Правильная пирамида

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ основание — квадрат, его центр $O$ — точка пересечения диагоналей. Диагонали квадрата равны и делятся точкой $O$ пополам: $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{BD}{2}$.

Высота $SO$ перпендикулярна основанию, поэтому треугольник $SOC$ прямоугольный с прямым углом $O$. По теореме Пифагора $SC^2 = SO^2 + OC^2$. Две из трёх величин дают третью. Если спрашивают диагональ, не забудьте умножить $OC$ на 2.

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$ (правильный шестиугольник). Поэтому отрезок от центра до любой вершины основания равен стороне: $R = a$.

Высота, сторона основания и боковое ребро правильной шестиугольной пирамиды связаны так: $l^2 = h^2 + a^2$.

Объём считают по общей формуле $V = \frac13 S h$. Если дано боковое ребро и высота, сначала найдите $R$ из треугольника $SOC$, а затем площадь основания.

У квадрата диагональ $d = 2R$, а площадь через диагональ $S = \frac{d^2}{2} = 2R^2$. Сторону квадрата искать не нужно.

Боковая грань правильной пирамиды — равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $l$ и основанием $a$. Его высота $SM$ — апофема. Она же медиана: $M$ — середина стороны (высота к основанию).

Из прямоугольного треугольника $SMB$: $m^2 = l^2 - \left(\frac a2\right)^2$. Апофема и боковое ребро — разные отрезки: ребро идёт в вершину основания, апофема — в середину стороны.

Боковая поверхность — это $n$ равных треугольников с основанием $a$ и высотой $m$. Поэтому $S_{\text{бок}} = n \cdot \frac12 a m = \frac12 P m$.

Площадь полной поверхности — боковая поверхность плюс основание: $S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}}$. Если в вопросе сказано «площадь поверхности», нужна полная.