тема 25 из 26

Две окружности

Положение двух окружностей задаёт расстояние между центрами $d$ : его сравнивают с суммой и разностью радиусов. Если окружности касаются, точка касания лежит на линии центров, и $d = R + r$ или $d = R - r$ . Отрезок общей касательной находят из прямоугольной трапеции, которую дают радиусы в точки касания: $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$ для внешней касательной и $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$ для внутренней.

Реже в задании18На карте навыков

Две окружности и касательная
—В аналитике

Линия центров и общая касательная

Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ имеют радиусы $R \ge r$ , расстояние между центрами $d = O_1O_2$ .

Касание внешним образом: $d = R + r$ . Касание внутренним образом: $d = R - r$ .
Точка касания лежит на линии центров $O_1O_2$ . Общая касательная в точке касания перпендикулярна линии центров.
Радиусы в точки касания общей касательной перпендикулярны ей и параллельны друг другу.
Отрезок внешней касательной: $\sqrt{d^2 - (R - r)^2}$ . Отрезок внутренней касательной: $\sqrt{d^2 - (R + r)^2}$ . При внешнем касании отрезок внешней касательной равен $2\sqrt{Rr}$ .
При внешнем касании отрезок общей внешней касательной виден из точки касания под прямым углом.

Взаимное положение двух окружностей

Расстояние между центрами	Положение	Общие точки	Общие касательные
$d > R + r$	одна вне другой	0	4
$d = R + r$	касаются внешним образом	1	3
$R - r < d < R + r$	пересекаются	2	2
$d = R - r > 0$	касаются внутренним образом	1	1
$d < R - r$	одна внутри другой	0	0

Расстояние между центрами и общие касательные

d = 6 > R + r = 4{,}5

Внешняя касательная:

AB = \sqrt{d^2 - (R - r)^2} = \sqrt{33{,}75} \approx 5{,}81

Внутренняя касательная:

CD = \sqrt{d^2 - (R + r)^2} = \sqrt{15{,}75} \approx 3{,}97

Радиус первой окружности

R

3

Радиус второй окружности

r

1{,}5

Окружности лежат одна вне другой: общих точек нет, четыре общие касательные.

Положение окружностей зависит только от

d

R

r

. Тяните центр

O_2

, меняйте радиусы.

Точка касания лежит на линии центров

Окружности касаются, если у них одна общая точка $K$ . В точке $K$ у них общая касательная, а радиусы в точку касания $O_1K$ и $O_2K$ ей перпендикулярны. Через точку $K$ проходит только одна прямая, перпендикулярная касательной, поэтому $O_1$ , $K$ и $O_2$ лежат на одной прямой.

При внешнем касании точка $K$ лежит между центрами: $O_1O_2 = R + r$ . При внутреннем касании центры лежат по одну сторону от $K$ : $O_1O_2 = R - r$ . Если меньшая окружность к тому же проходит через центр большей, её диаметр — радиус большей.

Рисунок к пункту а). Точка касания

A

лежит на линии центров

OO_2

, поэтому

AO

— диаметр меньшей окружности.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A ,$ причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P .$ Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP .$ Найдите длину отрезка $AL ,$ если радиус большей окружности равен $34 ,$ а $BC = 32 .$

Решение

а) Пусть $O$ — центр большей окружности, $O_2$ — центр меньшей. Точка касания $A$ лежит на прямой $OO_2$ . Точки $A$ и $O$ лежат на меньшей окружности и на прямой через её центр, поэтому $AO$ — её диаметр.
$K$ лежит на меньшей окружности, поэтому $\angle AKO = 90^\circ$ (угол, опирающийся на диаметр). Треугольник $AOB$ равнобедренный ( $OA = OB$ ), его высота $OK$ — медиана (высота к основанию): $K$ — середина $AB$ .
Так же $M$ — середина $AC$ . $KM$ — средняя линия треугольника $ABC$ , поэтому $KM \parallel BC$ .
б) Радиус большей окружности $R = 34$ , меньшей — $17$ . Пусть $H$ — середина $BC$ , тогда $OH \perp BC$ и $OH = \sqrt{34^2 - 16^2} = 30$ .
Пусть $AA_1 \perp BC$ . Радиус $O_2P$ перпендикулярен касательной $BC$ , $O_2P = 17$ . Если бы $A$ и $O$ лежали по разные стороны от $BC$ , то $AA_1 \le 34 - 30 = 4$ и расстояние от середины $O_2$ отрезка $AO$ до $BC$ было бы $\frac{30 - AA_1}{2} < 17$ . Значит, они по одну сторону.
$AA_1 \parallel O_2P \parallel OH$ , а $O_2$ — середина $AO$ . Поэтому $O_2P$ — средняя линия трапеции $AA_1HO$ : $17 = \frac{AA_1 + 30}{2}$ , $AA_1 = 4$ , а $P$ — середина $A_1H$ .
Пусть $T$ — основание перпендикуляра из $A$ на $OH$ . $OT = 30 - 4 = 26$ , $A_1H = AT = \sqrt{34^2 - 26^2} = \sqrt{480} = 4\sqrt{30}$ , поэтому $A_1P = 2\sqrt{30}$ .
$AP = \sqrt{AA_1^2 + A_1P^2} = \sqrt{16 + 120} = 2\sqrt{34}$ .
$KL \parallel BP$ и $K$ — середина $AB$ , поэтому треугольник $AKL$ подобен треугольнику $ABP$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$ : $AL = \frac{AP}{2} = \sqrt{34}$ . Ответ: б) $\sqrt{34}$ .

