тема 3 из 7

Оценка плюс пример

В пункте в) ищут наибольшее или наименьшее значение. Ответ $k$ доказывают двумя частями: оценка показывает, что значение не может быть больше (или меньше) $k$ , а пример показывает, что значение $k$ достигается. Пример подсказывает сама оценка: это случай, в котором все её неравенства становятся равенствами. Без одной из частей пункт в) не засчитывают.

Главная тема в задании20На карте навыков

Экстремальная оценка с подтверждающим примером
—В аналитике

Пункт в): оценка и пример

Чтобы доказать, что наибольшее значение равно $k$ , покажите две вещи: значение не может быть больше $k$ (оценка), и значение $k$ достигается (пример). Для наименьшего значения оценка показывает, что меньше $k$ быть не может.

Обозначьте искомую величину и упорядочьте числа: $x_1 < x_2 < \ldots < x_n$ .
Оценка: выведите из условия неравенство для искомой величины, верное для любого допустимого набора.
Найдите случай, когда все неравенства оценки становятся равенствами: он подсказывает пример.
Пример: выпишите конкретный набор и проверьте все условия.
Ответ — число, на котором оценка и пример совпали. Если пример не достигает оценки, ищите точнее оценку или лучший пример.

Оценка: упорядочить числа и оценить каждое

Расположите числа по возрастанию и оцените каждое снизу, а потом сложите оценки. Различные натуральные числа: $x_i \ge i$ . Если разность любых двух чисел делится на $m$ , соседние числа отличаются хотя бы на $m$ , и $x_i \ge x_1 + m(i - 1)$ : так бывает при равной сумме цифр ( $m = 9$ ) и при целом среднем любых k чисел. Попарно взаимно простые числа больше 1 оценивают простыми числами: $k$ -е по величине из них не меньше $k$ -го простого числа.

Оценка должна быть верна для всех наборов. Если она зависит от наименьшего числа или от суммы цифр, разберите малые значения отдельно (перебор).

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.
а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50?
б) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 47?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех семи чисел?

Решение

а) Да. Крайний случай и подгонка: $1, 2, 3, 5, 7, 13, 19$ . Числа различны, кроме единицы — различные простые, поэтому общих делителей, больших 1, нет. Сумма $1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 13 + 19 = 50$ .
б) Нет. Два чётных числа имеют общий делитель 2, поэтому чётных не больше одного. Если чётное число одно, нечётных шесть, и сумма чётна, а 47 нечётно (чётность).
Если чётных нет, все числа нечётные, и их наименьшие простые делители (кроме единицы) — различные нечётные простые. Сумма не меньше $1 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 = 57 > 47$ .
в) Оценка. Единица среди чисел не больше одной. Остальные числа больше 1, и их наименьшие простые делители различны. Расположим эти числа по возрастанию делителей: $k$ -й делитель не меньше $k$ -го простого числа, а число не меньше своего делителя.
Если единица есть, сумма не меньше $1 + 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 42$ . Если единицы нет, сумма не меньше $2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 = 58$ . В обоих случаях сумма не меньше 42.
Пример. $1, 2, 3, 5, 7, 11, 13$ : числа различны, общих делителей, больших 1, нет, сумма равна 42.
Ответ: а) да; б) нет; в) 42.

Оценка через количество: неравенство и монотонность

Часто искомая величина зависит от количества $n$ : сколько чисел стёрли, сколько карточек одного цвета. Выразите величину через $n$ (изменение среднего). Границы чисел из условия дают неравенство для $n$ . Если величина растёт с ростом $n$ , наибольшее значение — при наибольшем допустимом $n$ . Если величина зависит и от количества, и от суммы чисел, сначала зафиксируйте количество: при нём величина монотонно зависит от суммы, и сумму берут наибольшей или наименьшей возможной.

Пример берут при этом $n$ : все оставшиеся числа делают как можно больше (или меньше), а одно число подгоняют под заданную сумму.

Пример

На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Вместо некоторых чисел (возможно, одного) написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 5, стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число. Среднее арифметическое первоначальных чисел равнялось 32. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического оставшихся чисел.

1.Сумма первоначальных чисел $20 \cdot 32 = 640$ . Пусть стёрли $n$ чисел (они были равны 6), а ещё $m \ge 0$ оставшихся чисел уменьшили на 1. Осталось $20 - n$ чисел с суммой $640 - 6n - m$ .
2.Среднее оставшихся не больше $\frac{640 - 6n}{20 - n} = 6 + \frac{520}{20 - n}$ : эта дробь растёт с ростом $n$ .
3.Оставшиеся $20 - n$ первоначальных чисел не больше 45: $640 - 6n \le 45(20 - n)$ , $39n \le 260$ , $n \le 6$ .
4.Оценка: среднее не больше $6 + \frac{520}{14} = \frac{302}{7}$ .
5.Пример: шесть чисел 6, тринадцать чисел 45 и одно число 19. Сумма $36 + 585 + 19 = 640$ , среднее 32. Шестёрки уменьшили на 1 и стёрли. Осталось 14 чисел с суммой 604, среднее $\frac{604}{14} = \frac{302}{7}$ .

Ответ: $\frac{302}{7} = 43\frac{1}{7}$

Наименьшее по делимости

Если условие сводится к делимости, найдите все допустимые значения: например, « $n - 1$ делится на 12» даёт $n = 13, 25, 37, \ldots$ . Наименьшее допустимое значение — это оценка. Пример строят из чисел с одним и тем же остатком: они удовлетворяют условию делимости все сразу.

Пример

На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел из записанных является целым числом. Одно из записанных чисел равно 30035. Отношение двух записанных чисел является целым числом $n$ . Найдите наименьшее возможное значение $n$ .

1.Среднее любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел целое, поэтому разность любых двух чисел делится на 3, 4, 5 и 6, то есть на 60 (среднее любых k чисел).
2. $30035 = 60 \cdot 500 + 35$ , поэтому все числа дают остаток 35 при делении на 60.
3.Оценка. Пусть $y = nx$ , $n > 1$ . Тогда $y - x = (n - 1)x$ делится на 60. Число $x$ даёт остаток 35, поэтому $35(n - 1)$ делится на 60, то есть $7(n - 1)$ делится на 12. Значит, $n - 1$ делится на 12 и $n \ge 13$ .
4.Пример: 35, 95, 155, 215, 275, 335, 395, 455, 515, 30035. Все числа дают остаток 35 при делении на 60, поэтому сумма любых $k$ из них ( $k = 3, 4, 5, 6$ ) равна $60q + 35k$ и делится на $k$ . $455 = 13 \cdot 35$ .

Ответ: 13

Оценка подсчётом

Количество кратных $m$ и длина ряда чисел подряд оценивают друг друга. Когда условие сравнивает количества кратных двух чисел, обозначьте одно количество через $x$ и оцените длину ряда через $x$ с двух сторон. Две оценки дают неравенство для $x$ , а оно — оценку длины.

Пример

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на 25, меньше, чем чисел, делящихся на 29. Найдите наибольшее возможное значение $k$ .

1.Пусть чисел, делящихся на 25, ровно $x$ . Тогда чисел, делящихся на 29, не меньше $x + 1$ , и $k \ge 29x + 1$ .
2.Если $k \ge 25(x + 1)$ , среди чисел не меньше $x + 1$ кратных 25. Значит, $k \le 25x + 24$ .
3. $29x + 1 \le 25x + 24$ , $4x \le 23$ , $x \le 5$ . Оценка: $k \le 25 \cdot 5 + 24 = 149$ .
4.Пример: числа от 26 до 174, их 149. На 25 делятся 50, 75, 100, 125, 150 — пять чисел. На 29 делятся 29, 58, 87, 116, 145, 174 — шесть чисел.

Ответ: 149

Пример: где оценка становится равенством

Пример не ищут наугад. Посмотрите, при каком наборе каждое неравенство оценки обращается в равенство, — такой набор и будет примером. Если оценка говорит, что за ход число кусков растёт не больше чем вдвое, пример — ходы, где каждый кусок режут как можно ровнее пополам.

Пример должен давать ровно значение оценки и выполнять все условия. Пример с меньшим значением вместе с оценкой ничего не доказывает.

Пример

Деревянную линейку длиной 200 см разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров. Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку на куски длиной 1 см?

1.Оценка. За ход каждый кусок режут не больше чем на две части, поэтому число кусков не больше чем удваивается. После $k$ ходов кусков не больше $2^k$ . Нужно 200 кусков, а $2^7 = 128 < 200$ , поэтому ходов не меньше 8.
2.Пример. Каждым ходом режем каждый кусок длиннее 1 см на две части, которые отличаются не больше чем на 1 см. Наибольшая длина куска после ходов: 100, 50, 25, 13, 7, 4, 2, 1.
3.После восьмого хода все куски длиной 1 см.

Ответ: 8

Что писать в решении задания 20

Задание 20 оценивают до 4 баллов. 4 балла — обоснованно получены верные ответы во всех трёх пунктах. 3 балла — обоснованно решены пункт в) и один из пунктов а), б). 2 балла — обоснованно решены пункты а) и б) или только пункт в). 1 балл — обоснованно решён один из пунктов а), б). Пункт в) засчитывают только целиком: оценка без примера или пример без оценки баллов за него не дают.

В пунктах а) и б) ответ «да» подтверждают примером с проверкой, ответ «нет» — доказательством. В пункте в) пишут обе части и подписывают их: «Оценка», «Пример».

Пример

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-120$ . Известно, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек. а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек? б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе? в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

1.а) Да. Пример: одна синяя карточка с числом 5 и пять красных с числами $-6, -4, -2, 0, 2$ . Наибольшее красное число $2 = 2 \cdot 1$ , наибольшее синее число 5 — это количество красных карточек. Все числа больше $-120$ , карточек шесть.
2.б) Нет. Пусть синих карточек $s$ , красных $s + 90$ . Красные числа — различные чётные, больше $-120$ : наименьшее не меньше $-118$ , каждое следующее больше хотя бы на 2. Наибольшее красное число не меньше $-118 + 2(s + 89) = 2s + 60$ , а оно должно быть равно $2s$ . Противоречие.
3.в) Оценка. Пусть синих карточек $s$ , красных $k$ . Синие числа — различные кратные 5, больше $-120$ , поэтому наибольшее из них не меньше $-115 + 5(s - 1) = 5s - 120$ . Оно равно $k$ : $5s - 120 \le k$ .
4.Наибольшее красное число не меньше $-118 + 2(k - 1) = 2k - 120$ и равно $2s$ : $2k - 120 \le 2s$ , то есть $k \le s + 60$ .
5.Тогда $5s - 120 \le s + 60$ , $s \le 45$ , и $k \le s + 60 \le 105$ . Карточек $s + k \le 150$ .
6.Пример. 45 синих карточек с числами $-115, -110, \ldots, 105$ и 105 красных с числами $-118, -116, \ldots, 90$ . Наибольшее синее число 105 — количество красных карточек, наибольшее красное число $90 = 2 \cdot 45$ . Карточек 150.

Ответ: а) да; б) нет; в) 150

Проверьте себя

Все задания на этот навык

Решать