тема 8 из 12

Иррациональные уравнения

Чтобы избавиться от квадратного корня, обе части уравнения возводят в квадрат. Если справа число $c \ge 0$ , проверка не нужна, а при $c < 0$ корней нет. Если справа выражение с $x$ , возведение в квадрат может дать посторонний корень, и корни проверяют.

Часто в задании7Реже в задании10На карте навыков

Иррациональные уравнения
—В аналитике

Как убрать корень

$\sqrt{f(x)} = g(x)$ значит $f(x) = g^2(x)$ и $g(x) \ge 0$ .

Возведите в квадрат обе части уравнения.
Решите полученное уравнение.
Если справа выражение с $x$ , оставьте только корни, при которых оно неотрицательно.

Корень равен числу

Если справа число $c \ge 0$ , то $\sqrt{f(x)} = c$ значит $f(x) = c^2$ . Если $c < 0$ , корней нет: корень не бывает отрицательным.

Пример

$\sqrt{2x + 52} = 8$

1.Возведите в квадрат обе части: $2x + 52 = 64$ .
2. $2x = 12$ , $x = 6$ .

Ответ: $6$

Проверка не нужна

Если справа число $c \ge 0$ , корень уравнения $f(x) = c^2$ всегда подходит: при нём $\sqrt{f(x)} = \sqrt{c^2} = c$ . Ответ может быть отрицательным: неотрицательным должно быть подкоренное выражение, а не $x$ .

Пример

$\sqrt{54 + 3x} = 6$

1.Возведите в квадрат обе части: $54 + 3x = 36$ .
2. $3x = -18$ , $x = -6$ .
3.При $x = -6$ получается $\sqrt{54 - 18} = \sqrt{36} = 6$ : корень подходит.

Ответ: $-6$

Справа выражение с x

Если справа выражение $g(x)$ , то $\sqrt{f(x)} = g(x)$ значит $f(x) = g^2(x)$ и $g(x) \ge 0$ . Возведите обе части в квадрат и решите уравнение. Оставьте только корни, при которых $g(x) \ge 0$ : остальные — посторонние.

Пример

$\sqrt{2x + 3} = x$ . Если корней несколько, запишите наименьший.

1.Возведите в квадрат обе части: $2x + 3 = x^2$ , то есть $x^2 - 2x - 3 = 0$ .
2.По формуле корней $D = 4 + 12 = 16$ , $x = -1$ или $x = 3$ .
3.При $x = -1$ правая часть $-1 < 0$ : корень посторонний.
4.При $x = 3$ правая часть $3 \ge 0$ : корень подходит. Остался один корень.

Ответ: $3$

Знак какой части проверять

Проверяйте знак правой части, а не подкоренное выражение. Подкоренное выражение равно $g^2(x)$ , поэтому оно неотрицательно и при постороннем корне. Больший или меньший корень выбирайте только после проверки.

Пример

$\sqrt{40 + 3x} = x$

1.Возведите в квадрат обе части: $40 + 3x = x^2$ , то есть $x^2 - 3x - 40 = 0$ .
2. $D = 9 + 160 = 169$ , $x = -5$ или $x = 8$ .
3.При $x = -5$ подкоренное выражение $40 - 15 = 25 > 0$ , но правая часть $-5 < 0$ : корень посторонний.
4.При $x = 8$ правая часть $8 \ge 0$ : корень подходит.

Ответ: $8$

Откуда посторонний корень

\sqrt{2x + 3} = x

y = \sqrt{2x + 3}

y = -\sqrt{2x + 3}

y = x

p

2

q

3

$\sqrt{2x + 3} = x \;\Rightarrow\; 2x + 3 = x^2$
$x^2 - 2x - 3 = 0, \quad D = 16$
$x_1 = -1, \quad x_2 = 3$
$x_1 = -1 < 0$ : посторонний
$x_2 = 3 \ge 0$ : подходит

Ответ: $x = 3$ . Корень $-1$ посторонний: он решает уравнение $-\sqrt{2x + 3} = x$ .

Сплошная линия — график

y = \sqrt{f(x)}

, пунктир — график

y = -\sqrt{f(x)}

. После возведения в квадрат уравнение находит пересечения с обеими линиями. Зелёная точка — корень, красная — посторонний корень. Двигайте ползунки.

Корень третьей степени

Корень третьей степени убирают возведением в куб, и знак правой части не проверяют. Такие уравнения разобраны в теме Степенные уравнения.

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать