тема 8 из 12

Парабола

По графику параболы сразу видно знак $a$ , число $c = f(0)$ и вершину. Чтобы найти коэффициенты, выберите форму записи по тому, какие точки попали в узлы сетки: вершина, нули функции или три любые точки.

Реже в задании12На карте навыков

График параболы
—В аналитике

Что видно на графике параболы

Парабола $y = ax^2 + bx + c$ симметрична относительно вертикальной прямой через вершину. Абсцисса вершины $x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a}$ .

Ветви вверх — $a > 0$ , ветви вниз — $a < 0$ .
$c = f(0)$ : ордината точки пересечения с осью $Oy$ .
Две точки графика с одной ординатой симметричны относительно вершины: $x_{\text{в}} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ .

Какую форму записи выбрать

Что видно в узлах сетки	Форма записи
вершина $(m; n)$ и ещё одна точка	$f(x) = a(x - m)^2 + n$
нули $x_1$ , $x_2$ и ещё одна точка	$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$
три любые точки	$f(x) = ax^2 + bx + c$

Вершина в узле

Подставьте вершину $(m; n)$ в форму $f(x) = a(x - m)^2 + n$ , а число $a$ найдите по ещё одной точке. В скобке стоит $x - m$ : если $m = -3$ , получается $(x + 3)^2$ .

Пример

Вершина параболы — точка $(2; -1)$ , парабола проходит через точку $(0; 3)$ . Найдите $a$ .

1. $f(x) = a(x - 2)^2 - 1$ .
2.Подставьте точку $(0; 3)$ : $3 = a \cdot (0 - 2)^2 - 1 = 4a - 1$ .
3. $4a = 4$ , $a = 1$ .

Ответ: $1$

Шаг от вершины

В форме $f(x) = a(x - m)^2 + n$ шаг на $k$ от вершины меняет $y$ на $ak^2$ . От вершины на 1 вправо или влево $y$ меняется на $a$ , на 2 — на $4a$ , на 3 — на $9a$ . Поэтому $a$ — изменение $y$ , делённое на квадрат шага. Шаг считают в единицах осей, а не в клетках.

Пример

Вершина параболы — точка $(2; -1)$ , парабола проходит через точку $(3; 0)$ . Найдите $a$ .

1.Точка $(3; 0)$ — на 1 правее вершины.
2. $y$ изменился с $-1$ на $0$ , то есть на $1$ . Значит, $a = 1$ .

Ответ: $1$

Подвигайте параболу

f(x) = \textcolor{#ea580c}{\underbrace{1}_{a}}x^2 \;\textcolor{#7c3aed}{\underbrace{-4}_{b}}x + \textcolor{#db2777}{\underbrace{3}_{c}}

\textcolor{#ea580c}{a} = \frac{\Delta y}{(\Delta x)^2} = \frac{1}{1^2} = 1

\textcolor{#7c3aed}{b} = -2a \cdot x_{\text{в}} = -2 \cdot 1 \cdot 2 = -4

\textcolor{#db2777}{c} = f(0) = 3

Двигайте вершину

V

и точку

P

Нули функции в узлах

Если график пересекает ось $Ox$ в точках $x_1$ и $x_2$ , пишите $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ . Число $a$ найдите по ещё одной точке. Коэффициент $b$ обычно не нужен: значение функции считают прямо по этой форме.

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

На рисунке изображен график функции вида $f \left(x\right) = ax^{2} + bx + c ,$ где числа $a , b$ и $c$ - целые. Найдите значение $f ( - 3 ) .$

Правильный ответ

Пояснение

Нули функции в узлах: $x = 1$ и $x = 2$ . Пишем $f(x) = a(x - 1)(x - 2)$ .
График проходит через $(0; 2)$ : $a \cdot (-1) \cdot (-2) = 2$ , $a = 1$ .
$f(-3) = (-3 - 1)(-3 - 2) = (-4) \cdot (-5) = 20$ . Ответ: 20.

Три любые точки

Если в узлах нет ни вершины, ни нулей, возьмите три точки графика. Первая — пересечение с осью $Oy$ : $c = f(0)$ . Две другие дают два уравнения на $a$ и $b$ . Если в условии сказано, что коэффициенты целые, дробный коэффициент значит, что точка взята неверно.

Пример

Парабола $f(x) = ax^2 + bx + c$ проходит через точки $(0; 2)$ , $(3; 2)$ и $(4; 6)$ . Найдите $a$ , $b$ и $c$ .

1. $c = f(0) = 2$ .
2. $f(3) = 9a + 3b + 2 = 2$ , поэтому $b = -3a$ .
3. $f(4) = 16a + 4b + 2 = 6$ , то есть $16a - 12a = 4$ и $a = 1$ .
4. $b = -3$ .

Ответ: $a = 1$ , $b = -3$ , $c = 2$

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать