Теория к заданию 13 ЕГЭ по профильной математике Экономическая задача

Задание 13 — задача о личных финансах с кратким ответом. Почти всегда это кредит: каждый январь долг растёт на $r\%$ , с февраля по июнь его уменьшает платёж. Чаще всего долг убывает равномерно или задан таблицей по годам. Реже кредит гасят равными платежами. Ещё реже встречаются вклады, продажа ценных бумаг и прибыль завода.

Способ один для всех сюжетов: запишите долг на каждый июль в буквах, а потом приравняйте нужное выражение к числу из условия. Так находят платёж, ставку или сумму кредита и срок. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь в единицах, которые назвал вопрос.

Пример задания

Демоверсия ФИПИ 2027

В июле 2030 года планируется взять кредит 182 000 рублей в банке на три года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на 20 % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?

Правильный ответ

259200

Пояснение

Каждый январь долг умножается на $b = 1{,}2$ . Обозначим равный платёж $X$ . После первого года долг равен $182\,000 \cdot 1{,}2 - X$ (долг после платежа).
После третьего платежа долг равен нулю: $182\,000 \cdot 1{,}2^3 = X(1{,}2^2 + 1{,}2 + 1)$ (кредит равными платежами).
$1{,}2^3 = 1{,}728$ , $1{,}2^2 + 1{,}2 + 1 = 3{,}64$ . Тогда $X = \frac{182\,000 \cdot 1{,}728}{3{,}64} = 86\,400$ рублей.
Вопрос — об общей сумме платежей: $3X = 259\,200$ рублей. Ответ: 259200.

Что учить: от главного к редкому

Основа

Понятия, на которых стоят все правила

Главное

Самые частые правила — учите первыми

Реже

Учите, когда главное уже освоено

Тренировка в формате ЕГЭ

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 375 000 рублей?

Правильный ответ

221400

Пояснение

Пусть $S$ — кредит, $X$ — платёж, $b = 1{,}25 = \frac{5}{4}$ . Каждый январь долг умножается на $b$ , потом платёж его уменьшает (долг год за годом). Долг после платежей: $Sb - X$ , $Sb^2 - Xb - X$ , $Sb^3 - X(b^2 + b + 1)$ . После четвёртого платежа долг равен нулю: $Sb^4 = X(b^3 + b^2 + b + 1)$ (n равных платежей).

Четыре равных платежа дают $375\,000$ рублей, поэтому $X = 375\,000 : 4 = 93\,750$ (кредит по сумме выплат).

$b^4 = \frac{625}{256}$ , $b^3 + b^2 + b + 1 = \frac{125 + 100 + 80 + 64}{64} = \frac{369}{64}$ . Тогда $S = 93\,750 \cdot \frac{369}{64} \cdot \frac{256}{625} = \frac{93\,750 \cdot 4}{625} \cdot 369 = 600 \cdot 369 = 221\,400$ рублей.

Ответ: 221400

Источник: ФИПИ

Закрепите на настоящих заданиях №13

Решать