тема 4 из 15

Шар и сфера

Шар радиуса $R$ имеет объём $V = \frac43 \pi R^3$ . Его поверхность — сфера, её площадь $S = 4\pi R^2$ . Любое сечение шара плоскостью — круг. Сечение через центр — большой круг радиуса $R$ , его площадь в 4 раза меньше площади сферы.

Основа для задания3На карте навыков

Шар и сфера: объём и площадь поверхности
—В аналитике

Объём шара и площадь сферы

Шар радиуса $R$ — все точки пространства на расстоянии не больше $R$ от центра. Его граница — сфера. Объём шара $V = \frac43 \pi R^3$ , площадь сферы $S = 4\pi R^2$ .

Если дан диаметр, радиус равен его половине.
Сечение через центр — большой круг радиуса $R$ . Его площадь $\pi R^2 = \frac{S}{4}$ .
Сечение на расстоянии $d$ от центра — круг радиуса $r$ , где $r^2 = R^2 - d^2$ .
Радиус больше в $k$ раз — площадь сферы больше в $k^2$ раз, объём шара — в $k^3$ раз (подобные тела).

Шар с центром

O

и радиусом

R

Объём шара

$V = \frac43 \pi R^3$ . Радиус входит в кубе, поэтому сначала найдите радиус: если дан диаметр, разделите его пополам.

Чтобы найти радиус по объёму, выразите $R^3 = \frac{3V}{4\pi}$ и подберите число, куб которого равен результату.

Пример

Диаметр шара равен 6. Найдите объём шара, делённый на $\pi$ .

Диаметр проходит через центр, радиус — его половина.

1. $R = 6 : 2 = 3$ .
2. $V = \frac43 \pi \cdot 3^3 = \frac43 \cdot 27\pi = 36\pi$ .
3. $\frac{V}{\pi} = 36$ .

Ответ: $36$

Площадь сферы

$S = 4\pi R^2$ . Если площадь дана с $\pi$ , например $144\pi$ , число $\pi$ сокращается: $4R^2 = 144$ .

Пример

Площадь сферы равна $144\pi$ . Найдите радиус сферы.

Площадь сферы зависит только от радиуса.

1. $4\pi R^2 = 144\pi$ , поэтому $R^2 = 36$ .
2. $R = 6$ .

Ответ: $6$

Большой круг и другие сечения

Плоскость через центр шара даёт большой круг радиуса $R$ , его площадь $\pi R^2$ . Площадь сферы $4\pi R^2$ в 4 раза больше, поэтому площадь большого круга равна $\frac{S}{4}$ , и радиус искать не нужно.

Плоскость на расстоянии $d$ от центра даёт круг меньшего радиуса $r$ . Центр шара, центр сечения и точка на краю сечения образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой $R$ : $r^2 = R^2 - d^2$ .

Пример

Площадь поверхности шара равна 20. Найдите площадь большого круга шара.

Большой круг проходит через центр, его радиус

R

1. $S = 4\pi R^2 = 20$ , поэтому $\pi R^2 = 20 : 4 = 5$ .
2.Площадь большого круга $\pi R^2 = 5$ .

Ответ: $5$

Сечение шара плоскостью

r^2 = R^2 - d^2

R

5

d

3

r^2 = R^2 - d^2 = 5^2 - 3^2 = 16

r = 4, \quad S_{\text{сеч}} = \pi r^2 = 16\pi

Плоскость на расстоянии

3

от центра: радиус сечения

4

меньше радиуса шара.

Плоскость сечения стоит на расстоянии

d

от центра

O

. Центр шара, центр сечения и край сечения образуют прямоугольный треугольник. Двигайте ползунки

R

d

Проверьте себя

Потренируйте навык

Все задания на этот навык

Решать