Теория к заданию 16 ЕГЭ по профильной математике Неравенства

Задание 16 — неравенство с развёрнутым ответом. Чаще всего оно логарифмическое или показательное. Сначала записывают ОДЗ. Потом замена переменной или сравнение аргументов при одном основании превращает его в рациональное неравенство. Его решают методом интервалов и пересекают решение с ОДЗ.

За задание дают 2 балла за обоснованный верный ответ. 1 балл дают, если обоснованно получен ответ, который отличается от верного только исключением или включением граничных точек. 1 балл дают и за вычислительную ошибку, если все шаги решения верные. Ответ записывают как объединение промежутков и отдельных точек: как записать ответ.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Решите неравенство $\log _{11} ( 8 x^{2} + 7 ) - \log _{11} ( x^{2} + x + 1 ) \geq \log _{11} ( \frac{x}{x + 5} + 7 ) .$

Решение

ОДЗ: $8x^2 + 7 > 0$ и $x^2 + x + 1 > 0$ при любом $x$ (дискриминант меньше нуля). Третий аргумент: $\frac{x}{x + 5} + 7 = \frac{8x + 35}{x + 5} > 0$ , то есть $x < -5$ или $x > -\frac{35}{8}$ .
На ОДЗ разность логарифмов равна логарифму частного: $\log_{11}\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \ge \log_{11}\frac{8x + 35}{x + 5}$ .
Основание $11 > 1$ , поэтому знак сохраняется: $\frac{8x^2 + 7}{x^2 + x + 1} \ge \frac{8x + 35}{x + 5}$ .
Перенесём всё в одну часть и приведём к общему знаменателю: $\frac{-3x^2 - 36x}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \ge 0$ , то есть $\frac{x(x + 12)}{(x + 5)(x^2 + x + 1)} \le 0$ . Множитель $x^2 + x + 1$ положителен и на знак не влияет.
Метод интервалов: точки $-12$ и $0$ закрашены, точка $-5$ выколота (ноль знаменателя). Решение: $x \le -12$ или $-5 < x \le 0$ .
Пересечём с ОДЗ: из $x \le -12$ все точки лежат левее $-5$ , а из $(-5; 0]$ остаётся $\left(-\frac{35}{8}; 0\right]$ , так как $-\frac{35}{8} > -5$ .
Ответ: $(-\infty; -12] \cup \left(-\frac{35}{8}; 0\right]$ .

Что учить: от главного к редкому

Основа

Понятия, на которых стоят все правила

Главное

Самые частые правила — учите первыми

Часто

Попадаются регулярно

Реже

Учите, когда главное уже освоено

Тренировка в формате ЕГЭ

Решите неравенство: $\frac{10^{x} - 25 \cdot 2^{x} - 2 \cdot 5^{x} + 50}{5 x - x^{2} - 4} \geq 0 .$

Решение

Разложим числитель на множители. $10^x = 2^x \cdot 5^x$ , слагаемые сгруппируем по парам (группировка по парам): $2^x \cdot 5^x - 25 \cdot 2^x - 2 \cdot 5^x + 50 = 2^x(5^x - 25) - 2(5^x - 25) = (2^x - 2)(5^x - 25)$ .

Знаменатель: $5x - x^2 - 4 = -(x^2 - 5x + 4) = -(x - 1)(x - 4)$ . Умножим неравенство на $-1$ и сменим знак неравенства (минус перед трёхчленом): $\frac{(2^x - 2)(5^x - 25)}{(x - 1)(x - 4)} \le 0$ .

Заменим показательные множители множителями с тем же знаком (метод рационализации): $2^x - 2^1$ имеет знак $(2 - 1)(x - 1) = x - 1$ , а $5^x - 5^2$ — знак $(5 - 1)(x - 2)$ , то есть $x - 2$ . Неравенство: $\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 4)} \le 0$ .

Точка 1 — нуль и числителя, и знаменателя, поэтому она выколота (концы промежутков). В ней два множителя $x - 1$ , и знак в ней не меняется. Точка 2 закрашена, точка 4 выколота.

Знаки: при $x > 4$ плюс, на $(2; 4)$ минус, на $(1; 2)$ плюс, левее 1 тоже плюс. Нужен знак минус и закрашенная точка 2: $2 \le x < 4$ .

Ответ: $[2; 4)$

Источник: ФИПИ

Закрепите на настоящих заданиях №16

Решать