Теория к заданию 6 ЕГЭ по профильной математике Случайная величина (математическое ожидание, дисперсия)

Задание 6 появилось в ЕГЭ 2027 года. Оно проверяет случайную величину и её числовые характеристики. Чаще всего спрашивают математическое ожидание: $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \ldots + x_n p_n$ . Реже — дисперсию, ожидание и дисперсию величины $aX + b$ или суммы величин, число успехов в серии испытаний. Кодификатор называет и непрерывные распределения: равномерное, показательное и нормальное.

Величину задают рядом распределения: значения и их вероятности, сумма вероятностей равна 1. Если в таблице даны количества, а не вероятности, разделите каждое количество на общее число. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

Пример задания

Демоверсия ФИПИ 2027

Организаторы лотереи выпустили 10 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

Выигрыш (в рублях)	100	1000	5000	10 000	50 000
Число выигрышных билетов	500	100	50	10	1

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Правильный ответ

Пояснение

Выигрыш на один билет — случайная величина. Вероятность выигрыша 100 рублей равна $\frac{500}{10\,000}$ , 1000 рублей — $\frac{100}{10\,000}$ и так далее (ряд из таблицы количеств). Билеты без выигрыша дают 0.
Все выигрыши вместе: $100 \cdot 500 + 1000 \cdot 100 + 5000 \cdot 50 + 10\,000 \cdot 10 + 50\,000 \cdot 1 = 550\,000$ рублей.
Делим на все 10 000 билетов: $E(X) = \frac{550\,000}{10\,000} = 55$ (средний выигрыш на билет). Ответ: 55.

Что учить: от главного к редкому

Понятия, на которых стоят все правила

Попадаются регулярно