Теория к заданию 14 ЕГЭ по профильной математике Уравнения (тригонометрические, показательные, логарифмические)

Задание 14 — первое задание с развёрнутым ответом. В пункте а) уравнение решают, в пункте б) находят его корни на отрезке. Почти всегда уравнение тригонометрическое. Формулы переводят его в функции одного аргумента. Потом его раскладывают на множители или сводят к квадратному, и в конце остаются простейшие уравнения. Реже синус стоит в логарифме или в показателе степени, и тогда нужна ОДЗ.

За задание дают 2 балла, если оба пункта решены обоснованно. 1 балл дают за обоснованный пункт а) или за вычислительную ошибку при верных шагах обоих пунктов. Верный ответ без решения даёт 0 баллов. В пункте б) отбор надо показать: на окружности подписывают концы отрезка и каждый корень, в неравенстве — каждое целое $n$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

а) Решите уравнение: $2 \sin ^{3} x = \sqrt{2} \cos ^{2} x + 2 \sin x .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- 4 \pi ; - \frac{5 \pi}{2}\right] .$

Решение

Перенесём $2\sin x$ влево и вынесем его: $2\sin x(\sin^2 x - 1) = \sqrt{2}\cos^2 x$ . По основному тождеству $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$ , поэтому $-2\sin x\cos^2 x - \sqrt{2}\cos^2 x = 0$ .
Вынесем общий множитель: $-\cos^2 x\,(2\sin x + \sqrt{2}) = 0$ . Делить на $\cos^2 x$ нельзя: пропадёт серия. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
$\cos x = 0$ : $x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ (частный случай). $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ : $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ (синус).
б) Отметим отрезок $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ на окружности: дуга идёт против часовой стрелки от точки $-4\pi$ до точки $-\frac{5\pi}{2}$ , это три четверти круга.
На дуге лежат точки $-4\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{7\pi}{2}$ и конец $-\frac{5\pi}{2}$ из первой серии (конец отрезка — корень) и точка $-4\pi + \frac{5\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4}$ из третьей. Точка $-\frac{\pi}{4}$ второй серии на дугу не попадает.
Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi n;\ -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;\ -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{7\pi}{2};\ -\frac{11\pi}{4};\ -\frac{5\pi}{2}$ .

Что учить: от главного к редкому

Основа

Понятия, на которых стоят все правила

Главное

Самые частые правила — учите первыми

Часто

Попадаются регулярно

Реже

Учите, когда главное уже освоено

Тренировка в формате ЕГЭ

а) Решите уравнение $2 \sin ^{2} x + \sqrt{2} \sin \left(2 \pi - x\right) + \sqrt{3} \sin 2 x$ $= \sqrt{6} \cos x$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[- \pi ; \frac{\pi}{2}\right] .$

Решение

а) Сначала уберём сдвиг аргумента: $\sin(2\pi - x) = -\sin x$ . Синус двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ . Перенесём всё влево: $2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x + 2\sqrt{3}\sin x\cos x - \sqrt{6}\cos x = 0$ .

Разложим левую часть группировкой, учтём $\sqrt{6} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}$ : $\sin x\,(2\sin x - \sqrt{2}) + \sqrt{3}\cos x\,(2\sin x - \sqrt{2}) = 0$ , то есть $(2\sin x - \sqrt{2})(\sin x + \sqrt{3}\cos x) = 0$ .

Из $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ получаем $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ .

Уравнение $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$ однородное. При $\cos x = 0$ из него следует $\sin x = 0$ , а это невозможно: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Поэтому разделим на $\cos x \ne 0$ : $\operatorname{tg} x = -\sqrt{3}$ , $x = -\frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ .

б) Отберём корни на окружности. Отрезку $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$ соответствует дуга от точки $-\pi$ (левая точка окружности) против часовой стрелки до точки $\frac{\pi}{2}$ (верхняя точка). Дуга проходит через третью, четвёртую и первую четверти.

На дуге лежат: точка четвёртой четверти $-\pi + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{3}$ (серия $-\frac{\pi}{3} + \pi n$ ) и точка первой четверти $\frac{\pi}{4}$ . Точки $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{2\pi}{3}$ лежат во второй четверти, вне дуги.

Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\ -\frac{\pi}{3} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}$ ; б) $-\frac{\pi}{3};\ \frac{\pi}{4}$

Источник: ФИПИ

Закрепите на настоящих заданиях №14

Решать