Вписанные и центральные углы

Точки $A$ и $B$ делят окружность на две дуги, в сумме $360^\circ$. Центральный угол $AOB$ опирается на дугу внутри него и равен ей. Вторая дуга $AB$ равна $360^\circ - \angle AOB$.

Поэтому условие уточняет, о какой дуге речь: «меньшая дуга», «дуга, не содержащая точку $C$», «дуга, заключённая внутри угла».

Вершина вписанного угла лежит на окружности, а стороны — хорды. Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $\angle ACB = \frac{1}{2} {\smile}AB$. Центральный угол на ту же дугу равен всей дуге. Поэтому центральный угол вдвое больше вписанного: $\angle AOB = 2\angle ACB$.

Частая ошибка — приравнять вписанный угол всей дуге. Сначала найдите дугу, потом возьмите её половину.

Пусть острый вписанный угол равен $x$. Центральный угол на ту же дугу равен $2x$. Их разность $2x - x = x$ равна вписанному углу. Поэтому вписанный угол равен данной разности, а центральный — удвоенной разности.

Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу, равны: каждый равен её половине. Диагонали вписанного четырёхугольника $ABCD$ дают четыре пары таких углов: $\angle CAD = \angle CBD$ (дуга $CD$), $\angle ABD = \angle ACD$ (дуга $AD$), $\angle BAC = \angle BDC$ (дуга $BC$), $\angle ACB = \angle ADB$ (дуга $AB$).

Диагональ $BD$ делит угол $ABC$ на углы $ABD$ и $CBD$. Угол $CBD$ равен углу $CAD$, поэтому $\angle ABC = \angle ABD + \angle CAD$. Если дан весь угол $ABC$, вычтите из него данную часть: $\angle ABD = \angle ABC - \angle CAD$ или $\angle CAD = \angle ABC - \angle ABD$.

Диаметр делит окружность на две полуокружности по $180^\circ$. Вписанный угол, который опирается на диаметр, равен $\frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Если $AC$ и $BD$ — диаметры, то дуги $AB$ и $AD$ вместе составляют полуокружность от $B$ до $D$: ${\smile}AB + {\smile}AD = 180^\circ$. Центральный угол $AOD$ равен дуге $AD$, а вписанный угол $ACB$ — половине дуги $AB$. Поэтому $\angle ACB = \frac{180^\circ - \angle AOD}{2}$ и $\angle AOD = 180^\circ - 2\angle ACB$. Те же формулы дают два радиуса: треугольник $BOC$ равнобедренный.

Точки на окружности делят её на дуги, и сумма этих дуг равна $360^\circ$. Если известны все дуги, кроме одной, найдите её вычитанием. Потом найдите угол: вписанный угол равен половине дуги.

Из точки $C$ вне окружности проведены две секущие: первая пересекает окружность в точках $D$ и $B$, вторая — в точках $E$ и $A$, точки $D$ и $E$ ближе к $C$. Угол $C$ равен полуразности дуг внутри него: $\angle C = \frac{{\smile}AB - {\smile}DE}{2}$.

Формула следует из внешнего угла треугольника $ADC$. Вписанный угол $ADB$ — внешний угол при вершине $D$, поэтому $\angle ADB = \angle DAE + \angle C$. Угол $ADB$ равен половине дуги $AB$, угол $DAE$ — половине дуги $DE$.