Отрезок общей касательной

Прямая касается окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$ в точках $A$ и $B$ . Радиусы $O_1A$ и $O_2B$ перпендикулярны касательной, поэтому параллельны. Опустите перпендикуляр $O_2H$ на прямую $O_1A$ : $ABO_2H$ — прямоугольник, и $O_2H = AB$ .

Внешняя касательная оставляет окружности по одну сторону: $O_1H = R - r$ , и по теореме Пифагора $AB = \sqrt{d^2 - (R - r)^2}$ . Внутренняя касательная проходит между окружностями: $O_1H = R + r$ и $AB = \sqrt{d^2 - (R + r)^2}$ . При внешнем касании $d = R + r$ , и отрезок внешней касательной равен $\sqrt{(R + r)^2 - (R - r)^2} = 2\sqrt{Rr}$ .

Пример

Радиусы двух окружностей равны 8 и 3, расстояние между их центрами равно 13. Найдите длины отрезков общей внешней и общей внутренней касательных между точками касания.

ABO_2H

— прямоугольник, в треугольнике

O_1HO_2

катет

O_1H = R - r

1.Внешняя касательная: $O_1H = 8 - 3 = 5$ , $AB = O_2H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$ .
2.Внутренняя касательная: катет равен $8 + 3 = 11$ , отрезок $\sqrt{13^2 - 11^2} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ .

Ответ: $12$ и $4\sqrt{3}$

Из точки касания отрезок касательной виден под прямым углом

Окружности касаются внешним образом в точке $K$ , $AB$ — их общая внешняя касательная. Проведите общую касательную в точке $K$ , она пересечёт $AB$ в точке $M$ . Отрезки касательных из точки $M$ равны: $MA = MK = MB$ . Треугольники $AMK$ и $BMK$ равнобедренные, сумма углов треугольника $AKB$ равна $2\angle MKA + 2\angle MKB = 180^\circ$ , поэтому $\angle AKB = 90^\circ$ .

Следствие: прямая $BK$ второй раз пересекает первую окружность в конце диаметра $AD$ , а прямая $AK$ пересекает вторую окружность в конце диаметра $BC$ : вписанный прямой угол опирается на диаметр.

MA = MK = MB

, поэтому

\angle AKB = 90^\circ

, а

AD

BC

— диаметры.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Две окружности касаются внешним образом в точке $K .$ Прямая $AB$ касается первой окружности в точке $A ,$ а второй – в точке $B .$ Прямая $BK$ пересекает первую окружность в точке $D ,$ прямая $AK$ пересекает вторую окружность в точке $C .$
а) Докажите, что прямые $AD$ и $BC$ параллельны.
б) Найдите площадь треугольника $AKB ,$ если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

Решение

а) Проведите общую касательную в точке $K$ , пусть она пересекает $AB$ в точке $M$ . Отрезки касательных из точки $M$ равны: $MA = MK = MB$ .
Треугольники $AMK$ и $BMK$ равнобедренные: $\angle MAK = \angle MKA$ , $\angle MBK = \angle MKB$ . Сумма углов треугольника $AKB$ : $2\angle MKA + 2\angle MKB = 180^\circ$ , то есть $\angle AKB = 90^\circ$ .
Углы $AKD$ и $AKB$ смежные, поэтому $\angle AKD = 90^\circ$ . Вписанный прямой угол опирается на диаметр: $AD$ — диаметр первой окружности. Так же $BC$ — диаметр второй.
Радиус в точку касания перпендикулярен касательной: $AD \perp AB$ и $BC \perp AB$ . Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны: $AD \parallel BC$ .
б) Треугольник $AKB$ один и тот же, какая бы окружность ни была первой. Пусть радиус первой окружности 4, второй 1. Окружности касаются внешним образом: $AB = 2\sqrt{4 \cdot 1} = 4$ , $AD = 8$ .
Треугольник $ABD$ прямоугольный: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{16 + 64} = 4\sqrt{5}$ .
$BA$ — касательная к первой окружности, $BKD$ — секущая: $BA^2 = BK \cdot BD$ , откуда $BK = \frac{16}{4\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$ и $\frac{BK}{BD} = \frac{1}{5}$ .
Треугольники $AKB$ и $ADB$ имеют общую высоту из вершины $A$ : $S_{AKB} = \frac{BK}{BD} \cdot S_{ABD} = \frac{1}{5} \cdot \frac{4 \cdot 8}{2} = 3{,}2$ . Ответ: б) 3,2.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать