Теория к заданию 3 ЕГЭ по профильной математике Стереометрия

Задание 3 — задача по стереометрии, обычно с рисунком. Чаще всего встречаются объём отсечённой части, комбинации тел, конус и цилиндр. В задачах о многогранниках почти всегда нужен объём пирамиды или призмы и площадь основания.

Часто тело меняют в $k$ раз: тогда площадь поверхности меняется в $k^2$ раз, а объём — в $k^3$ раз (подобные тела). Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Если в ответе есть $\pi$ , условие просит найти объём, делённый на $\pi$ .

Пример задания

Открытый банк ФИПИ

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A , B , C , D_{1}$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ,$ у которого $AB = 2 , AD = 10 , AA_{1} = 6 .$

Правильный ответ

Пояснение

Точки $A, B, C, D_1$ — вершины треугольной пирамиды. Её основание — треугольник $ABC$ , вершина — $D_1$ (пирамида внутри параллелепипеда).
Треугольник $ABC$ — половина прямоугольника $ABCD$ : $S = \frac12 \cdot AB \cdot BC = \frac12 \cdot 2 \cdot 10 = 10$ (площадь прямоугольного треугольника).
Высота пирамиды — ребро $DD_1 = AA_1 = 6$ : оно перпендикулярно основанию.
$V = \frac13 S h = \frac13 \cdot 10 \cdot 6 = 20$ (объём пирамиды). Ответ: 20.

Что учить: от главного к редкому

Основа

Понятия, на которых стоят все правила

Главное

Самые частые правила — учите первыми

Часто

Попадаются регулярно

Реже

Учите, когда главное уже освоено

Тренировка в формате ЕГЭ

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $5 \sqrt{2} .$ Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Правильный ответ

Пояснение

Пусть $r$ — радиус общего основания. Высота равна радиусу: $h = r$ . Боковая поверхность цилиндра $2\pi r h = 2\pi r^2 = 5\sqrt2$ , поэтому $\pi r^2 = \frac{5\sqrt2}{2}$ .

Образующая конуса — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $r$ и $h = r$ : $l = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt2$ .

Боковая поверхность конуса $\pi r l = \pi r^2 \cdot \sqrt2 = \frac{5\sqrt2}{2} \cdot \sqrt2 = 5$ .

Ответ: 5

Источник: ФИПИ

Закрепите на настоящих заданиях №3

Решать