Задание 13 ЕГЭ по математике (профиль): экономическая задача

Задание 13 профильного ЕГЭ по математике — это экономическая задача на проценты: кредиты и вклады. В КИМ 2027 года эта задача переехала из части 2 в часть 1 и стала заданием 13 — последним заданием части 1. Часть 1 — это задания 1–13, часть 2 — задания 14–20. Теперь от вас нужно только число в бланке ответов № 1, и задание даёт 1 первичный балл вместо прежних 2. ФИПИ отводит на него 10 минут. Ключ к успеху прежний — умение составить таблицу изменения долга или вклада по годам, свести задачу к уравнению и решить его. Тренироваться на реальных задачах можно в тренажёре задания 13 ЕГЭ онлайн из открытого банка ФИПИ — с мгновенной проверкой и разбором.

Что проверяет задание 13

Задание проверяет умение применять математику к реальным финансовым ситуациям. Вам нужно: понять схему начисления процентов или погашения долга, составить уравнение и найти неизвестную ставку или сумму. Всю работу вы делаете на черновике, а в бланк переносите только итоговое число.

Параметр	Значение
Максимальный балл	1 первичный (0 — при любом неверном ответе)
Уровень	Повышенный
Часть	1 (краткий ответ)
Формат ответа	Целое число или конечная десятичная дробь
Раздел	Текстовые задачи, в том числе управление личными и семейными финансами (КЭС 1–3)
Время	10–15 минут
Связанные задания	11 (текстовые задачи), 17 (прикладная задача на наибольшее значение)

Тренируйтесь на реальных задачах

Задания 13 ЕГЭ по математике из открытого банка ФИПИ. Вводите краткий ответ, получайте мгновенную проверку и разбор — как в части 1 экзамена, бесплатно.

Решать задание 13

Как выглядит формулировка

Вот дословная формулировка задания 13 из демоверсии ЕГЭ 2027 года:

Задание 13

Демоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ

В июле 2030 года планируется взять кредит 182 000 рублей в банке на три года. Условия его возврата таковы:

каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?

В демоверсии 2027 под этим заданием стоит строка «Ответ: ______», а за ним — рамка «Не забудьте перенести все ответы в БЛАНК ОТВЕТОВ № 1». Никакого места для решения на бланке нет: черновик остаётся у вас, эксперт видит только число.

Типы задач, которые встречаются в задании 13:

Кредит (найти ставку): «В июле 2026 года планируется взять кредит на сумму 250 000 рублей… Найдите $r$ , если кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год выплачено 150 000 рублей, а во второй — 180 000 рублей.»
Кредит (найти платёж или общую сумму выплат): «Кредит будет погашен $n$ равными платежами. Сколько рублей составит общая сумма платежей?» — именно этот тип стоит в демоверсии 2027.
Вклад (найти итоговую сумму): «Иванов открыл вклад на 3 года под $r\%$ годовых с капитализацией. Найдите сумму на счёте в конце третьего года.»

Задач на максимум прибыли через производную в задании 13 больше нет. Коды КЭС задания 13 в 2027 году — 1–3, без раздела «Начала математического анализа». Оптимизация переехала в новое задание 17 части 2 — прикладная задача на наибольшее и наименьшее значение.

Теория: что нужно знать

1. Проценты и множитель роста

Если долг или сумма вклада $S$ увеличивается на $r\%$ в год, то через год она становится:

S \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) = S \cdot k

Здесь $k = 1 + \frac{r}{100}$ — это множитель роста (или повышающий коэффициент). Через $n$ лет без выплат сумма вырастет до:

S_n = S_0 \cdot k^n

Всегда вводите $k$ в самом начале решения — это упрощает запись и уменьшает риск ошибки.

2. Кредиты: схема погашения

В задании 13 чаще всего встречаются два режима погашения:

Разные платежи — в каждый период выплачивают заранее известную сумму (например, 150 000 в первый год, 180 000 во второй). Остаток долга убывает неравномерно.
Равные платежи (аннуитет) — в каждый период выплачивают одну и ту же сумму $x$ . Величина $x$ неизвестна и выражается через $k$ и $S$ .

