Комбинации тел

Если у конуса и цилиндра общее основание и общая высота, $V_{\text{кон}} = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 V_{\text{цил}}$. Конус, вписанный в цилиндр, — тот же случай: его основание — основание цилиндра, а вершина — центр другого основания.

По объёму конуса объём цилиндра находят умножением на 3, по объёму цилиндра объём конуса — делением на 3.

Пусть у конуса и цилиндра общие основание и высота, и высота равна радиусу: $h = r$. Боковая поверхность цилиндра $2\pi r h = 2\pi r^2$. Образующая конуса $l = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt2$ (образующая конуса), поэтому боковая поверхность конуса $\pi r l = \pi r^2 \sqrt2$.

Отношение боковых поверхностей конуса и цилиндра равно $\frac{\sqrt2}{2}$. Площадь цилиндра умножают на $\frac{\sqrt2}{2}$, площадь конуса — на $\sqrt2$.

Шар вписан в цилиндр, если касается обоих оснований и боковой поверхности. Тогда радиус основания цилиндра равен радиусу шара $R$, а высота цилиндра — диаметру $2R$.

$V_{\text{цил}} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$, $V_{\text{шара}} = \frac43 \pi R^3$. Отношение $\frac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{шара}}} = 2 : \frac43 = \frac32$.

Полная поверхность цилиндра, описанного около шара, — два основания и боковая поверхность: $2\pi R^2 + 2\pi R \cdot 2R = 6\pi R^2$. Площадь сферы $4\pi R^2$, поэтому отношение снова $\frac32$.

По площади сферы площадь цилиндра находят умножением на $\frac32$, по площади цилиндра площадь сферы — умножением на $\frac23$.

Если конус вписан в шар и радиус основания конуса равен радиусу шара, основание конуса — большой круг шара. Центр основания — центр шара, а вершина лежит на сфере. Поэтому $r = h = R$.

$V_{\text{кон}} = \frac13 \pi R^2 \cdot R = \frac13 \pi R^3$, $V_{\text{шара}} = \frac43 \pi R^3$. Объём шара в 4 раза больше объёма конуса.

Сфера описана около конуса, и её центр — центр основания конуса. Тогда $r = h = R$, и образующая — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $R$ и $R$: $l = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt2$.

Если радиус сферы дан в виде $a\sqrt2$, образующая равна $a\sqrt2 \cdot \sqrt2 = 2a$.

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед, если его основания вписаны в основания параллелепипеда. Окружность можно вписать в прямоугольник, только если это квадрат. Поэтому основание параллелепипеда — квадрат со стороной $2r$, высота равна высоте цилиндра, и $V = (2r)^2 h$ (объём параллелепипеда). Если дан объём, высота $h = \frac{V}{(2r)^2}$.

Шар можно вписать в прямоугольный параллелепипед, только если это куб. Ребро куба — диаметр шара $2R$, объём $(2R)^3$ (куб).

Призма вписана в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра. Высота цилиндра равна боковому ребру прямой призмы, а радиус основания — радиусу окружности, описанной около основания призмы.

Около прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы (медиана к гипотенузе). Поэтому радиус $R = \frac{c}{2}$ и $R^2 = \frac{a^2 + b^2}{4}$, где $a$ и $b$ — катеты.

Пусть центр шара — середина ребра куба, а радиус — половина ребра. Две грани через это ребро образуют прямой двугранный угол, и он вырезает из сферы четверть: $90^\circ$ — четверть от $360^\circ$.

Других граней сфера не пересекает: до граней на концах ребра расстояние ровно $R$, до двух дальних граней — целое ребро. Внутри куба лежит $\frac14$ сферы: $S = \frac14 \cdot 4\pi R^2 = \pi R^2$.