}{t_1+t_2+\dots}

Если даны участки пути — время каждого считают как $t_i=S_i/v_i$ ; если даны промежутки времени — путь каждого как $S_i=v_i\,t_i$ .

Движение по воде

Если $v$ — собственная скорость лодки, а $u$ — скорость течения, то:

v_{\text{по течению}}=v+u,\qquad v_{\text{против течения}}=v-u

Уравнение строят на времени: туда и обратно проходят один и тот же путь, а разница времён задана в условии («на … часов меньше»). Плот и предметы плывут со скоростью течения $u$ .

Совместное и встречное движение

Два объекта едут по одному маршруту: один быстрее на заданную величину и приходит раньше (или выезжает позже). Заполняем таблицу «скорость — время — путь» для обоих и приравниваем по разнице времён:

\frac{S}{v}-\frac{S}{v+a}=\Delta t

После приведения к общему знаменателю получается квадратное уравнение относительно скорости.

Совместная работа и производительность

Работа $A=p\,t$ устроена как путь. Всю работу часто принимают за 1; тогда производительность — обратное время. При совместной работе производительности складываются:

p_{\text{вместе}}=p_1+p_2=\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}

В задачах про трубы и резервуар известен объём — тогда $t=V/p$ , и снова выходит дробно-рациональное уравнение.

Проценты, сплавы и смеси

Ключ — следить не за процентами, а за массой чистого вещества (никеля, меди, кислоты). Масса вещества = концентрация × масса смеси, и при сливании эти массы складываются:

c_1 m_1 + c_2 m_2 = c_{\text{см}}(m_1+m_2)

Проценты переводят в доли ( $30\%=0{,}3$ ). Складывать сами проценты нельзя — складывается только вещество.

Задачи на прогрессии

«Каждый день на одно и то же больше» — это арифметическая прогрессия; «во столько-то раз больше» — геометрическая. Нужны две формулы суммы:

S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}\,n \qquad (\text{арифм.})

Здесь $a_1$ — первый член, $d$ — разность, $n$ — число членов. Часто известна сумма и нужно найти $d$ или конкретный член $a_k=a_1+(k-1)d$ .

Алгоритм решения задания 11

Определите тип задачи. Движение, работа, проценты или прогрессия — от этого зависит, какие формулы и столбцы понадобятся.
Введите переменную. Обозначьте за $x$ искомую величину (или ту, через которую остальное выражается проще всего).
Заполните таблицу. Распишите по строкам объекты, по столбцам — скорость/время/путь (или производительность/время/работу). Выразите всё через $x$ .
Составьте уравнение. Найдите в условии фразу-связку («на … больше/меньше», «вместе», «одновременно») и приравняйте соответствующие величины.
Решите и отберите корень. Обычно это линейное или квадратное уравнение. Отбросьте корни, не имеющие смысла (отрицательная скорость или масса), и запишите ответ в нужных единицах.

Не получается составить уравнение?

Решите подряд десяток задач одного типа — и увидите, что у всех «лодок» и «труб» одна и та же таблица и одно и то же уравнение. На Repet.ai к каждому заданию есть проверка ответа и пошаговый разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Движение по воде (скорость течения)

Решение

Пусть $x$ — скорость течения. Тогда против течения лодка идёт со скоростью $9-x$ , а обратно (по течению) — $9+x$ . Путь в обе стороны 72 км. Обратный путь на 6 часов короче:

\frac{72}{9-x}-\frac{72}{9+x}=6

Умножаем на $(9-x)(9+x)=81-x^2$ и раскрываем скобки:

72(9+x)-72(9-x)=6(81-x^2)\;\Rightarrow\; 144x=486-6x^2

Приводим к стандартному виду и делим на 6:

x^2+24x-81=0\;\Rightarrow\; x_{1}=3,\; x_{2}=-27

Скорость течения не бывает отрицательной — берём $x=3$ . Ответ: 3.

Пример 2. Совместное движение (велосипедисты)

Решение

Пусть $x$ — скорость второго велосипедиста, тогда у первого $x+9$ . Путь у обоих 220 км. Первый затратил на 9 часов меньше:

\frac{220}{x}-\frac{220}{x+9}=9

Умножаем на $x(x+9)$ :

220(x+9)-220x=9x(x+9)\;\Rightarrow\; 1980=9x^2+81x

Делим на 9 и решаем квадратное уравнение:

x^2+9x-220=0\;\Rightarrow\; x_1=11,\; x_2=-20

Скорость второго — 11 км/ч, значит первого $11+9=20$ км/ч. Спрашивают именно про первого. Ответ: 20.

Пример 3. Совместная работа (Аня и Таня)

Пример 4. Сплавы и проценты (никель)

Пример 5. Средняя скорость

Пример 6. Арифметическая прогрессия (открытки)

Типичные ошибки и ловушки

Средняя скорость как среднее арифметическое
Самая частая ошибка. Среднюю скорость находят только как $S_{\text{весь}}/t_{\text{всё}}$ . Складывать скорости и делить на количество участков нельзя.
Сложение процентов вместо вещества
Концентрации не складываются. Складывается только масса чистого вещества: $c_1m_1+c_2m_2=c_{\text{см}}(m_1+m_2)$ . Переводите проценты в доли заранее.
Перепутать, какой путь длиннее по времени
Против течения лодка идёт медленнее и тратит больше времени. В уравнении из большего времени вычитают меньшее — следите за знаком разности.
Ответить не на тот вопрос
За $x$ часто берут скорость второго объекта, а спрашивают про первого. Перечитайте вопрос и при необходимости сделайте ещё один шаг (например, $x+9$ ).
Не отбросить посторонний корень
Квадратное уравнение часто даёт два корня. Скорость, масса и время положительны — отрицательный корень не имеет смысла и в ответ не идёт.

Чем задание 11 связано с другими

Задание 11 — это следующий шаг после задания 10: там формулу давали готовой, здесь её надо составить самому. А вот решать получившееся уравнение вы уже умеете из задания 7 — почти всегда это линейное или квадратное уравнение (нередко дробно-рациональное). Навык вводить переменную и переводить условие в уравнение — фундамент и для задач второй части (например, экономической задачи 16). Освоив задание 11, вы закрываете один из самых стабильных баллов первой части.

Задание 10: прикладные задачи Задание 7: простейшие уравнения Решать задание 11 онлайн

План подготовки на неделю

Дни 1–5 — по типу задачи в день

День 1 — движение по прямой и средняя скорость. День 2 — движение по воде. День 3 — совместное и встречное движение. День 4 — совместная работа и трубы. День 5 — проценты, сплавы и смеси. Каждый день решайте по 8–10 однотипных заданий, обязательно рисуя таблицу «скорость — время — путь» и проговаривая, какая фраза даёт уравнение.

Дни 6–7 — прогрессии и вперемешку

День 6 — задачи на прогрессии (формулы суммы и члена). День 7 — задания всех типов вперемешку, чтобы по сюжету мгновенно определять тип и нужные формулы. Отдельно отрабатывайте отбор корня и проверку, на тот ли вопрос вы ответили. После серии разбирайте ошибки на Repet.ai.

Проверьте себя на реальных заданиях

На Repet.ai собраны задания 11 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Решайте онлайн, проверяйте ответ мгновенно и разбирайте решение — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл по принципу «всё или ничего»: верный ответ — 1 балл, любой другой — 0. Уровень повышенный, но при отработанном методе это вполне закрываемый балл.

В задании 10 формула уже дана — нужно лишь подставить числа и решить уравнение. В задании 11 формулу (уравнение) вы составляете сами по тексту задачи: вводите переменную, выражаете величины и связываете их. Решать получившееся уравнение вы умеете из задания 7.

Только как весь путь, делённый на всё время: v = S_весь / t_всё. Среднее арифметическое скоростей — грубая ошибка. Если даны участки пути, время каждого считают как S/v и складывают.

Следите за массой чистого вещества, а не за процентами. Масса вещества = концентрация (в долях) × масса смеси. При сливании массы вещества складываются: c₁m₁ + c₂m₂ = c_см·(m₁+m₂). Проценты переводите в доли заранее (35% = 0,35).

Чаще всего дробно-рациональное (время = путь/скорость или объём/производительность), которое после умножения на общий знаменатель сводится к квадратному. Из двух корней выбирают положительный, имеющий смысл.

Да. На Repet.ai в разделе ЕГЭ по математике загружены задания 11 из открытого банка ФИПИ всех типов — движение, работа, проценты, прогрессии. Вы решаете задание онлайн, сразу видите, верный ли ответ, и можете разобрать решение по шагам.

Готовы закрыть задание 11 на автомате?

Текстовая задача — это предсказуемый балл первой части: определите тип, введите переменную, заполните таблицу и составьте уравнение. За «лодками», «трубами» и «сплавами» прячутся всего три формулы и те же линейные и квадратные уравнения из задания 7. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ с проверкой ответа и разбором. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за неделю доведёте навык до автоматизма.

Тренировать задание 11 Назад: задание 10 Все задания ЕГЭ по математике