В обоих случаях схема одна: сначала долг умножается на $k$ (начисляются проценты), затем из него вычитается платёж. Базовая формула для остатка долга после очередного платежа:

S_{\text{после}} = S_{\text{до}} \cdot k - \text{платёж}

Удобнее всего отражать это в таблице по годам (год — долг с процентами — платёж — остаток). Пример для кредита $S$ на 2 года с разными платежами $p_1$ и $p_2$ :

Год	Долг с процентами	Платёж	Остаток долга
1-й	$Sk$	$p_1$	$Sk - p_1$
2-й	$(Sk - p_1)k$	$p_2$	$0$

Условие «кредит погашен» означает, что остаток в последней строке равен нулю: $(Sk - p_1)k - p_2 = 0$ . Это и есть уравнение для нахождения $k$ , а значит, $r$ .

3. Вклады: капитализация процентов

Для вкладов схема зеркальная: каждый год сумма умножается на $k$ , а иногда к ней ещё добавляется пополнение. При простой капитализации:

S_n = S_0 \cdot k^n = S_0 \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^n

Если вкладчик ежегодно пополняет счёт на сумму $a$ , то каждый взнос успевает отработать разное количество лет. Итоговая сумма — это сумма геометрической прогрессии:

S_n = a \cdot k + a \cdot k^2 + \ldots + a \cdot k^n = a \cdot k \cdot \frac{k^n - 1}{k - 1}

В задачах с вкладами чаще просят найти итоговую сумму или процентную ставку, при которой сумма достигает заданного значения.

4. Три равных платежа: формула суммы

Это самый частый случай новой формы задания 13. Пусть кредит $S$ гасят $n$ равными платежами $x$ при множителе роста $k$ . Каждый платёж успевает «отработать» разное число лет, поэтому условие полного погашения выглядит так:

S \cdot k^n = x\left(k^{n-1} + k^{n-2} + \ldots + k + 1\right)

Справа стоит сумма геометрической прогрессии, равная $\frac{k^n - 1}{k - 1}$ . Отсюда размер одного платежа:

x = \frac{S \cdot k^n (k - 1)}{k^n - 1}

Проверим формулу на числах демоверсии 2027: $S = 182\,000$ , $k = 1{,}2$ , $n = 3$ . Сначала левая часть:

182\,000 \cdot 1{,}2^3 = 182\,000 \cdot 1{,}728 = 314\,496

Теперь правая часть:

x\left(1{,}44 + 1{,}2 + 1\right) = 3{,}64x

Значит:

3{,}64x = 314\,496 \implies x = 86\,400

Общая сумма платежей — $3x = 259\,200$ рублей. Обратите внимание: вопрос демоверсии — именно про общую сумму, а не про один платёж.

Алгоритм решения задания 13

Введите обозначения. Определите начальную сумму $S$ , ставку $r\%$ и множитель $k = 1 + \frac{r}{100}$ . Если платежи равны — обозначьте их через $x$ .
Составьте таблицу по периодам. Для каждого года запишите: долг с процентами — платёж — остаток долга. Это главный инструмент: таблица делает задачу наглядной и не даёт запутаться в порядке операций.
Составьте уравнение из условия «долг = 0». Остаток долга в последней строке таблицы приравняйте нулю. Или используйте условие на суммарные выплаты — смотря что дано.
Решите уравнение. Как правило, получается квадратное уравнение относительно $k$ . Найдите его корни, отбросьте отрицательный ( $k > 1$ по смыслу задачи).
Найдите $r$ . Из $k = 1 + \frac{r}{100}$ получите $r = (k - 1) \cdot 100$ .
Проверьте подстановкой. Подставьте найденное $r$ (или платёж $x$ ) обратно в таблицу и убедитесь, что остаток долга действительно равен нулю, а суммарные выплаты совпадают с условием. В части 1 балл ставится по принципу «всё или ничего», поэтому эта минута стоит целого балла.
Перечитайте вопрос и запишите ответ. Спрашивают ставку, один платёж или общую сумму платежей? В бланк ответов № 1 идёт только число — без единиц измерения, без пояснений и без знака рубля. Черновик никто не проверяет.

Застряли на таблице долга?

Решите 5–10 задач 13 подряд на тренажёре — схема «долг с процентами → платёж → остаток» войдёт в автоматизм. Вводите краткий ответ: Repet.ai сразу скажет, верное число вы записали или нет, и покажет разбор.

Открыть тренажёр

Примеры с разбором

Пример 1. Демоверсия 2027: три равных платежа

Задание 13

Демоверсия ЕГЭ 2027, ФИПИ

В июле 2030 года планируется взять кредит 182 000 рублей в банке на три года. Условия его возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Решение

Ставка 20 %, значит множитель роста $k = 1 + \frac{20}{100} = 1{,}2$ . Долг $S = 182\,000$ рублей, платежей три и они равны — обозначим каждый через $x$ . Составим таблицу по годам:

Год	Долг с процентами	Платёж	Остаток долга
2031	$182\,000 \cdot 1{,}2$	$x$	$182\,000 \cdot 1{,}2 - x$
2032	$(182\,000 \cdot 1{,}2 - x) \cdot 1{,}2$	$x$	$182\,000 \cdot 1{,}2^2 - 1{,}2x - x$
2033	$182\,000 \cdot 1{,}2^3 - 1{,}2^2 x - 1{,}2x$	$x$	$0$

Условие полного погашения — нуль в последней строке:

182\,000 \cdot 1{,}2^3 - x\left(1{,}2^2 + 1{,}2 + 1\right) = 0

Считаем обе скобки:

182\,000 \cdot 1{,}728 = 314\,496, \qquad 1{,}44 + 1{,}2 + 1 = 3{,}64

Получаем размер одного платежа:

3{,}64x = 314\,496 \implies x = 86\,400

Вопрос — про общую сумму платежей:

3x = 3 \cdot 86\,400 = 259\,200

Проверка по годам. Первый год: $182\,000 \cdot 1{,}2 = 218\,400$ , после платежа $218\,400 - 86\,400 = 132\,000$ . Второй год: $132\,000 \cdot 1{,}2 = 158\,400$ , после платежа $158\,400 - 86\,400 = 72\,000$ . Третий год: $72\,000 \cdot 1{,}2 = 86\,400$ , после платежа $86\,400 - 86\,400 = 0$ . Кредит погашен, платежи равны — всё сходится.

Ответ: 259200. В бланк записывают именно это число, а не 86 400.

Пример 2. Кредит на 2 года с разными платежами (ID 81128, ФИПИ)

Условие (реальное задание из банка ФИПИ)

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 250 000 рублей. Условия возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите $r$ , если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 150 000 рублей, а во второй год — 180 000 рублей.

Решение

Обозначим $S = 250$ (тыс. руб.) — первоначальный долг, а $k = 1 + \frac{r}{100}$ — множитель роста. Составим таблицу изменения долга:

Год	Долг с процентами	Выплата	Остаток долга
2027	$250k$	150	$250k - 150$
2028	$(250k - 150)k$	180	$0$

Условие полного погашения в 2028 году: $(250k - 150) \cdot k - 180 = 0$ . Раскроем скобки:

250k^2 - 150k - 180 = 0

Разделим все члены на 10:

25k^2 - 15k - 18 = 0

Вычислим дискриминант: $D = 15^2 + 4 \cdot 25 \cdot 18 = 225 + 1800 = 2025 = 45^2$ . Корни уравнения:

k = \frac{15 \pm 45}{50} \implies \begin{cases} k_1 = \frac{60}{50} = 1{,}2 \\ k_2 = \frac{-30}{50} = -0{,}6 \end{cases}

Так как $k > 1$ по смыслу задачи (долг растёт), подходит только $k = 1{,}2$ . Находим ставку:

1 + \frac{r}{100} = 1{,}2 \implies r = 20

Проверка: долг после 2027 года: $250 \cdot 1{,}2 - 150 = 300 - 150 = 150$ . Долг в 2028 с процентами: $150 \cdot 1{,}2 = 180$ . Выплата 180 000 — остаток 0. Верно.

Ответ: 20.

Пример 3. Кредит на 5 лет с равными платежами в последние 2 года (ID 81127, ФИПИ)

Решение

Обозначим $S = 4{,}2$ млн руб., $k = 1 + \frac{r}{100}$ , одинаковый платёж в 2030 и 2031 годах — через $x$ . В первые три года заёмщик выплачивает только начисленные проценты, то есть $S(k-1)$ , и долг возвращается к $S$ . Составим таблицу:

Год	Долг с процентами	Платёж	Остаток долга
2027	$Sk$	$S(k-1)$	$S$
2028	$Sk$	$S(k-1)$	$S$
2029	$Sk$	$S(k-1)$	$S$
2030	$Sk$	$x$	$Sk - x$
2031	$(Sk-x)k$	$x$	$0$

Из последней строки таблицы (долг = 0 после 2031 года):

(Sk - x)k - x = 0 \implies Sk^2 - x(k+1) = 0 \implies x = \frac{Sk^2}{k+1}

Суммарные выплаты за 5 лет: три процентных платежа плюс два аннуитетных:

3 \cdot S(k-1) + 2x = 6{,}1

Подставим $x = \frac{Sk^2}{k+1}$ и $S = 4{,}2$ :

3 \cdot 4{,}2(k-1) + \frac{2 \cdot 4{,}2 \cdot k^2}{k+1} = 6{,}1

12{,}6(k-1) + \frac{8{,}4k^2}{k+1} = 6{,}1

Умножим обе части на $(k+1)$ :

12{,}6(k^2-1) + 8{,}4k^2 = 6{,}1(k+1)

21k^2 - 6{,}1k - 18{,}7 = 0

Умножим на 10:

210k^2 - 61k - 187 = 0

Дискриминант: $D = 61^2 + 4 \cdot 210 \cdot 187 = 3721 + 157080 = 160801 = 401^2$ . Корни:

k = \frac{61 \pm 401}{420} \implies k_1 = \frac{462}{420} = 1{,}1, \quad k_2 = \frac{-340}{420} < 0

Подходит $k = 1{,}1$ , откуда:

1 + \frac{r}{100} = 1{,}1 \implies r = 10

Ответ: 10.

Типичные ошибки и ловушки

Перепутать порядок: сначала проценты, потом платёж
По условию большинства задач ФИПИ: сначала в январе долг умножается на $k$ (начисляются проценты), и лишь затем с февраля по июнь производится выплата. Если поменять порядок, формула изменится и ответ будет неверным. Всегда читайте условие внимательно.
Записать в бланк промежуточную величину вместо ответа
В демоверсии 2027 спрашивают общую сумму платежей — 259 200, а не размер одного платежа — 86 400. Решение при этом полностью верное, но балл вы теряете целиком. Это самая дорогая ошибка новой формы задания: эксперт видит только число и не может засчитать ход мысли. Перед записью ответа перечитайте вопрос.
Ошибка в множителе роста
Если ставка $r$ задана в процентах (а не в долях), то множитель роста: $k = 1 + \frac{r}{100}$ , а не $1 + r$ . Ошибка приводит к уравнению, у которого нет разумного корня.
Не отбрасывать отрицательный корень
Квадратное уравнение относительно $k$ , как правило, даёт два корня — один положительный (больше 1), один отрицательный. Отрицательный корень не имеет смысла: процентная ставка не может быть отрицательной. Возьмите корень $k > 1$ — иначе в бланк уйдёт бессмысленное число.
Путать дифференцированный и аннуитетный платёж
Дифференцированный платёж убывает со временем (сумма основного долга постоянна, а проценты начисляются на убывающий остаток). Аннуитетный — одинаков каждый период. В задании 13 чаще встречается аннуитет или заранее заданные (неравные) выплаты. Не подставляйте одну схему вместо другой.
Арифметические ошибки при раскрытии скобок
Выражения вида $(Sk - p_1) \cdot k - p_2 = 0$ легко «съедают» знак. Расписывайте каждый шаг явно: раскройте скобки, соберите подобные слагаемые, перенесите все в одну сторону. В части 1 цена арифметической ошибки — весь балл: за верный ход решения с неверным числом не дают ничего. Поэтому подставьте найденное число обратно в таблицу и убедитесь, что остаток равен нулю.

Проверьте себя на реальных задачах

На Repet.ai собраны задания 13 ЕГЭ по математике из банка ФИПИ. Вводите краткий ответ, получайте мгновенную проверку и полный разбор — бесплатно.

Перейти к практике

Частые вопросы

Часто задаваемые вопросы

1 первичный балл. Задание оценивают по принципу «всё или ничего»: верное число — 1 балл, любое другое — 0. Промежуточные баллы за ход решения в части 1 не ставят, поэтому проверка ответа подстановкой обязательна.

Да. В КИМ 2027 года экономическая задача переехала из части 2 в часть 1 и стала заданием 13 — последним заданием части 1. Раньше это было задание 16 с развёрнутым ответом на 2 балла. Теперь вы записываете только число в бланк ответов № 1 и получаете 1 балл.

Нет. В бланк идёт только число — без единиц измерения и пояснений. Черновик никто не проверяет. Но таблицу «год — долг с процентами — платёж — остаток» на черновике всё равно составьте: без неё легко перепутать порядок действий и получить 0 баллов.

Формально нет — в бланк идёт только ответ. Но на практике таблица «год — долг с процентами — платёж — остаток» — это самый надёжный способ не запутаться в порядке действий. Большинство опытных учителей рекомендуют именно её.

Составьте таблицу по годам, запишите выражение для каждого платежа через k, а потом сложите все платежи и приравняйте заданной сумме. Это тот же подход, что и в примере 3: сначала выразить платёж x через k из условия «остаток = 0», потом подставить в уравнение на суммарные выплаты.

Квадратное уравнение относительно k. В простых задачах (кредит на 2 года) оно получается напрямую. В более сложных (5 лет, аннуитет) — после алгебраических преобразований тоже приходите к квадратному. Иногда можно угадать k целым числом или простой дробью (1,1; 1,2; 1,3).

Подставьте найденное число обратно в таблицу: пересчитайте долг с процентами и остаток для каждого года. Остаток в последней строке должен быть ровно 0, а сумма всех платежей должна совпадать с условием (если оно задано). Это занимает 1–2 минуты и спасает единственный балл задания.

При дифференцированном погашении тело долга убывает равными долями каждый период, а проценты начисляются на убывающий остаток — поэтому платежи уменьшаются со временем. При аннуитетном каждый платёж одинаков: он включает и часть долга, и проценты в разных пропорциях. В ЕГЭ чаще встречается аннуитет или заранее заданные конкретные суммы.

ФИПИ отводит на задание 13 десять минут — это самое дорогое по времени задание части 1. Если схема понятна и таблица составлена правильно, уравнение решается за 5–7 минут, ещё 1–2 минуты уходят на проверку. Не застревайте дольше 15 минут: переходите к части 2 и вернитесь, если останется время.

Связанные темы

Умение работать с процентами и составлять уравнения пригодится и в других заданиях варианта:

Задание 11: текстовые задачи Задание 17: прикладная задача на максимум

План подготовки к заданию 13

Неделя 1 — схема и таблица

Разберите теорию про множитель роста, кредиты и вклады. Решайте простые задачи на 2 года: каждый раз составляйте полную таблицу по годам и записывайте уравнение явно. Цель — довести составление таблицы до автоматизма, чтобы не тратить время на экзамене.

Неделя 2 — сложные задачи и точность

Переходите к задачам на 4–5 лет с равными платежами. Следите за точностью счёта: балл ставится по принципу «всё или ничего», поэтому каждый ответ проверяйте подстановкой в таблицу и каждый раз перечитывайте вопрос — ставка, один платёж или общая сумма. Прорешайте 15–20 задач из банка ФИПИ, разбирайте каждую ошибку и следите за временем: норматив ФИПИ — 10 минут на задание.

Готовы освоить экономические задачи?

Задание 13 — одно из немногих в ЕГЭ, которое напрямую связано с реальной жизнью: кредиты и вклады касаются каждого. На Repet.ai собраны реальные задания из банка ФИПИ: вводите краткий ответ и сразу видите, верное число вы записали, плюс полный разбор. Решайте, ошибайтесь, разбирайте — и за пару недель доведёте навык до уверенного решения.

Тренировать задание 13 Задание 11: текстовые задачи Все задания ЕГЭ по математике