Теория к заданию 17 ЕГЭ по профильной математике Прикладная задача на наибольшее и наименьшее значение

Задание 17 появилось в 2027 году. В условии — реальная ситуация из физики, техники или экономики и формулы, которые её описывают. Из них составляют функцию одной переменной и записывают её область по смыслу. Потом ищут точку максимума или минимума с помощью производной. Реже хватает вершины параболы или оценки неравенством.

За задание дают до 2 баллов, и только за обоснованный ответ. Обоснование — знак производной на промежутках области и вывод о возрастании и убывании (что писать в решении).

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На заводе имеется генератор с ЭДС $\varepsilon = 50$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки $R$ (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I = \dfrac{\varepsilon}{r + R}$ . Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: $P = I^2 R$ . Какова максимальная тепловая мощность $P$ , которая может быть выделена нагрузкой?

Решение

Составим функцию: подставим $I = \frac{\varepsilon}{r + R}$ в $P = I^2 R$ . При $\varepsilon = 50$ и $r = 1$ получаем $P(R) = \frac{2500R}{(R + 1)^2}$ .
Область по смыслу: сопротивление не может быть отрицательным, поэтому $R \ge 0$ .
Производная частного: $P'(R) = 2500 \cdot \frac{(R + 1)^2 - 2R(R + 1)}{(R + 1)^4} = \frac{2500(1 - R)}{(R + 1)^3}$ .
Критическая точка: $P'(R) = 0$ при $R = 1$ . Знаменатель при $R \ge 0$ положителен.
Знак производной: $P' > 0$ при $0 \le R < 1$ и $P' < 0$ при $R > 1$ . Значит, $P$ возрастает на $[0; 1]$ и убывает на $[1; +\infty)$ , и наибольшее значение — в точке $R = 1$ .
$P(1) = \frac{2500}{4} = 625$ . Ответ: 625 Вт.

Что учить: от главного к редкому

Основа

Понятия, на которых стоят все правила

1Таблица производных и правила дифференцирования

Часто

Попадаются регулярно

Тренировка в формате ЕГЭ

Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A = k\theta_0 \cdot \frac{\tau^2}{\sqrt{\left(T^2 - \tau^2\right)^2 + n\tau^2 T^2}},$ где $k = 0{,}91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0 = 9^{\circ}$ — угол наибольшего волнового склона, $\tau$ — период волны (в секундах), $T = 14{,}7$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $n = 0{,}0792$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Решение

Переменная — период волны $\tau$ с, $\tau > 0$ . Разделим числитель и знаменатель на $\tau^2 > 0$ : $A = \dfrac{k\theta_0}{\sqrt{\left(\frac{T^2}{\tau^2} - 1\right)^2 + n\frac{T^2}{\tau^2}}}$ .

Пусть $s = \dfrac{T^2}{\tau^2}$ . При $\tau > 0$ число $s$ принимает все значения $s > 0$ , и каждому $s$ отвечает одно $\tau = \dfrac{T}{\sqrt{s}}$ . Числитель $k\theta_0$ положителен, поэтому $A$ наибольшая там, где наименьший знаменатель. Корень наименьший там же, где наименьшее подкоренное выражение (корень в знаменателе): исследуем $g(s) = (s - 1)^2 + ns$ , $s > 0$ .

$g'(s) = 2(s - 1) + n$ . $g'(s) = 0$ при $s_0 = 1 - \dfrac{n}{2} = 1 - 0{,}0396 = 0{,}9604$ . Эта точка лежит в области $s > 0$ .

$g'(s) < 0$ при $0 < s < s_0$ и $g'(s) > 0$ при $s > s_0$ . Функция $g$ убывает на $(0; s_0]$ и возрастает на $[s_0; +\infty)$ , поэтому $g(s_0)$ — наименьшее значение (убывает, потом возрастает). Значит, амплитуда $A$ наибольшая при $s = s_0$ .

Вернёмся к периоду: $\tau = \dfrac{T}{\sqrt{s_0}} = \dfrac{14{,}7}{\sqrt{0{,}9604}} = \dfrac{14{,}7}{0{,}98} = 15$ с.

Ответ: 15 с.

Закрепите на настоящих заданиях №17

Решать