Теория к заданию 11 ЕГЭ по профильной математике Текстовые задачи

Задание 11 — текстовая задача. Чаще всего встречаются движение по реке, совместная работа и смеси и сплавы. Реже — движение по расписанию, навстречу и вдогонку, средняя скорость, проценты и арифметическая прогрессия. Ответ — одно число в тех единицах, которые просит условие.

План решения один: обозначьте неизвестное через $x$ , запишите все величины в таблицу и составьте уравнение из того условия, которое в таблицу не вошло. Часто уравнение сводится к квадратному. Из двух корней берут тот, который подходит по смыслу задачи.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 609 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 25 км/ч, стоянка длится 1 час, а в пункт отправления теплоход возвращается через 51 час. Ответ дайте в км/ч.

Правильный ответ

Пояснение

Пусть скорость течения $x$ км/ч. По течению теплоход идёт со скоростью $25 + x$ , против течения — $25 - x$ (движение по воде).
В пути теплоход был $51 - 1 = 50$ часов: стоянку вычитают (стоянка). Уравнение: $\frac{609}{25 + x} + \frac{609}{25 - x} = 50$ .
Приведите к общему знаменателю: $\frac{609 \cdot 50}{625 - x^2} = 50$ , поэтому $625 - x^2 = 609$ , $x^2 = 16$ (дробное уравнение).
$x = 4$ или $x = -4$ . Скорость не может быть отрицательной (выбор корня). Ответ: 4.

Что учить: от главного к редкому

Основа

Понятия, на которых стоят все правила

Главное

Самые частые правила — учите первыми

5Как составить уравнение по условиювстречается в 9 из 10 заданий

Реже

Учите, когда главное уже освоено

Тренировка в формате ЕГЭ

Байдарка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, байдарка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость байдарки, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.

Правильный ответ

Пояснение

Пусть собственная скорость байдарки $x$ км/ч. По течению она идёт со скоростью $x + 2$ , против течения — $x - 2$ . Время на 15 км: $\frac{15}{x + 2}$ ч и $\frac{15}{x - 2}$ ч.

Весь рейс длился $16 - 10 = 6$ ч. Стоянку вычитаем: 1 ч 20 мин $= \frac{4}{3}$ ч (минуты в часах), в движении байдарка была $6 - \frac{4}{3} = \frac{14}{3}$ ч. Уравнение: $\frac{15}{x + 2} + \frac{15}{x - 2} = \frac{14}{3}$ .

Умножаем на $3(x^2 - 4)$ : $45(x - 2) + 45(x + 2) = 14(x^2 - 4)$ , то есть $90x = 14x^2 - 56$ и $7x^2 - 45x - 28 = 0$ .

$D = 2025 + 784 = 2809 = 53^2$ , $x = \frac{45 + 53}{14} = 7$ или $x = -\frac{4}{7}$ . Скорость положительна и больше скорости течения, поэтому $x = 7$ км/ч.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ

Закрепите на настоящих заданиях №11

Решать