Теория к заданию 19 ЕГЭ по профильной математике Уравнения и неравенства с параметром

Задание 19 — задача с параметром. Нужно найти все значения $a$ , при которых уравнение или система имеет ровно одно, ровно два или хотя бы одно решение. Почти всегда задачу решают разбором случаев: квадратное уравнение, его дискриминант и расположение корней. Часто помогает графический метод: число решений равно числу общих точек графиков. Типичные конструкции — модуль, окружность и прямые, произведение с ОДЗ.

За задание дают до 4 баллов за обоснованный верный ответ. 3 балла дают, если ответ отличается от верного только граничными точками. 2 балла — если верно найден один из промежутков ответа или ответ неверен только из-за вычислительной ошибки. 1 балл — если задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графиков. Поэтому каждое граничное значение $a$ проверяют отдельно.

График

|y| = \frac12x^2 - 2x

и четыре граничных положения прямой

y = 4x + a

: два касания и два прохождения через точки

(0; 0)

(4; 0)

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите все значения $a ,$ при каждом из которых система уравнений
$\left\{\begin{matrix} 4 x - y + a = 0 , \\ 2 \left|y\right| - x^{2} + 4 x = 0 \end{matrix}\right.$
имеет ровно два различных решения.

Решение

Из первого уравнения $y = 4x + a$ . Второе: $|y| = \frac12x^2 - 2x$ . Правая часть должна быть неотрицательной: $x \le 0$ или $x \ge 4$ .
При этих $x$ модуль раскрывается на две ветви: $y = \frac12x^2 - 2x$ и $y = -\frac12x^2 + 2x$ . Их график симметричен относительно оси $Ox$ , ветви сходятся в точках $(0; 0)$ и $(4; 0)$ .
Решения системы — общие точки этого графика и прямой $y = 4x + a$ . При росте $a$ прямая сдвигается вверх, её наклон 4 не меняется.
Граничные положения. Прямая проходит через $(0; 0)$ при $a = 0$ и через $(4; 0)$ при $a = -16$ . Касание с ветвью $y = \frac12x^2 - 2x$ : уравнение $x^2 - 12x - 2a = 0$ имеет дискриминант $144 + 8a = 0$ , $a = -18$ , точка касания $x = 6 \ge 4$ . Касание с ветвью $y = -\frac12x^2 + 2x$ : $x^2 + 4x + 2a = 0$ , $16 - 8a = 0$ , $a = 2$ , точка касания $x = -2 \le 0$ .
Считаем общие точки между граничными положениями. При $a < -18$ — 2 точки, при $a = -18$ — 3, при $-18 < a < -16$ — 4, при $a = -16$ — 3, при $-16 < a < 0$ — 2, при $a = 0$ — 3, при $0 < a < 2$ — 4, при $a = 2$ — 3, при $a > 2$ — 2.
Ответ: $a \in (-\infty; -18) \cup (-16; 0) \cup (2; +\infty)$ .

Что учить: от главного к редкому

Основа

Понятия, на которых стоят все правила

Главное

Самые частые правила — учите первыми

4Разбор случаев в задачах с параметромвстречается в 9 из 10 заданий

Часто

Попадаются регулярно

5Модуль в задачах с параметромвстречается в 4 из 10 заданий

Реже

Учите, когда главное уже освоено

Тренировка в формате ЕГЭ

Найдите все значения параметра $a ,$ при каждом из которых система уравнений
$\left\{\begin{matrix} y = - \left|x - a\right| + 1 , \\ \left|y\right| + x^{2} + 2 x = 0 \end{matrix}\right.$
имеет ровно четыре различных решения.

Решение

Второе уравнение: $|y| = -x^2 - 2x$ . Оно имеет решения при $-x^2 - 2x \ge 0$ , то есть $-2 \le x \le 0$ , и тогда $y = -x^2 - 2x$ или $y = x^2 + 2x$ (как раскрыть модуль). Это фигура $\Phi$ из двух дуг парабол: верхняя дуга с вершиной $(-1; 1)$ и нижняя с вершиной $(-1; -1)$ , концы общие — $(-2; 0)$ и $(0; 0)$ . Фигура ограничивает выпуклую область, и у всех её точек $y \le 1$ .

Первое уравнение — перевёрнутый уголок с вершиной $(a; 1)$ : правая ветвь $y = 1 + a - x$ при $x \ge a$ , левая ветвь $y = 1 - a + x$ при $x \le a$ . При изменении $a$ уголок сдвигается вдоль прямой $y = 1$ (уголок на графике). Решения — общие точки уголка и $\Phi$ .

На прямой $y = 1 + a - x$ левее вершины $y > 1$ , а у точек $\Phi$ $y \le 1$ . Поэтому все общие точки этой прямой с $\Phi$ лежат на правой ветви; так же для левой ветви. Значит, число решений равно сумме чисел общих точек $\Phi$ с двумя прямыми, без одной, если вершина $(a; 1)$ лежит на $\Phi$ , то есть при $a = -1$ .

Прямая и выпуклая фигура имеют две общие точки, если прямая лежит между двумя касательными. Касание находим по дискриминанту. Прямая $y = 1 + a - x$ и нижняя дуга: $x^2 + 3x - 1 - a = 0$ , $D = 13 + 4a = 0$ , $a = -\frac{13}{4}$ , $x = -\frac{3}{2}$ . Эта же прямая и верхняя дуга: $x^2 + x + 1 + a = 0$ , $D = -3 - 4a = 0$ , $a = -\frac{3}{4}$ , $x = -\frac{1}{2}$ . Правая ветвь даёт две точки при $-\frac{13}{4} < a < -\frac{3}{4}$ , одну на концах, иначе ни одной.

Прямая $y = 1 - a + x$ и верхняя дуга: $x^2 + 3x + 1 - a = 0$ , $D = 5 + 4a = 0$ , $a = -\frac{5}{4}$ , $x = -\frac{3}{2}$ . Эта же прямая и нижняя дуга: $x^2 + x - 1 + a = 0$ , $D = 5 - 4a = 0$ , $a = \frac{5}{4}$ , $x = -\frac{1}{2}$ . Левая ветвь даёт две точки при $-\frac{5}{4} < a < \frac{5}{4}$ , одну на концах, иначе ни одной. Все точки касания лежат на отрезке $[-2; 0]$ .

Четыре решения — это две точки на каждой ветви: $-\frac{5}{4} < a < -\frac{3}{4}$ и $a \ne -1$ . При $a = -1$ вершина $(-1; 1)$ лежит на $\Phi$ : решения $(-1; 1)$ , $(0; 0)$ , $(-2; 0)$ , их три. При $a = -\frac{5}{4}$ и $a = -\frac{3}{4}$ одна ветвь касается $\Phi$ : решений три.

Ответ: $\left(-\frac{5}{4}; -1\right) \cup \left(-1; -\frac{3}{4}\right)$

Источник: ФИПИ

Закрепите на настоящих заданиях №19

Решать