тема 1 из 7

Построение примера

Ответ «да» на вопрос «может ли…» доказывают одним конкретным примером: все числа, кучки или ходы выписывают полностью. Пример ищут от крайнего случая — наименьших чисел, простых чисел, одинаковых чисел — и подгоняют под последнее условие. Если условие задаёт количества, их находят из уравнения в целых числах. В конце пример проверяют: по очереди показывают, что выполнено каждое условие задачи.

Главная тема в задании20На карте навыков

Построение примера с заданными свойствами
—В аналитике

Ответ «да» — это проверенный пример

Чтобы доказать, что ситуация возможна, достаточно одного примера. Слова «можно подобрать» примером не являются: нужны конкретные числа.

Выпишите все условия задачи: сколько чисел, различны ли они, границы, сумма, делимость, правило хода.
Начните с крайнего случая: наименьшие допустимые числа, единица и простые числа, одинаковые числа.
Подгоните пример: измените одно-два числа так, чтобы выполнилось последнее условие и не нарушились остальные.
Если условие задаёт количества или массы, обозначьте их буквами, составьте уравнение и подберите целое решение в границах условия.
Запишите пример конкретными числами и проверьте каждое условие по порядку.

Крайний случай, потом подгонка

Начните с самого простого набора, который выполняет все условия, кроме одного. Для попарно взаимно простых чисел это единица и подряд идущие простые числа: различные простые числа не имеют общих делителей, а единица взаимно проста с любым числом. Для различных натуральных чисел это $1, 2, 3, \ldots$ ; для чисел из промежутка — его концы.

Посчитайте, сколько не хватает до нужного значения. Добавьте это к одному-двум числам так, чтобы остальные условия сохранились: простое число заменяйте большим простым, число на границе — числом внутри промежутка.

Пример

Восемь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1. Может ли сумма всех восьми чисел быть равна 65?

1.Крайний случай: единица и семь наименьших простых чисел: $1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ . Никакие два не имеют общего делителя, большего 1. Сумма равна 59, до 65 не хватает 6.
2.Подгонка: заменим наибольшее число 17 простым числом 23, это даёт $+6$ .
3.Пример: $1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23$ .
4.Проверка: чисел восемь, все различны. Кроме единицы, все числа — различные простые, поэтому никакие два не имеют общего делителя, большего 1. Сумма: $1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 23 = 65$ .

Ответ: да, например $1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 23$

Подгонка: одно изменение — проверка всех условий

Каждое изменение числа может нарушить другое условие. Увеличили число до нужной суммы — проверьте, что оно не совпало с другим числом и не получило общий делитель с соседями. Поэтому меняйте по одному числу и после каждого изменения проверяйте весь список условий.

Соберите пример: семь чисел с суммой 50

Все числа различны
Общих делителей больше 1 нет
Сумма равна 42, а нужно 50

Одно условие не выполнено.

Меняйте числа кнопками «−» и «+». Каждое условие проверяется сразу. Начните с крайнего случая и подгоните сумму.

Количества — из уравнения в целых числах

Если в условии заданы массы камней, числа писем или баллы, обозначьте неизвестные количества буквами и запишите условие уравнением. Пример — любое целое решение, которое укладывается во все границы условия. Удобно выразить одну неизвестную через другую и подобрать наименьшее подходящее значение.

Найденные количества — ещё не весь пример. Покажите и само распределение: кто кому сколько отправил, какие камни в какой кучке.

Пример

В группе поровну юношей и девушек. Каждый юноша отправил девушкам или 5 писем, или 16 писем, причём и тех и других юношей было не меньше двух. Один юноша мог отправить одной девушке несколько писем. Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

1.Пусть $x$ юношей отправили по 5 писем, $y$ юношей — по 16 писем, $x \ge 2$ , $y \ge 2$ . Девушек тоже $x + y$ .
2.Писем отправлено $5x + 16y$ , получено $7(x + y)$ . Уравнение $5x + 16y = 7x + 7y$ даёт $2x = 9y$ .
3.Наименьшее решение с $y \ge 2$ : $y = 2$ , $x = 9$ . Юношей и девушек по 11, писем $45 + 32 = 77 = 7 \cdot 11$ .
4.Распределение. Юноши 1–9 отправляют по 5 писем девушкам 1–9: каждый своей. Юноша 10 отправляет по 2 письма девушкам 1–8 (16 писем). Юноша 11 отправляет 2 письма девушке 9 и по 7 писем девушкам 10 и 11 (16 писем).
5.Проверка: девушки 1–9 получили $5 + 2 = 7$ писем, девушки 10 и 11 — по 7. Юношей с 5 письмами девять, с 16 письмами двое: не меньше двух.

Ответ: да

Ходы — выписанная цепочка

Если в задаче выполняют ходы или операции, пример — это цепочка, где выписан каждый ход и его результат. Ищите цепочку от конца: какое число могло стоять перед нужным. Каждый ход проверьте по правилу: допустима ли операция и подходит ли результат под условие (натуральное число, порядок чисел в паре).

Пример

Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. Полученное число должно быть натуральным. Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?

1.Сумма цифр 128 равна 11: $128 - 3 \cdot 11 = 95$ .
2.Сумма цифр 95 равна 14: $95 - 3 \cdot 14 = 53$ .
3.Сумма цифр 53 равна 8: $53 - 3 \cdot 8 = 29$ .
4.Каждый результат — натуральное число, все ходы допустимы.

Ответ: да: $128 \to 95 \to 53 \to 29$

Запись примера и проверка условий

Пример записывают конкретными числами. Многоточие допустимо, только когда закон ясен из записи: « $35, 95, 155, \ldots$ — числа с шагом 60». Потом идут по условию сверху вниз и для каждого условия пишут вычисление: сумму, среднее арифметическое, остаток, сумму цифр.

Чаще всего пример теряет балл из-за забытого условия: числа должны быть различными, больше заданной границы, на доске должно остаться хотя бы одно число, каждого вида должно быть не меньше двух. Количество предметов в примере — целое число.

Пример

На доске было написано 20 натуральных чисел, каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно, одного) написали числа, большие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 51, стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число. Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел уменьшилось?

1.Пример: на доске одно число 50 и девятнадцать чисел 49. Число 50 увеличили на единицу, оно стало равным 51, его стёрли.
2.Проверка условий: чисел 20; каждое натуральное, больше 10 и не больше 50; увеличили одно число; на доске осталось 19 чисел.
3.Среднее было $\frac{50 + 19 \cdot 49}{20} = \frac{981}{20} = 49{,}05$ , стало $\frac{19 \cdot 49}{19} = 49$ . $49 < 49{,}05$ : среднее уменьшилось.

Ответ: да

Проверьте себя

Все задания на этот навык

Решать