тема 11 из 11

Оптимизация прибыли и издержек

Прибыль — это выручка минус затраты. Если прибыль — квадратичная функция объёма со старшим коэффициентом меньше нуля, наибольшее значение она принимает в вершине параболы. Если в условии есть параметр (цена, налог), сначала находят лучший объём при этом параметре, а потом составляют уравнение или неравенство для параметра.

Реже в задании13На карте навыков

Оптимизация прибыли и издержек производства
—В аналитике

Прибыль = выручка − затраты, наибольшая — в вершине

Выручка — цена, умноженная на количество. Прибыль $f(x)$ — выручка минус все затраты и налоги.

Запишите прибыль как функцию того, что выбирает фирма: объёма $x$ .
Если $f(x) = ax^2 + bx + c$ и $a < 0$ , наибольшее значение — в вершине $x_0 = -\frac{b}{2a}$ (вершина параболы).
Если в формуле есть параметр (цена $p$ , налог $t$ ), вершина зависит от него. Подставьте её в $f$ : получится наибольшая прибыль как функция параметра.
Проверьте, что вершина лежит в допустимых пределах ( $x \ge 0$ и границы из условия). Иначе наибольшее значение — на ближайшей границе.

Наибольшая прибыль — в вершине параболы

Раскройте скобки и приведите прибыль к виду $f(x) = ax^2 + bx + c$ . При $a < 0$ ветви параболы направлены вниз, и наибольшее значение функция принимает в вершине $x_0 = -\frac{b}{2a}$ . Наибольшая прибыль — $f(x_0)$ .

Пример

Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции равны $0{,}5x^2 + 3x + 5$ млн рублей в год. Продукцию продают по 15 тыс. рублей за единицу. Найдите наибольшую годовую прибыль в млн рублей.

1.Выручка $15x$ млн рублей. Прибыль $f(x) = 15x - 0{,}5x^2 - 3x - 5 = -0{,}5x^2 + 12x - 5$ .
2. $a = -0{,}5 < 0$ , вершина $x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-0{,}5)} = 12$ .
3. $f(12) = -0{,}5 \cdot 144 + 144 - 5 = 67$ .

Ответ: $67$

Окупаемость: неравенство для цены

Завод стоимостью $C$ окупится не больше чем за $k$ лет, если наибольшая годовая прибыль, умноженная на $k$ , не меньше $C$ : $k \cdot f(x_0) \ge C$ . Вершина $x_0$ зависит от цены $p$ , поэтому $f(x_0)$ — функция от $p$ .

Решите неравенство относительно $p$ . Цена и объём положительны, поэтому отрицательную часть ответа отбросьте и возьмите наименьшее подходящее $p$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Строительство нового завода стоит 100 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $( 0{,}5 x^{2} + x + 7 )$ млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px - \left(0{,}5 x^{2} + x + 7\right) .$ Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $p$ строительство завода окупится не больше чем за 4 года?

Правильный ответ

Пояснение

Прибыль $f(x) = px - 0{,}5x^2 - x - 7 = -0{,}5x^2 + (p - 1)x - 7$ . Вершина $x_0 = \frac{p - 1}{2 \cdot 0{,}5} = p - 1$ .
$f(x_0) = -0{,}5(p - 1)^2 + (p - 1)^2 - 7 = 0{,}5(p - 1)^2 - 7$ .
За 4 года: $4(0{,}5(p - 1)^2 - 7) \ge 100$ , то есть $0{,}5(p - 1)^2 \ge 32$ , $(p - 1)^2 \ge 64$ .
$x_0 = p - 1 > 0$ , поэтому $p - 1 \ge 8$ , $p \ge 9$ . Ответ: 9.

Цена сдвигает вершину

С ростом цены вершина параболы прибыли уходит вправо и вверх: фирма выпускает больше и зарабатывает больше. Наименьшая цена, при которой завод окупается, — та, при которой вершина впервые достаёт до уровня $\frac{C}{k}$ .

Прибыль завода и окупаемость

f(x) = 7x - (0{,}5x^2 + x + 7)

p

7

f(8) = 9

x_0 = 7 - 1 = 6,\quad f(x_0) = 11

За

4

года наибольшая прибыль

4 \cdot 11 = 44 < 100

: завод не окупится.

Кривая — годовая прибыль

px - (0{,}5x^2 + x + 7)

млн рублей при выпуске

x

тыс. единиц. Пунктир — прибыль, при которой завод за 100 млн рублей окупится за 4 года. Двигайте точку по кривой и меняйте цену

p

Налог: две вершины подряд

Здесь выбирают двое. Цену сначала выразите через $Q$ по формуле спроса. Фирма при данном налоге $t$ с единицы выбирает объём $Q$ с наибольшей прибылью: найдите вершину $Q_0(t)$ .

Государство получает налог $t \cdot Q_0(t)$ . Это тоже парабола, теперь по $t$ с ветвями вниз. Её вершина и даёт ответ.

Пример

Количество $Q$ товара, купленного у фирмы, зависит от цены $P$ (в руб. за шт.) по формуле $Q = 12\,000 - P$ . Затраты на производство $Q$ единиц — $2000Q + 1\,000\,000$ рублей. Фирма платит налог $t$ рублей ( $0 < t < 10\,000$ ) с каждой произведённой единицы. Фирма выпускает столько товара, чтобы её прибыль была наибольшей. При каком $t$ общая сумма налогов $tQ$ будет наибольшей?

1. $P = 12\,000 - Q$ . Прибыль $(12\,000 - Q)Q - 2000Q - 1\,000\,000 - tQ = -Q^2 + (10\,000 - t)Q - 1\,000\,000$ .
2.Вершина по $Q$ : $Q_0 = \frac{10\,000 - t}{2}$ .
3.Сумма налогов $t \cdot Q_0 = \frac{t(10\,000 - t)}{2}$ . Это парабола по $t$ с нулями 0 и 10 000, её вершина посередине: $t = 5000$ .

Ответ: $5000$

Два завода и общий бюджет

Пусть на первом заводе делают $x$ единиц, на втором $y$ , а затраты растут как квадраты: $c_1x^2 + c_2y^2 = B$ . Обозначьте общий выпуск $S = x + y$ и подставьте $y = S - x$ в условие на бюджет. Получится квадратное уравнение относительно $x$ .

Выпуск $S$ возможен, если у этого уравнения есть корень: $D \ge 0$ (дискриминант). Наибольшее $S$ — граница неравенства $D \ge 0$ . При нём $x : y = c_2 : c_1$ : на заводе, где час дешевле, делают больше.

Пример

У владельца два завода. Если рабочие на одном заводе трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, за неделю они производят $t$ единиц товара. Час работы на первом заводе стоит 100 рублей, на втором — 400 рублей. На оплату труда выделяют 800 000 рублей в неделю. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на двух заводах?

1.На первом заводе $x^2$ часов, на втором $y^2$ : $100x^2 + 400y^2 = 800\,000$ , то есть $x^2 + 4y^2 = 8000$ .
2.Пусть $x + y = S$ , тогда $y = S - x$ : $x^2 + 4(S - x)^2 = 8000$ , то есть $5x^2 - 8Sx + 4S^2 - 8000 = 0$ .
3.Корень есть, если $\frac{D}{4} = 16S^2 - 5(4S^2 - 8000) = 40\,000 - 4S^2 \ge 0$ , то есть $S \le 100$ .
4.При $S = 100$ : $5x^2 - 800x + 32\,000 = 0$ , $(x - 80)^2 = 0$ , $x = 80$ , $y = 20$ . Такой выпуск возможен.

Ответ: $100$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать